克拉默法则

线性代数 · 行列式

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 克拉默法则：用行列式把解写出来

设有

n

个方程、

n

个未知数的线性方程组，系数行列式记作

D

。

定理（克拉默法则）. 若

D \neq = 0

，则方程组有唯一解，且

x_{j} = \frac{D _{j}}{D}, j = 1, 2, \dots, n,

其中

D_{j}

是把

D

的第 $j$ 列换成方程组右端的常数列所得的行列式。

三件事要看清：

① 方程个数必须等于未知数个数（系数矩阵是方阵），否则连

D

都写不出来。

② 换的是第 $j$ 列，不是第 $j$ 行——求

x_{2}

就换第二列。这是用错最多的一处。

③ 分母永远是 $D$ ，分子才随

j

变。

它的价值不在计算. 真要解方程组，消元法比它快得多（

n

阶要算

n + 1

个行列式）。它的价值在于：给出了解的「公式」，于是能用来讨论解的存在与唯一性，以及在只问某一个

x_{j}

时直接算出来。

2. 齐次方程组：零解总有，非零解看 $D$

常数项全为零的方程组称为齐次的：

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0, ⋮ a_{n 1} x_{1} + \dots + a_{nn} x_{n} = 0.

它一定有解——全取零就是一个解，称为零解。所以问题从来不是「有没有解」，而是「有没有非零解」。

判据.

D \neq = 0 D = 0 只有零解 有非零解

前一半由克拉默法则直接得出：

D \neq = 0

时解唯一，而零解已经是一个解，所以它就是唯一的那个。

这条判据是考研里行列式最常见的用法：题目给一个含参数的齐次方程组，问参数取何值时有非零解——答案就是解方程 $D = 0$ 。

3. 非齐次： $D \neq = 0$ 时唯一， $D = 0$ 时要另行判断

对非齐次方程组（常数项不全为零）：

D \neq = 0 D = 0 有唯一解，由克拉默给出 无解或有无穷多解

$D = 0$ 这一行是克拉默法则管不了的. 公式

x_{j} = \frac{D _{j}}{D}

的分母为零，整条法则失效——它既不能断定无解，也不能断定有无穷多解。

要分清这两种情形，需要矩阵的秩（下一章的内容）。基础阶段只要记住：

$D = 0$ 时唯一能下的结论是「解不唯一」（没有唯一解），再往下就要换工具了。

两个常见的误答：

① 「 $D = 0$ 所以无解」——错的，也可能有无穷多解。

② 「 $D = 0$ 所以有无穷多解」——同样错的。

二元的情形可以画图体会：

D \neq = 0

是两条直线相交（一个交点）；

D = 0

则是平行（无解）或重合（无穷多解）——光看 $D$ 分不出是哪一种。

4. 什么时候该用它，什么时候不该

题目问 只求一个 x_{j} 含参数，唯一解 齐次，非零解 要解出全部 怎么办 克拉默 令 D \neq = 0 令 D = 0 消元法更快

为什么解全部时不用它：

n

阶要算

D

和

n

个

D_{j}

，一共

n + 1

个

n

阶行列式；而消元法一遍就下来了。三阶已经很费事，四阶基本不会有人这么解。

但只问一个未知数时它很划算：算

D

和一个

D_{j}

就够，不必把整个方程组解出来。

含参数的讨论题是它的主场。这类题的套路是固定的：

写出 $D$ （含参数）→ 按题目要的结论令 $D \neq = 0$ 或 $D = 0$ → 解出参数。

别忘了检查方程个数与未知数个数是否相等——不等时克拉默根本不适用，连

D

都写不出来。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用克拉默解方程：先验 $D$ ，再换列

第一步：确认方程个数

=

未知数个数，写出系数行列式

D

。

第二步：算

D

。

D = 0

就停——克拉默不适用。

第三步：求

x_{j}

就把

D

的第 $j$ 列换成常数列，算出

D_{j}

。

第四步：

x_{j} = \frac{D _{j}}{D}

，最后代回原方程验算。

例例. 解

{x_{1} + 2 x_{2} = 3 2 x_{1} + 3 x_{2} = 5

。

第一步，两个方程、两个未知数 ✓ 系数行列式

D = 1223

。

第二步，

D = 3 - 4 = - 1 \neq = 0

✓ 克拉默可用。

第三步，求

x_{1}

就把第一列换成常数列：

D_{1} = 3523 = - 1

；求

x_{2}

换第二列：

D_{2} = 1235 = - 1

。

第四步，

x_{1} = \frac{- 1}{- 1} = 1

、

x_{2} = 1

。代回原方程：

1 + 2 = 3

✓

2 + 3 = 5

✓

换错列是唯一会翻车的地方：求第 $j$ 个未知数换第 $j$ 列，不是第

j

行。

含参数的讨论题：写出 $D$ ，按要求令它为零或不为零

第一步：写出含参数的系数行列式

D

。

第二步：问「唯一解」就令

D \neq = 0

；问齐次的「非零解」就令

D = 0

。

第三步：解出参数。注意根可能不止一个。

第四步：答案用「且」还是「或」要想清楚——排除多个值时用「且」。

例例.

