克拉默法则

克拉默法则 $x_j=D_j/D$ 并非只能强记的公式。事实上，当 $A$ 可逆时方程组的解为 $x=A^{-1}b$，再利用伴随矩阵与行列式按列展开，就必然得到这个公式。弄清这一推导，可以同时明白两件事：解为什么写成两个行列式之商，以及为什么要把第 $j$ 列换成常数列。推导所依据的是 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$，其中伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的 $(i,j)$ 元是代数余子式 $A_{ji}$（注意下标是转置的）。

克拉默法则的适用条件有两条，缺一便不能使用：(1) 方程个数 $=$ 未知数个数（系数矩阵为方阵，才谈得上系数行列式）；(2) 系数行列式 $D\ne 0$。二者同时满足时，方程组有唯一解 $x_j=D_j/D$。

如果 $D=0$，那么 $x_j=D_j/D$ 的分母为零，公式不能再用来求解。但是各个 $D_j$ 未必都为零，由此还留下一条判据：如果 $D=0$ 而某个 $D_j\ne 0$，那么方程组无解。如果 $D$ 与各个 $D_j$ 全为零，那么这条判据不给出结论，只能改用秩来判别：方程组有解 $⟺r(A)=r(A,b)$。由 $D=0$ 知 $r(A)<n$，因此方程组一旦有解，解就有无穷多个。必须注意，$D=0$ 并不意味着无解，这是最常见的错误。

把克拉默法则用于齐次方程组 $Ax=0$（$n$ 个方程 $n$ 个未知数），立即得到一条十分常用的判据：

- 若 $D=|A|\ne 0$，则只有唯一零解 $x=0$；
- 方程组有非零解的充分必要条件是 $D=|A|=0$。

这条判据把方程组是否有非零解这一存在性问题，化归为计算一个行列式是否为零，它也是讨论线性相关性、矩阵的秩以及特征值（$|\lambda E-A|=0$）的共同出发点。含参数的题目通常问：$\lambda$ 取何值时齐次方程组有非零解。解法总是令系数行列式为零，再由此解出 $\lambda$；这类行列式几乎总能化为关于 $\lambda$ 的若干因式之积。

讨论含参数且方程个数 $=$ 未知数个数的非齐次方程组解的情况，是克拉默法则在数学二中最常用的场合。标准做法分三步：

(1) 计算系数行列式 $D(\lambda )$，通常可化为若干因式之积；
(2) 对使 $D(\lambda )\ne 0$ 的 $\lambda$，由克拉默法则断定方程组有唯一解；
(3) 对使 $D(\lambda )=0$ 的每一个特殊的 $\lambda$，把该值代回方程组，对增广矩阵作初等行变换，比较 $r(A)$ 与 $r(A,b)$，从而分别判定为无穷多解或无解。

必须注意：$D=0$ 只说明唯一解的结论不再成立，因此对每个特殊值都要单独讨论，不能一概而论。