行列式的计算

§7.2 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.03 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

3.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）行列式的概念与性质③ 掌握后可解锁克拉默法则特征值与特征向量的概念与计算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 化为三角形是计算行列式的通用方法，但三种行（列）变换对行列式值的影响必须分别记清★★ 必会

任何行列式都可以用初等变换化为三角形来计算，这是最通用的方法。但是三种变换对行列式值的影响各不相同，必须分别记清：

- 倍加（某行的

k

倍加到另一行）：值不变，它是化简的主要手段，可以放心使用。
- 互换两行（或两列）：值变号，每互换一次就记下一个

(- 1)

。
- 提公因子（从某行提出

k

）：提出以后要在行列式外面乘回 $k$ 。

化为三角形的一般步骤如下：从第

1

列开始，用倍加把主对角线下方的元素消成

0

；如果某个主元位置上是

0

，就把它所在的行与下方某个非零行互换，同时记下变号；最后取主对角元之积，并把途中互换所产生的符号与提出的公因子都乘回去。

证明 / 推导

下面从行列式的定义出发，说明三种变换为什么各有不同的效果。

n

阶行列式的定义为

∣ A ∣ = σ \sum (- 1)^{τ (σ)} a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{nσ (n)},

其中

σ

取遍

1, 2, \dots, n

的一切排列，

τ (σ)

是排列

σ

的逆序数。由此可见，展开式中的每一项都从每一行取且只取一个元素。
① 提公因子。把第

i

行的每个元素都乘以

k

。展开式中的每一项都含一个来自第

i

行的因子，故每一项都变为原来的

k

倍，整个和也变为

k

倍。因此从某一行提出公因子

k

以后，要在行列式外面乘回

k

。由同一条定义还可以得到拆行的性质：如果第

i

行是两行之和，那么行列式等于相应的两个行列式之和。
② 互换两行。把第

i

行与第

j

行互换。展开式中的每一项仍是取自不同行不同列的

n

个元素之积，只是列标所成的排列被作了一次对换。对换改变排列逆序数的奇偶性，故每一项的符号都改变，从而整个行列式变号。
由 ② 立刻得到一条推论：如果行列式有两行完全相同，那么它等于零。事实上，把这两行互换，矩阵并没有改变，故行列式仍为

D

；但按 ② 它又等于

- D

。由

D = - D

得

2 D = 0

，所以

D = 0

。
③ 倍加。把第

j

行的

k

倍加到第

i

行上，其中

i \neq = j

。由 ① 中的拆行性质，所得行列式等于两个行列式之和。第一个就是原来的行列式。第二个的第

i

行是第

j

行的

k

倍，提出

k

以后它有两行相同，由上面的推论知它等于零。因此倍加不改变行列式的值，可以放心使用。
④ 三角形行列式等于主对角元之积。设

A

是上三角形，即当

i > j

时

a_{ij} = 0

。若展开式中某一项不为零，则对每个

k

必有

σ (k) \geq k

。先看

k = n

，由

σ (n) \geq n

得

σ (n) = n

；再看

k = n - 1

，由

σ (n - 1) \geq n - 1

且

σ (n - 1) \neq = n

，得

σ (n - 1) = n - 1

。如此自下而上推下去，得

σ

为恒等排列。故展开式中只剩一项

a_{11} a_{22} \dots a_{nn}

，它的逆序数为零，符号为正。
把 ①②③④ 合起来，就是化三角形这一算法的全部依据。用 ③ 消元不必附记任何因子。用 ② 换行时记下一个

- 1

，用 ① 提因子时记下一个

k

。最后由 ④ 取主对角元之积。

■

举例说明

计算

D = 012231121

。

解. 主元位置上

a_{11} = 0

，先把第

1, 2

行互换，行列式变号，记下一个

- 1

：

D = - 102321211 .

