伴随矩阵

§8.6 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.46 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

1.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）行列式的概念与性质矩阵的运算逆矩阵

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 基本恒等式 $A A^{} = A^{} A = ∣ A ∣ E$ 的完整证明：同行展开得 $∣ A ∣$ ，异行展开得 $0$ ★ 要懂

伴随矩阵的各条性质都由恒等式

A A^{*} = ∣ A ∣ E

推出，因此这个式子必须会证，也必须会用。它对任意方阵都成立，并不要求矩阵可逆。证明所依据的是行列式的两条展开定理：某一行的元素与自己的代数余子式对应相乘再求和，其结果 $= ∣ A ∣$ ；某一行的元素与另一行的代数余子式对应相乘再求和，其结果 $= 0$ 。

证明 / 推导

记

A^{*}

的

(k, s)

元为

(A^{*})_{k s} = A_{s k}

，即代数余子式按转置的次序排列。于是乘积

A A^{*}

的

(i, s)

元为

(A A^{*})_{i s} = k = 1 \sum n a_{ik} (A^{*})_{k s} = k = 1 \sum n a_{ik} A_{s k} .

- 当 $i = s$ 时：

\sum_{k} a_{ik} A_{ik} = ∣ A ∣

，这就是行列式按第

i

行的展开式。
- 当 $i \neq = s$ 时：

\sum_{k} a_{ik} A_{s k}

等于把

A

的第

s

行换成第

i

行以后所得矩阵的行列式。这个矩阵的第

i

行与第

s

行完全相同，都是原来的第

i

行，因此它的行列式为

0

。
于是

(A A^{*})_{i s} = ∣ A ∣ δ_{i s}

，即

A A^{*} = ∣ A ∣ E

。对列作同样的论证，可得

A^{*} A = ∣ A ∣ E

。

■

2. 秩的三种情形 $r (A^{}) \in {n, 1, 0}$ 的严格证明★★ 必会*

r (A^{*}) = ⎩ ⎨ ⎧ n, 1, 0, r (A) = n r (A) = n - 1 r (A) \leq n - 2

，其中中间一种情形 $r (A) = n - 1 \Rightarrow r (A^{*}) = 1$ 最容易遗漏。这一结论在选择题中出现的频率很高，而且它的证明恰好把恒等式、秩不等式与子式的定义这三样工具连在一起，值得仔细掌握。

证明 / 推导

设

A

为

n

阶方阵，分三种情形讨论。
(1) $r (A) = n$ ：此时

∣ A ∣ \neq = 0

，

A

可逆，从而

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

也可逆，所以

r (A^{*}) = n

。
(2) $r (A) = n - 1$ ：此时

∣ A ∣ = 0

，由恒等式得

A A^{*} = ∣ A ∣ E = O

，这说明

A^{*}

的每一列都是

A x = 0

的解，而解空间的维数

= n - r (A) = 1

，因此

r (A^{*}) \leq 1

。另一方面，由

r (A) = n - 1

可知

A

有不为零的

n - 1

阶子式，即存在代数余子式

A_{ij} \neq = 0

，于是

A^{*} \neq = O

，

r (A^{*}) \geq 1

。两方面合起来，便得

r (A^{*}) = 1

。
(3) $r (A) \leq n - 2$ ：此时

A

的一切

n - 1

阶子式全为零，即所有

A_{ij} = 0

，故

A^{*} = O

，

r (A^{*}) = 0

。

■

3. $A^{}$ 的特征值 $= \frac{∣ A ∣}{λ _{i}}$ ：不必求出 $A^{}$ 即可得到它的全部特征值★★ 必会

求

A^{*}

的特征值、迹与行列式时，不必真的把

A^{*}

算出来，所依据的仍是关系式

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

。如果 $A$ 可逆，其特征值为 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ ，那么 $A^{*}$ 的特征值为 $\frac{∣ A ∣}{λ _{1}}, \dots, \frac{∣ A ∣}{λ _{n}}$ ，并且与 $A$ 有相同的特征向量。又因为

