要点精讲 把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。
1. 克拉默法则的内容：A x = b D = ∣ A ∣ = 0 x j = D D j ★★ 必会 设有 n n A x = b A n D = ∣ A ∣ ① 非齐次方程组 A x = b 当 D = 0 唯一解 x j = D D j ( j = 1 , 2 , … , n ) , D j D 第 j 换成右端的常数列 b ② 齐次方程组 A x = 0 当 D = 0 只有零解 ；它有非零解 ⟺ D = 0 。③ 适用的条件 系数矩阵必须是方阵 ，而且 D = 0 D = 0 失效 ，这时应改用初等行变换，比较 r ( A ) r ( A ∣ b ) 理论工具 ，它给出了解的显式行列式表达式；实际计算仍以消元法为主。
证明 / 推导 证 由伴随矩阵公式 A − 1 = ∣ A ∣ A ∗ x = A − 1 b = D 1 A ∗ b j x j = D 1 i = 1 ∑ n ( A ∗ ) j i b i = D 1 i = 1 ∑ n A ij b i , ∑ i = 1 n A ij b i D j b 按第 j 所得的值，即 D j x j = D j / D ■ 举例说明 解 { x 1 + x 2 = 3 x 1 − x 2 = 1 这里 D = 1 1 1 − 1 = − 2 = 0 D 1 = 3 1 1 − 1 = − 4 D 2 = 1 1 3 1 = − 2 x 1 = D D 1 = 2 , x 2 = D D 2 = 1 关于齐次的情形 如果把右端换成 0 D = 0 x 1 = x 2 = 0 D = 0 2. 克拉默法则的另一种证法：用多重线性与换列，比伴随矩阵更为直接 前面用伴随矩阵公式 x = ∣ A ∣ 1 A ∗ b D j j b 多重线性 ，一步得到 D j = x j D j x j b { α i } j j
证明 / 推导 证 设 A α 1 , … , α n A x = b b = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n D j j b j D j = α 1 , … , 第 j 列 b , … , α n = i = 1 ∑ n x i α 1 , … , 第 j 列 α i , … , α n . i = j j α i i α i 两列相同，行列式为零 ；只有 i = j A D D j = x j D D = 0 D x j = D D j 存在性 ，即这样的 x j 唯一性 ，即任何一个解都必须满足这个式子。3. 含参数方程组的三段讨论：先算 D ( λ ) D = 0 克拉默法则最常用于讨论含参数且方程个数等于未知量个数 的方程组解的情况。标准的做法分三步：(1) 计算系数行列式 D ( λ ) (2) 对使 D ( λ ) = 0 λ 唯一解 ；(3) 对使 D ( λ ) = 0 λ 把具体数值代回 ，对增广矩阵作初等行变换，比较 r ( A ) r ( A , b ) D = 0
举例说明 讨论 ⎩ ⎨ ⎧ λ x 1 + x 2 + x 3 = 1 , x 1 + λ x 2 + x 3 = λ , x 1 + x 2 + λ x 3 = λ 2 解. 系数行列式 D = λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ = ( λ + 2 ) ( λ − 1 ) 2 ( λ + 2 ) (1) 当 λ = 1 λ = − 2 D = 0 唯一解 。(2) 当 λ = 1 三个方程都化为 x 1 + x 2 + x 3 = 1 r ( A ) = r ( A , b ) = 1 < 3 无穷多解 ，通解为 x = ( 1 , 0 , 0 ) T + k 1 ( − 1 , 1 , 0 ) T + k 2 ( − 1 , 0 , 1 ) T (3) 当 λ = − 2 系数矩阵每列元素之和为 0 0 1 + ( − 2 ) + 4 = 3 = 0 r ( A ) = 2 = r ( A , b ) = 3 无解 。4. D = 0 ★ 要懂 常有人误以为D = 0 D = 0 A 要么无解，要么有无穷多解 ；克拉默法则中的 x j = D j / D D j 如果 D = 0 D j = 0 。如果 D D j 完全在于秩 ：方程组有解 ⟺ r ( A ) = r ( A , b ) D D = 0 D = 0
证明 / 推导 证 设 A n D = ∣ A ∣ A x = b ① 有解的判别依据. 把 A A = ( α 1 , … , α n ) A x = b x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = b . b α 1 , … , α n b r ( A ) = r ( A , b ) r ( A ) = r ( A , b ) α 1 , … , α n α 1 , … , α n , b b r ( A ) = r ( A , b ) ② D = 0 由 D = 0 r ( A ) < n A x = 0 n − r ( A ) ≥ 1 η x 0 A x = b k A ( x 0 + k η ) = A x 0 + k A η = b + 0 = b , x 0 + k η η = 0 k D = 0 ③ D = 0 D j 在克拉默法则的另一种证法中，曾由行列式的多重线性得到恒等式D j j = x j D = 1 , 2 , … , n x D = 0 D = 0 D j = 0 j 若 D = 0 D j = 0 例中的方程组(乙)即是如此，D = 0 D 1 = 1 3 1 2 = − 1 = 0 , D 1 = D 2 = 0 D D j ⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 , x + y + z = 1 , x + y + z = 2 , D j D D j D = 0 ■ 举例说明 下面两个方程组的系数行列式都是 D = 1 2 1 2 = 0 (甲) { x + y = 1 2 x + 2 y = 2 2 r ( A ) = r ( A , b ) = 1 无穷多解 ，解集是整条直线 x + y = 1 (乙) { x + y = 1 2 x + 2 y = 3 r ( A ) = 1 = r ( A , b ) = 2 无解 ，两个方程表示两条平行直线。结论. 同样是 D = 0 D r ( A ) r ( A , b ) D = 0 5. 克拉默法则的价值在于理论：显式公式能证明消元法证不了的结论 用克拉默法则手算大型方程组，形式虽整齐但效率很低，要计算 n + 1 n 显式的商的公式 x j = D j / D D , D j 多项式 ，因此可以直接对解的代数性质作出结论，例如解是否为整数、是否连续依赖于参数、符号如何等等，这是数值消元法做不到的。下面关于整系数方程组何时必有整数解的结论，就是这一显式公式的一个典型应用。
举例说明 命题. 设线性方程组 A x = b A b det A = ± 1 x 证. 因为 det A = ± 1 = 0 x j = det A D j = ± D j D j D j ∈ Z x j = ± D j ∈ Z 验证. 取 A = ( 2 1 1 1 ) det A = 1 b = ( 3 , 2 ) T x 1 = 3 2 1 1 = 1 x 2 = 2 1 3 2 = 1 随堂练习 先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。
练习 1 · 填空题
用克拉默法则解方程组 { 2 x 1 + 3 x 2 = 8 , x 1 + 2 x 2 = 5 , x 1 =
练习 2 · 选择题
若齐次方程组 { k x 1 + x 2 = 0 , x 1 + k x 2 = 0 k =
练习 3 · 选择题
设线性方程组 A x = b n n 唯一解 的充要条件是（ ）。
练习 4 · 选择题
设 4 D = 3 D 1 = 3 , D 2 = 6 , D 3 = − 3 , D 4 = 0 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) =
A ( 1 , 2 , − 1 , 0 ) B ( 3 , 6 , − 3 , 0 ) C ( 1 , 2 , 1 , 0 ) D ( − 1 , − 2 , 1 , 0 ) 练习 5 · 选择题
关于克拉默法则，下列说法正确 的是（ ）。
A 当 D = 0 B 克拉默法则可用于方程个数与未知数个数不等的方程组C 齐次方程组 A x = 0 ∣ A ∣ = 0 D 当 D = 0