再把第

1

行的

(- 2)

倍加到第

3

行，倍加不改变行列式的值：

D = - 100 32 - 5 21 - 3 .

又把第

2

行的

\frac{5}{2}

倍加到第

3

行，第

(3, 3)

元变为

- 3 + \frac{5}{2} \times 1 = - \frac{1}{2}

，于是

D = - 100320 21 - \frac{1}{2} = - (1 \times 2 \times (- \frac{1}{2})) = - (- 1) = 1.

所以

D = 1

。这里的负号全部来自最初的那一次互换。如果把它漏掉，就会得到 $- 1$ ，结果完全错误。

2. 按行（列）展开的正确做法：先造零，只留一个非零元再展开★★ 必会

拉普拉斯展开

D = \sum_{k} a_{ik} A_{ik}

是行列式降阶的基本工具。但是直接按某一行展开往往越展越多，一个

4

阶行列式展成

4

个

3

阶行列式，反而更繁。正确的做法是：先用倍加在某一行（列）中造出尽可能多的零，最好只剩一个非零元，再沿这一行（列）展开，一步就把

n

阶干净地降为一个

n - 1

阶。选取行（列）的原则是，哪里零多、哪里便于造零，就沿哪里展开。

此外还要注意代数余子式的符号

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}

，不要把

A_{ij}

与余子式

M_{ij}

混用。另有一条常考的规律：用某一行的元素去乘另一行对应的代数余子式，其和恒为零，即

\sum_{k} a_{s k} A_{ik} = 0 (s \neq = i)

。

证明 / 推导

下面证明用某一行的元素去乘另一行的代数余子式，所得的和为零，即

\sum_{k} a_{s k} A_{ik} = 0 (s \neq = i)

。为此构造新矩阵

B

：把原矩阵

A

的第

i

行整行换成第

s

行，其余各行不动。于是

B

的第

i

行与第

s

行完全相同，故

∣ B ∣ = 0

。另一方面，

B

与

A

只有第

i

行不同，而代数余子式

A_{ik}

只依赖于第

i

行以外的元素，因此

B

的第

i

行的代数余子式仍是

A_{ik}

。把

∣ B ∣

按第

i

行展开，得

∣ B ∣ = \sum_{k} b_{ik} A_{ik} = \sum_{k} a_{s k} A_{ik}

。两式相比较，即得

\sum_{k} a_{s k} A_{ik} = ∣ B ∣ = 0

。

■

举例说明

计算

D = 1472583610

，并验证

a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23} = 0

。

解. 先计算

D

：把第

2

行减去

4 \times

第

1

行，第

3

行减去

7 \times

第

1

行，得

100 2 - 3 - 6 3 - 6 - 11

，再沿第

1

列展开

= 1 \times - 3 - 6 - 6 - 11 = 33 - 36 = - 3

。

下面验证异行的展开：第

2

行的代数余子式为

A_{21} = - 28310 = 4

，

A_{22} = 17310 = - 11

，

A_{23} = - 1728 = 6

。用第

1

行的元素去乘，得

1 \times 4 + 2 \times (- 11) + 3 \times 6 = 4 - 22 + 18 = 0

，这就验证了异行的元素与代数余子式乘积之和为零。

3. 范德蒙德行列式：注意连乘的方向 $\prod_{i < j} (x_{j} - x_{i})$ ，并会用归纳法证明★ 要懂

范德蒙德行列式

V_{n} = 1 x_{1} ⋮ x_{1}^{n - 1} 1 x_{2} ⋮ x_{2}^{n - 1} \dots \dots \dots 1 x_{n} ⋮ x_{n}^{n - 1} = 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i})

