行列式的概念与性质

§7.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.43 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

3.1 分支撑的下游价值

前置诊断

这是地基知识点，无前置要求，可以直接学习。

③ 掌握后可解锁行列式的计算克拉默法则逆矩阵伴随矩阵

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 由逆序数确定符号；对角线法则只适用到三阶，四阶必错★ 要懂

按定义

D = \sum (- 1)^{τ (j_{1} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} \dots a_{n j_{n}}

，其中每一项都是从每行每列各取一个元素相乘所得，而它的符号由列标排列的逆序数 $τ$ 的奇偶性确定：偶排列取

+

，奇排列取

-

。因此，判定一项的正负时，先把这一项按行标的自然顺序写成

a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots

的形式，再数出列标

(j_{1}, \dots, j_{n})

的逆序数即可。

如果把三阶的对角线法则搬用到四阶，就会得出错误的结果。事实上，

n

阶行列式按定义共有

n!

项，而对角线法则至多只能给出

2 n

项。二阶时

2! = 2

，三阶时

3! = 6

，恰好与相应的项数相等，所以法则在这两种情形下成立；但四阶时

4! = 24

，远大于

2 \times 4 = 8

，对角线法则将遗漏

16

项，结果必然出错。由此可见，对角线法则只在 $n \leq 3$ 时成立；四阶及四阶以上一律改用行列式的性质化简，或者按行（列）展开。

证明 / 推导

先证对角线法则给出的项数

= 2 n

，而按定义共有

n!

项。定义式取遍

1, \dots, n

的全部

n!

个排列，故恰有

n!

项。对角线法则中的正项沿平行于主对角线的方向（含循环）取乘积，共

n

条；负项沿副对角线的方向，也有

n

条，合计

2 n

项。令

n! = 2 n

，即

(n - 1)! = 2

，则只有

n = 3

满足（

n = 2

时的退化情形也成立）。当

n \geq 4

时

(n - 1)! > 2

，即

n! > 2 n

，于是对角线法则给出的

2 n

项只是全部

n!

项的真子集。由于漏掉了一部分项，所得结果必然错误。

■

举例说明

判定

4

阶行列式的展开式中，项

a_{13} a_{21} a_{34} a_{42}

的符号。

解. 行标已按自然顺序排成

1, 2, 3, 4

，列标为

(3, 1, 4, 2)