∣ A ∣ = \prod λ_{i}

，所以每个

\frac{∣ A ∣}{λ _{i}} = \prod_{j \neq = i} λ_{j}

，即等于其余各特征值的乘积。

证明 / 推导

设

A

可逆，且

A x = λ x

，其中

x \neq = 0

，

λ \neq = 0

。两边左乘

A^{- 1}

，得

A^{- 1} x = \frac{1}{λ} x

。于是

A^{*} x = ∣ A ∣ A^{- 1} x = ∣ A ∣ \cdot \frac{1}{λ} x = \frac{∣ A ∣}{λ} x,

这说明

\frac{∣ A ∣}{λ}

是

A^{*}

的特征值，而

x

是它所对应的特征向量。对

A

的

n

个特征值逐一这样讨论，就得到

A^{*}

的全部特征值。

■

举例说明

例. 设

3

阶方阵

A

的特征值为

1, 2, 4

，求

tr (A^{*})

与

∣ A^{*} ∣

。
解.

∣ A ∣ = 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8

。由上式知

A^{*}

的特征值为

\frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{4} = 8, 4, 2

。因此

tr (A^{*}) = 8 + 4 + 2 = 14

，

∣ A^{*} ∣ = 8 \cdot 4 \cdot 2 = 64

，这与

∣ A ∣^{n - 1} = 8^{2} = 64

相符。

4. 解题时的基本做法：遇到 $A^{}$ 先把它换成 $∣ A ∣ A^{- 1}$ ★★ 必会*

凡是含有

A^{*}

的行列式、逆矩阵与矩阵方程问题，第一步几乎都是把 $A^{*}$ 换成 $∣ A ∣ A^{- 1}$ ，这里要求

A

可逆。经过这一步，式子中只剩下

A

与

A^{- 1}

，再用

∣ k B ∣ = k^{n} ∣ B ∣

和

∣ A^{- 1} ∣ = 1/∣ A ∣

就能算出结果。如果题目反过来，已知

A^{*}

而要求

A

，那么先由

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

定出

∣ A ∣

，再由

A = ∣ A ∣ (A^{*})^{- 1}

求出所要的矩阵。还要注意，当

n

为奇数时

∣ A ∣

的符号可能不唯一，此时答案为

\pm A

。

举例说明

例（正向）. 设

3

阶方阵

A

满足

∣ A ∣ = 2

，求

A^{*} + 2 A^{- 1}

。
解. 由

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1} = 2 A^{- 1}

得

A^{*} + 2 A^{- 1} = 2 A^{- 1} + 2 A^{- 1} = 4 A^{- 1}

。于是，注意到

n = 3

，有

A^{*} + 2 A^{- 1} = ∣4 A^{- 1} ∣ = 4^{3} ∣ A^{- 1} ∣ = 64 \cdot \frac{1}{∣ A ∣} = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32.

例（反向）. 设

3

阶方阵满足

A^{*} = diag (1, 1, 4)

，求

A

。
解. 这里

∣ A^{*} ∣ = 4

，由

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{2}

得

∣ A ∣ = \pm 2

；从而

A = ∣ A ∣ (A^{*})^{- 1} = \pm 2 \cdot diag (1, 1, \frac{1}{4}) = \pm diag (2, 2, \frac{1}{2})

。由于

3

阶时

(- A)^{*} = A^{*}

，两个符号都符合要求，答案必须把两个都写出来。

💡 小知识

伴随矩阵给出的求逆公式

A^{- 1} = A^{*} /∣ A ∣

在理论上有个突出的好处：整个式子只做一次除法，逆矩阵的每个元素都是原矩阵元素的多项式，再除以同一个

∣ A ∣

。正因如此，它在抽象证明和符号运算里无可替代；至于数值计算，人们还是更愿意用又快又稳的高斯消元。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

A = (1324)

的伴随矩阵

A^{*}

，并验证

A A^{*} = ∣ A ∣ E

。难度 1

二阶伴随的速记法：主对角对调、副对角变号（即

(a c b d)^{*} = (d - c - b a)

）。故

A^{*} = (4 - 3 - 2 1) .

验证核心恒等式（

∣ A ∣ = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = - 2

）：

A A^{*} = (1324) (4 - 3 - 2 1) = (4 - 6 12 - 12 - 2 + 2 - 6 + 4) = (- 2 0 0 - 2) = - 2 E = ∣ A ∣ E .

与

A A^{*} = ∣ A ∣ E

完全吻合。

例 2 设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = 2

，求

∣ A^{*} ∣

。难度 2

用核心恒等式 $A A^{*} = ∣ A ∣ E$ 两边取行列式（

n = 3

）：

∣ A ∣ ∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣ E = ∣ A ∣^{n} = ∣ A ∣^{3} .