是高阶行列式中唯一有封闭连乘公式的标准形式。只要认出各列分别是同一变量的

0, 1, \dots, n - 1

次幂，就可以直接写出结果。连乘的方向是下标大的减去下标小的，即 $(x_{j} - x_{i})$ ，写反就会相差一个符号。 由此得到一个直接的推论：

V_{n} \neq = 0 ⟺ x_{1}, \dots, x_{n}

两两不同。这一点在多项式插值和判断向量组线性无关时反复用到。

证明 / 推导

下面用降阶的方法归纳地证明

V_{n} = \prod_{i < j} (x_{j} - x_{i})

。自下而上依次消元：对每一行作

r_{k} \to r_{k} - x_{1} r_{k - 1}

（

k = n, n - 1, \dots, 2

）。这样一来，第

1

列中除顶端的

1

以外全变为

0

，而第

j

列（

j \geq 2

）第

k

行的元素变为

x_{j}^{k - 1} - x_{1} x_{j}^{k - 2} = x_{j}^{k - 2} (x_{j} - x_{1})

。沿第

1

列展开，就降为

n - 1

阶，再从每一列

j

中提出公因子

(x_{j} - x_{1})

，得

V_{n} = j = 2 \prod n (x_{j} - x_{1}) \cdot V_{n - 1} (x_{2}, \dots, x_{n}) .

以

V_{1} = 1

为基础反复递推，即得

V_{n} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_{j} - x_{i})

。

■

举例说明

计算

4

阶行列式

1111124813927141664

。

解. 各列分别是

x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3, x_{4} = 4

的

0, 1, 2, 3

次幂，这是标准的范德蒙德行列式。代入公式，得

V_{4} = 1 \leq i < j \leq 4 \prod (x_{j} - x_{i}) = (2 - 1) (3 - 1) (4 - 1) (3 - 2) (4 - 2) (4 - 3) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 12.

所以所求行列式

= 12

。如果用化三角形的办法直接计算这个

4

阶行列式，要费不少功夫；认出范德蒙德结构，则一步即得。

4. 递推法：建立 $D_{n} = p D_{n - 1} + q D_{n - 2}$ 之后，用特征方程解出通项

对于三对角行列式以及其他有规律的高阶行列式，按第一行（列）展开常常得到二阶线性递推关系

D_{n} = p D_{n - 1} + q D_{n - 2}

。写出递推关系以后不能就此停下，要像解常系数线性递推数列那样把通项解出来：先写特征方程

x^{2} = p x + q

，设它的两个根为

x_{1}, x_{2}

。

- 两根相异（

x_{1} \neq = x_{2}

）时，通解为

D_{n} = c_{1} x_{1}^{n} + c_{2} x_{2}^{n}

；
- 两根相等（

x_{1} = x_{2}

）时，通解为

D_{n} = (c_{1} + c_{2} n) x_{1}^{n}

。

常数

c_{1}, c_{2}

由初值

D_{1}, D_{2}

定出。按照建立递推

\to

特征方程

\to

确定常数的次序进行，就是求

n

阶有规律的行列式的一般方法。

证明 / 推导

为什么按第一行展开能够得到二阶递推关系？以三对角行列式（主对角元为

a

、上次对角元为

b

、下次对角元为

c

）为例，沿第一行展开，得

D_{n} = a D_{n - 1} - b \cdot M

，其中

M

是划去第

1

行第

2

列所得的子式。对

M

再沿它的第一列展开，其中只有原来

(2, 1)