。数它的逆序：

3 > 1

、

3 > 2

（共

2

个），

1

之后没有比它小的数，

4 > 2

（共

1

个），因此

τ (3142) = 3

，是奇排列，符号为

(- 1)^{3} = - 1

，故该项应带负号。

对照. 这一项并不在主对角线与副对角线方向的那

8

项之中。由此可见，四阶行列式有大量项被对角线法则遗漏，只能用逆序数或按行（列）展开来处理。

2. 三角形、对角形、副对角线形、分块三角形：四类可以直接写出值的行列式★ 要懂

计算行列式时，通常要把它化成下面几种能够直接写出结果的特殊形状，这几个结论必须熟记：

- 上三角形、下三角形与对角形：其值

=

主对角线上各元素之积。
- 副对角线三角形（

n

阶，反对角线上依次为

a_{1 n}, a_{2, n - 1}, \dots, a_{n 1}

，其余元素为

0

）：其值

= (- 1)^{\frac{n ( n - 1 )}{2}} a_{1 n} a_{2, n - 1} \dots a_{n 1}

。注意式子前面的符号因子，并不是简单地连乘。
- 分块三角形：

A O C B = A C O B = ∣ A ∣ ∣ B ∣

（这里要求

A, B

都是方阵）。

其中最易出错的是副对角线情形的符号

(- 1)^{n (n - 1) /2}

：

n = 2

时为

- 1

，

n = 3

时为

(- 1)^{3} = - 1

，

n = 4

时为

(- 1)^{6} = + 1

，

n = 5

时为

(- 1)^{10} = + 1

，以两负两正为周期，不可一律取正号。

证明 / 推导

下面推导副对角线公式中的符号因子。把该行列式的各行整个上下翻转，即第

1

行与第

n

行互换，第

2

行与第

n - 1

行互换，依此类推。这样反对角线上的元素就落到了主对角线上，行列式化为上三角形，其值为

a_{1 n} a_{2, n - 1} \dots a_{n 1}

。这一翻转共作了

⌊ n /2 ⌋

次两行互换，而每互换一次行列式变号一次，因此原行列式

= (- 1)^{⌊ n /2 ⌋} a_{1 n} \dots a_{n 1}

。再验证两个指数的奇偶性一致：

⌊ n /2 ⌋

与

\frac{n ( n - 1 )}{2}

同奇偶（

n = 2, 3

时均为奇数，

n = 4, 5

时均为偶数，以

4

为周期），从而可以写成常见的形式

(- 1)^{\frac{n ( n - 1 )}{2}} a_{1 n} a_{2, n - 1} \dots a_{n 1}

。

■

举例说明

计算

4

阶副对角线行列式

0005004003002000

。

解. 此时

n = 4

，符号因子

(- 1)^{\frac{4 \times 3}{2}} = (- 1)^{6} = + 1

，反对角线上各元素之积为

2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120

，故所求行列式

= + 120

。如果误认为副对角线情形一律取负号，就会得到

- 120

，这是没有算清符号因子

(- 1)^{n (n - 1) /2}

所致的典型错误。

3. 处理抽象行列式的常用公式： $∣ k A ∣, ∣ A B ∣, ∣ A^{- 1} ∣, ∣ A^{*} ∣$

若题目只给出矩阵之间的关系而不给出具体元素，要求

∣ A ∣

或与之有关的量，一般不能直接计算，而应在已知等式的两边同时取行列式，把矩阵的关系化为数的关系。为此必须记牢下面一组公式（设

A

为

n

阶方阵）：

-

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

（数乘整个矩阵时，因子要提

n

次方，最常见的错误是写成

k ∣ A ∣

）；
-

∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣

，从而

∣ A^{m} ∣ = ∣ A ∣^{m}

；
- 当

A

可逆时

∣ A^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ A ∣}

（这是因为

∣ A ∣∣ A^{- 1} ∣ = ∣ E ∣ = 1

）；
-

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

（式中出现的是伴随矩阵，证明见下）；
-

∣ A^{T} ∣ = ∣ A ∣

。

还须注意 $∣ A + B ∣ \neq = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$ ：行列式对矩阵的加法不能拆开。因此在抽象矩阵题中遇到和式时，通常要先作因式分解，把它化成乘积，然后再取行列式。

证明 / 推导

下面证明

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

。由伴随矩阵的基本关系

A A^{*} = ∣ A ∣ E

，在两边取行列式，得

∣ A ∣ ∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣ E = ∣ A ∣^{n}

（这是因为

∣ A ∣ E

相当于把

n

阶单位阵的每一行都乘以

∣ A ∣

，而

∣ k E ∣ = k^{n}

）。

若

∣ A ∣ \neq = 0

，则约去

∣ A ∣

即得

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

。若

∣ A ∣ = 0

，则

A

不满秩，此时可以证明

A^{*}

也不满秩，于是

∣ A^{*} ∣ = 0 = ∣ A ∣^{n - 1}

（这里

n \geq 2

），公式仍然成立。

■

举例说明

设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = 2

，求

∣ A^{*} ∣

、

∣2 A^{- 1} ∣

与

∣ - A^{2} ∣

。

解. 这里

n = 3

。
-

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1} = 2^{2} = 4

；
-

∣2 A^{- 1} ∣ = 2^{3} ∣ A^{- 1} ∣ = 8 \times \frac{1}{∣ A ∣} = 8 \times \frac{1}{2} = 4

；
-

∣ - A^{2} ∣ = (- 1)^{3} ∣ A^{2} ∣ = - ∣ A ∣^{2} = - 4

。

以上每一步都是先用

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

提出系数，再用

∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣

把乘积拆开，最后用

∣ A^{- 1} ∣ = 1/∣ A ∣

或

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

求出结果。这就是处理抽象行列式问题的一般方法。

4. 行列式最重要的用途： $∣ A ∣ = 0 ⟺$ 不可逆 $⟺$ 列相关 $⟺ A x = 0$ 有非零解★★ 必会

本节的全部性质与计算，最终都归结为一个判断： $∣ A ∣$ 是否为零。事实上，对

n

阶方阵

A

，下面四件事完全等价，在线性代数中被反复使用：

∣ A ∣ \neq = 0 ⟺ A 可逆 ⟺ A 的列（行）向量线性无关 ⟺ A x = 0 只有零解 .