λ

取何值时，齐次方程组

{λ x_{1} + x_{2} = 0 x_{1} + λ x_{2} = 0

有非零解？

第一步，

D = λ 1 1 λ = λ^{2} - 1

。

第二步，问齐次的「非零解」

\Rightarrow

令

D = 0

。

第三步，

λ^{2} - 1 = 0

给出

λ = 1

或

λ = - 1

——根不止一个。

第四步，答：

λ = 1

或

λ = - 1

。

「且」与「或」要分清：这里两个值各自都行，用或；若问的是「只有零解」，就要同时排除这两个值，答「

λ \neq = 1

且

λ \neq = - 1

」。

判断解的情况：先看齐次还是非齐次

齐次（常数项全为零）：

D \neq = 0

只有零解；

D = 0

有非零解。

非齐次：

D \neq = 0

有唯一解；

D = 0

只能说不唯一，是无解还是无穷多解要另行判断。

二元时可以画图体会：相交 / 平行 / 重合。

读题第一眼先看常数项，齐次与非齐次问的根本不是同一件事。

例例.

D = 0

时，齐次与非齐次的情况一样吗？

齐次

{x_{1} + x_{2} = 0 2 x_{1} + 2 x_{2} = 0

：

D = 0

\Rightarrow

有非零解（如

(1, - 1)

）。齐次组永远有零解，所以这个结论是确定的。

非齐次

{x_{1} + x_{2} = 1 2 x_{1} + 2 x_{2} = 3

：

D = 0

，两式矛盾

\Rightarrow

无解；

而

{x_{1} + x_{2} = 1 2 x_{1} + 2 x_{2} = 2

的

D

也是

0

，却有无穷多解。

所以非齐次在

D = 0

时只能说不唯一，到底是无解还是无穷多，要靠秩去判。

二元时画图就看得见：齐次那例是两条重合的过原点直线，非齐次两例分别是平行与重合。读题第一眼先看常数项。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

换成了第 $j$ 行

求

x_{j}

要把第 $j$ 列换成常数列。

x_{j}

的系数本来就排在第

j

列上。

这是克拉默法则用错最多的一处。动笔前指着行列式念一遍「第二列是

y

的系数，所以换第二列」。

$D = 0$ 还套公式

x_{j} = \frac{D _{j}}{D}

的分母为零，整条法则失效。

$D = 0$ 时唯一能下的结论是「解不唯一」，至于无解还是无穷多解，要用矩阵的秩去分。

齐次方程组问「有没有解」

齐次方程组一定有解（零解）。该问的是有没有非零解。

判据：

D = 0

时有非零解，

D \neq = 0

时只有零解。读题第一眼先看常数项是不是全为零。

答案里「且」写成「或」

排除多个值时要用「且」：

a \neq = 1

且

a \neq = - 1

。

写成「或」等于什么都没排除——任何数都满足其中之一。这个逻辑小错很常见，而且整题判错。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 法则怎么用

练 1

克拉默法则中，求

x_{2}

时应把系数行列式的（）换成常数列。

A第二行
B第一列
C第二列
D最后一列

练 2

方程组

{x + 2 y = 5 3 x + 4 y = 11

的系数行列式

D =

________。

练 3

承上题，

D_{1} = 51124 =

________。

练 4

克拉默法则适用的前提是（）。

A方程个数等于未知数个数，且 $D \neq = 0$
B方程个数多于未知数个数
C常数项全为零
D $D = 0$

第二组 · 齐次与非齐次

练 5

齐次线性方程组有非零解的充要条件是（）。

A $D \neq = 0$
B $D = 0$
C $D > 0$
D常数项不全为零

练 6

齐次方程组

{λ x + y = 0 x + λ y = 0

有非零解时，

λ = \pm

________。

练 7

齐次线性方程组（）。

A可能无解
B一定有唯一解
C一定有解
D一定有无穷多解

练 8

方程组

{a x + y = 1 x + a y = 1

有唯一解时，

a \neq = \pm

________。

第三组 · $D=0$ 之后

练 9

非齐次线性方程组的系数行列式

D = 0

，则该方程组（）。

A一定无解
B一定有无穷多解
C一定有唯一解
D无解或有无穷多解，需另行判断

练 10

二元非齐次方程组

D = 0

时，两条直线的位置关系是（）。

A相交于一点
B平行或重合
C垂直
D无法判断

练 11

要解一个三元非齐次方程组的全部未知数，更省事的办法是（）。

A克拉默法则
B消元法
C两者工作量相同
D范德蒙公式

练 12

方程组

{x + y = 1 2 x + 2 y = c

有无穷多解时，

c =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

克拉默法则

先打基础

1. 克拉默法则：用行列式把解写出来

2. 齐次方程组：零解总有，非零解看 D

3. 非齐次：D=0 时唯一，D=0 时要另行判断

4. 什么时候该用它，什么时候不该

常用结构

用克拉默解方程：先验 D，再换列

含参数的讨论题：写出 D，按要求令它为零或不为零

判断解的情况：先看齐次还是非齐次

基础易错

换成了第 j 行

D=0 还套公式

齐次方程组问「有没有解」

答案里「且」写成「或」

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 齐次方程组：零解总有，非零解看 $D$

3. 非齐次： $D \neq = 0$ 时唯一， $D = 0$ 时要另行判断

用克拉默解方程：先验 $D$ ，再换列

含参数的讨论题：写出 $D$ ，按要求令它为零或不为零

换成了第 $j$ 行

$D = 0$ 还套公式