位置上的元素

c

不为零，而余下的子式就是

D_{n - 2}

，故

M = c D_{n - 2}

，于是

D_{n} = a D_{n - 1} - b c D_{n - 2}

。特征方程法之所以有效，是因为把

D_{n} = x^{n}

代入齐次递推关系

D_{n} - p D_{n - 1} - q D_{n - 2} = 0

，得

x^{n - 2} (x^{2} - p x - q) = 0

，所以当

x

取特征根时，

x^{n}

是它的一个解；再由线性叠加与初值，就唯一地确定了通项。

■

举例说明

计算

n

阶三对角行列式：主对角线上的元素全为

3

，紧邻主对角线上方的元素全为

1

、下方的全为

2

，即

D_{n} = 32132 13 ⋱ ⋱ ⋱ 2 13

。

解. 沿第一行展开，得递推关系

D_{n} = 3 D_{n - 1} - (1) (2) D_{n - 2} = 3 D_{n - 1} - 2 D_{n - 2}

，初值为

D_{1} = 3

，

D_{2} = 3213 = 7

。特征方程

x^{2} - 3 x + 2 = 0

有相异根

x_{1} = 1, x_{2} = 2

，故

D_{n} = c_{1} \cdot 1^{n} + c_{2} \cdot 2^{n}

。代入初值，得

c_{1} + 2 c_{2} = 3

、

c_{1} + 4 c_{2} = 7

，解得

c_{2} = 2, c_{1} = - 1

，于是

D_{n} = - 1 + 2 \cdot 2^{n} = 2^{n + 1} - 1.

容易验证

D_{3} = 2^{4} - 1 = 15

，与直接展开的结果一致。

💡 小知识

范德蒙德行列式以 18 世纪法国数学家范德蒙德命名，但他本人的著作里并没有写下这个行列式。数学史上这类张冠李戴的命名并不少见，它是其中相当有名的一例。如今在多项式插值、信号处理里到处都能见到它。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用化三角形的方法计算

D = 123231112

。难度 1

主线：用『倍加不变』把主对角线下方消成 $0$ ，化成上三角，再取对角线乘积。
第一步，把第

1

行的

(- 2)

倍加到第

2

行、

(- 3)

倍加到第

3

行（倍加不改变行列式值）：

D = 100 2 - 1 - 5 1 - 1 - 1 .

第二步，把第

2

行的

(- 5)

倍加到第

3

行：

D = 100 2 - 1 0 1 - 1 4 = 1 \times (- 1) \times 4 = - 4.

所以

D = - 4

。全程只用倍加（不变号、不提公因子），最稳妥。

例 2 计算

D = 522252225

。难度 1

识别结构：每行元素之和都相等（都是

5 + 2 + 2 = 9

），这是『行和相等型』，标准套路是把其余各列加到第一列，提出公因子。
把第

2, 3

列加到第

1

列，第一列变成

(9, 9, 9)^{T}

，提出

9

：

D = 9111252225 .

再把第

1

行的

(- 1)

倍加到第

2, 3

行，化为下三角：

D = 9100230203 = 9 \times (1 \times 3 \times 3) = 81.

所以

D = 81

。（也可套『对角为

a

、其余为

b

』的公式

[a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1} = [5 + 2 \times 2] (5 - 2)^{2} = 9 \times 9 = 81

。）

例 3 计算范德蒙德型行列式

D = 1241391525

。难度 2

认结构：第

1

列是

2

的

0, 1, 2

次幂

(1, 2, 4)

，第

2

列是

3

的各次幂

(1, 3, 9)

，第

3

列是

5

的各次幂

(1, 5, 25)

，即

x_{1} = 2, x_{2} = 3, x_{3} = 5

的范德蒙德行列式。直接套公式

D = 1 \leq i < j \leq 3 \prod (x_{j} - x_{i}) = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) .

代入：

D = (3 - 2) (5 - 2) (5 - 3) = 1 \times 3 \times 2 = 6.

所以

D = 6

。注意连乘方向是『下标大的减下标小的』，写反会差一个符号。

例 4 计算爪形（箭形）行列式

D = 2111110010101001

。难度 2

爪形行列式的套路：用对角线上的元素把『爪尖』（第一行或第一列的那串非零元）消掉，化成三角形。 这里第

2, 3, 4

列的对角元都是

1

，正好拿来消第一行的三个

1

。
把第

2, 3, 4

列都减到第

1

列上（即

C_{1} \to C_{1} - C_{2} - C_{3} - C_{4}

，倍加不变）：第

1

列由

(2, 1, 1, 1)^{T}

变为

(2 - 1 - 1 - 1, 1 - 1, 1 - 1, 1 - 1)^{T} = (- 1, 0, 0, 0)^{T}

：

D = - 1 000 110010101001 .