把它取反，就得到另一半结论：

∣ A ∣ = 0 ⟺ A

不可逆

⟺

列向量线性相关

⟺ A x = 0

有非零解。判断矩阵是否可逆、向量组是否线性相关、齐次方程组有无非零解，以及含参数时求参数的临界值，实质上都是计算一个行列式并判断它是否为零。下一节的克拉默法则，以及后面讨论的秩与特征值（由

∣ λ E - A ∣ = 0

求出），也都以此为起点。

证明 / 推导

下面证明其中最关键的一环，即

∣ A ∣ = 0 ⟺

列向量线性相关（记

A

的列向量为

α_{1}, \dots, α_{n}

）。

（ $\Leftarrow$ ）由列向量相关 $\Rightarrow ∣ A ∣ = 0$ . 若列向量线性相关，则其中某一列可由其余各列线性表示，不妨设

α_{n} = \sum_{i < n} k_{i} α_{i}

。用倍加变换把各

α_{i}

的

- k_{i}

倍逐个加到第

n

列上（行列式的值不变），则第

n

列全变为零，故

∣ A ∣ = 0

。

（ $\Rightarrow$ ） $∣ A ∣ = 0 \Rightarrow$ 列向量相关. 用逆否命题来证，即证线性无关

\Rightarrow ∣ A ∣ \neq = 0

：若

α_{1}, \dots, α_{n}

线性无关，那么它们构成

R^{n}

的一组基，对

A

只施行倍加与互换两种变换（这不改变行列式是否为零），可以化成对角元全不为零的三角形，于是

∣ A ∣ \neq = 0

。把两个方向合起来，等价性就得到了证明。

■

举例说明

判断矩阵

A = 147258369

是否可逆。

解. 计算

∣ A ∣

：把第

2

行减去第

1

行，第

3

行减去第

2

行（倍加变换不改变行列式的值），则第

2, 3

行都变成

(3, 3, 3)

，两行相同，故

∣ A ∣ = 0

。由上述等价关系，

∣ A ∣ = 0 \Rightarrow A

不可逆，它的列向量线性相关（事实上

α_{1} + α_{3} = 2 α_{2}

），齐次方程组

A x = 0

有非零解。由此可见，只要算出一个行列式为零，就同时回答了可逆、相关与有无非零解这三个问题。

💡 小知识

行列式的英文 determinant 意为决定者：单单一个数，就决定了方程组有没有唯一解、矩阵可不可逆。历史上它比矩阵出现得还早，莱布尼茨在 1693 年研究方程组消元时就写下了行列式的雏形，比矩阵这个词早了一个半世纪。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 计算二阶行列式

D = 41 - 2 3

。难度 1

直接套二阶对角线法则（主对角线之积减去副对角线之积）：

D = 41 - 2 3 = 4 \times 3 - (- 2) \times 1 = 12 + 2 = 14.

所以

D = 14

。这里

4 \times 3

是主对角线（左上到右下），

(- 2) \times 1

是副对角线（右上到左下）；注意副对角线元素

- 2

自带负号，

- (- 2) \times 1 = + 2

，别把符号丢了。

例 2 计算三阶行列式

D = 210031121

。难度 1

三阶用对角线法则（沙路法）：三条『左上→右下』方向的乘积取正，三条『右上→左下』方向的乘积取负：

D = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} .

代入

a_{11} = 2, a_{12} = 0, a_{13} = 1, a_{21} = 1, a_{22} = 3, a_{23} = 2, a_{31} = 0, a_{32} = 1, a_{33} = 1

：

D = 2 \cdot 3 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 = 6 + 0 + 1 - 0 - 0 - 4 = 3.