这已是上三角行列式，等于主对角线之积：

D = (- 1) \times 1 \times 1 \times 1 = - 1.

所以

D = - 1

。爪形的关键是看准哪一排对角元能『反过来』把爪尖清零。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

已知线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ a x_{1} + x_{3} = 1, x_{1} + a x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0, a x_{1} + b x_{2} = 2

有解，其中

a, b

为常数。若

a 11 0 a 2 11 a = 4

，则

11 a a 2 b 1 a 0 =

___。

2022 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = 111 1 a b 1 a^{2} b^{2}

，

b = 124

，则线性方程组

A x = b

的解的情况为（　　）

A无解.
B有解.
C有无穷多解或无解.
D有唯一解或无解.

2021 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

多项式

f (x) = x 122 x x 1 - 1 12 x 1 2 x - 1 1 x

中

x^{3}

项的系数为 ___。

2020 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

行列式

a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a =

___。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

行列式

411141114 =

____。

练习 2 · 选择题

范德蒙德行列式

1111391525 =

（）。

A $8$
B $16$
C $12$
D $30$

练习 3 · 填空题

副对角线行列式

004030200 =

____。

练习 4 · 选择题

行列式

1312241200230001 =

（）。

A $4$
B $- 4$
C $- 2$
D $2$

练习 5 · 填空题

4

阶行列式

3222232222322223 =

____。

练习 6 · 选择题

设

n

阶行列式

D_{n}

的主对角线元素全为

2

，主对角线正上方与正下方相邻位置的元素全为

1

，其余元素全为

0

（即三对角行列式）。则

D_{n} =

（　）

A $n!$
B $2^{n}$
C $2 n - 1$
D $n + 1$

练习 7 · 填空题

设

D = 1234234134124123,

A_{ij}

表示元素

a_{ij}

的代数余子式，则

A_{41} + A_{42} + A_{43} + A_{44} =

____。

练习 8 · 解答题

设

n

阶行列式

D_{n} = 310 ⋮ 00 231 ⋮ 00 023 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ 31 000 ⋮ 23

（主对角线元素全为

3

，正上方相邻元素全为

2

，正下方相邻元素全为

1

，其余全为

0

）。

(1) 按第一列展开，建立

D_{n}

关于

D_{n - 1}, D_{n - 2}

的递推关系；

(2) 求

D_{n}

的表达式，并算出

D_{10}

。

2019 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

已知矩阵

A = 1 - 2 30 - 1 1 - 2 0 0 - 1 23 01 - 1 4

，

A_{ij}

表示

∣ A ∣

中

(i, j)

元的代数余子式，则

A_{11} - A_{12} =

___。

2014 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

行列式

0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d =

（　　）

A $(a d - b c)^{2}$ .
B $- (a d - b c)^{2}$ .
C $a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2}$ .
D $b^{2} c^{2} - a^{2} d^{2}$ .

行列式的计算

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 化为三角形是计算行列式的通用方法，但三种行（列）变换对行列式值的影响必须分别记清★★ 必会

2. 按行（列）展开的正确做法：先造零，只留一个非零元再展开★★ 必会

3. 范德蒙德行列式：注意连乘的方向 ∏i<j​(xj​−xi​)，并会用归纳法证明★ 要懂

4. 递推法：建立 Dn​=pDn−1​+qDn−2​ 之后，用特征方程解出通项

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 范德蒙德行列式：注意连乘的方向 $\prod_{i < j} (x_{j} - x_{i})$ ，并会用归纳法证明★ 要懂

4. 递推法：建立 $D_{n} = p D_{n - 1} + q D_{n - 2}$ 之后，用特征方程解出通项