所以

D = 3

。牢记：对角线法则只对二、三阶成立，四阶及以上会漏项，绝不能用。

例 3 在

4

阶行列式的完全展开式中，确定项

a_{12} a_{24} a_{31} a_{43}

前面所带的符号。难度 2

由 $n$ 阶行列式的定义，当行标已按

1, 2, 3, 4

的自然顺序排好时，每一项

a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} a_{3 j_{3}} a_{4 j_{4}}

的符号为

(- 1)^{τ (j_{1} j_{2} j_{3} j_{4})}

，其中

τ

是列标排列的逆序数。
本项行标依次为

1, 2, 3, 4

，列标依次为

2, 4, 1, 3

，即排列

(2413)

。数它的逆序（前面的数大于后面的数就记一个）：
-

2

与其后：

2 > 1

，共

1

个；
-

4

与其后：

4 > 1

、

4 > 3

，共

2

个；
-

1

、

3

与其后：无逆序。

故

τ (2413) = 1 + 2 = 3

，为奇排列，符号为

(- 1)^{3} = - 1

。所以该项前带负号。

例 4 设

A, B

均为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = - 2

，

∣ B ∣ = 4

。求：（1）

∣3 A ∣

；（2）

∣ A B ∣

；（3）

∣ A^{2} B^{T} ∣

；（4）

∣ - A ∣

。难度 2

只需三条整体公式：

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

（

n

阶提

n

次）、

∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣

、

∣ A^{T} ∣ = ∣ A ∣

。这里

n = 3

。

（1）

∣3 A ∣ = 3^{3} ∣ A ∣ = 27 \times (- 2) = - 54

。

（2）

∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣ = (- 2) \times 4 = - 8

。

（3）

∣ A^{2} B^{T} ∣ = ∣ A ∣^{2} ∣ B^{T} ∣ = ∣ A ∣^{2} ∣ B ∣ = (- 2)^{2} \times 4 = 4 \times 4 = 16

。

（4）

∣ - A ∣ = (- 1)^{3} ∣ A ∣ = - (- 2) = 2

。

易错点： $∣3 A ∣$ 不是 $3∣ A ∣$ ，而是 $3^{3} ∣ A ∣$ ； $∣ A^{2} ∣ = ∣ A ∣^{2}$ 是乘积公式 $∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣$ 取 $B = A$ 的结果。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2021 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

多项式

f (x) = x 122 x x 1 - 1 12 x 1 2 x - 1 1 x

中

x^{3}

项的系数为 ___。

2019 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

已知矩阵

A = 1 - 2 30 - 1 1 - 2 0 0 - 1 23 01 - 1 4

，

A_{ij}

表示

∣ A ∣

中

(i, j)

元的代数余子式，则

A_{11} - A_{12} =

___。

2014 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

行列式

0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d =

（　　）

A $(a d - b c)^{2}$ .
B $- (a d - b c)^{2}$ .
C $a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2}$ .
D $b^{2} c^{2} - a^{2} d^{2}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

二阶行列式

3 - 1 52 =

____。

练习 2 · 选择题

设

A

为

3

阶方阵且

∣ A ∣ = - 1

，则

∣2 A ∣ =

（）。

A $- 2$
B $- 8$
C $8$
D $- 6$

练习 3 · 选择题

排列

52341

的逆序数

τ (52341) =

（）。

A $6$
B $7$
C $8$
D $5$

练习 4 · 填空题

行列式

125240367 =

____。

练习 5 · 选择题

设

A, B

均为

n

阶方阵，下列等式一定成立的是（）。

A $∣ A + B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$
B $∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣$
C $∣ A^{T} ∣ = - ∣ A ∣$
D $∣ A B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$

2006 年 · 数二 · 第 6 题 · 填空题 · 4 分

设矩阵

A = (2 - 1 12)

，

E

为

2

阶单位矩阵，矩阵

B

满足

B A = B + 2 E

，则

∣ B ∣ =

___。

行列式的概念与性质

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 由逆序数确定符号；对角线法则只适用到三阶，四阶必错★ 要懂

2. 三角形、对角形、副对角线形、分块三角形：四类可以直接写出值的行列式★ 要懂

3. 处理抽象行列式的常用公式：∣kA∣,∣AB∣,∣A−1∣,∣A∗∣

4. 行列式最重要的用途：∣A∣=0⟺ 不可逆 ⟺ 列相关 ⟺Ax=0 有非零解★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 处理抽象行列式的常用公式： $∣ k A ∣, ∣ A B ∣, ∣ A^{- 1} ∣, ∣ A^{*} ∣$

4. 行列式最重要的用途： $∣ A ∣ = 0 ⟺$ 不可逆 $⟺$ 列相关 $⟺ A x = 0$ 有非零解★★ 必会