因

∣ A ∣ = 2 \neq = 0

，两边约去

∣ A ∣

：

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1} = ∣ A ∣^{2} = 2^{2} = 4.

通用结论：

n

阶方阵

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

（本题

n = 3

，故是

∣ A ∣^{2}

，不是

∣ A ∣^{3}

，指数别记错）。

例 3 设

A

为

4

阶方阵，

∣ A ∣ = - 1

，求

∣ A^{*} ∣

与

(A^{*})^{*}

。难度 2

n = 4

。第一问由公式

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

：

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{3} = (- 1)^{3} = - 1.

第二问用「伴随的伴随」公式

(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n - 2} A

（

n \geq 2

）：

(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{4 - 2} A = ∣ A ∣^{2} A = (- 1)^{2} A = A,

故

(A^{*})^{*} = ∣ A ∣ = - 1

。
（也可直接用

∣ (A^{*})^{*} ∣ = ∣ A ∣^{(n - 1)^{2}} = (- 1)^{9} = - 1

，两法一致。）

例 4 设

A

为

3

阶方阵，且

r (A) = 2

，求

r (A^{*})

。难度 2

用伴随矩阵的秩「三分法」：

n

阶方阵

r (A^{*}) = ⎩ ⎨ ⎧ n, 1, 0, r (A) = n, r (A) = n - 1, r (A) \leq n - 2.

本题

n = 3

，

r (A) = 2 = n - 1

，恰落在中间档，故

r (A^{*}) = 1

。
直观理由：

r (A) = 2 < 3

说明

∣ A ∣ = 0

，由

A A^{*} = ∣ A ∣ E = O

知

A^{*}

的列都是

A x = 0

的解，故

r (A^{*}) \leq n - r (A) = 1

；又

r (A) = 2

保证

A

有非零的

2

阶子式，即某个代数余子式

A_{ij} \neq = 0

，故

A^{*} \neq = O

，于是

r (A^{*}) = 1

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵。设

A

为

n

阶置换矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则（　　）

A $A^{*}$ 为置换矩阵
B $A^{- 1}$ 为置换矩阵
C $A^{- 1} = A^{*}$
D $A^{- 1} = - A^{*}$

2024 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为

4

阶矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵。若

A (A - A^{*}) = O

，且

A \neq = A^{*}

，则

r (A)

的取值为（　　）

A $0$ 或 $1$
B $1$ 或 $3$
C $2$ 或 $3$
D $1$ 或 $2$

2023 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶可逆矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，

M^{*}

为矩阵

M

的伴随矩阵，则

(A O E B)^{*} =

（　　）

A $(∣ A ∣ B^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ B ∣ A^{*})$
B $(∣ A ∣ B^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ B ∣ A^{*})$
C $(∣ B ∣ A^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ A ∣ B^{*})$
D $(∣ B ∣ A^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ A ∣ B^{*})$

2020 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

4

阶矩阵

A = (a_{ij})

不可逆，

a_{12}

的代数余子式

A_{12} \neq = 0

，

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

为矩阵

A

的列向量组，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则方程组

A^{*} x = 0

的通解为（　　）

A $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
B $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
C $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
D $x = k_{1} α_{2} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

A

为

4

阶方阵，

∣ A ∣ = 2

，则

∣ A^{*} ∣ =

____。

练习 2 · 选择题

设

A

为

3

阶方阵，

r (A) = 1

，则

r (A^{*}) =

（　）

A $3$
B $1$
C $0$
D $2$

练习 3 · 填空题

设

A = (2153)

，则

A^{*} =

____。

练习 4 · 填空题

设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = - 2

，则

∣ A A^{*} ∣ =

____。

练习 5 · 选择题

设

A

为

n

阶可逆矩阵（

n \geq 2

），则

(A^{*})^{*} =

（　）

A $∣ A ∣^{n - 2} A$
B $∣ A ∣^{n - 1} A$
C $∣ A ∣ A$
D $∣ A ∣^{n} A^{- 1}$

2019 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

A

是

4

阶矩阵，

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，若线性方程组

A x = 0

的基础解系中只有

2

个向量，则

r (A^{*}) =

（　　）

A $0$
B $1$
C $2$
D $3$

2013 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设

A = (a_{ij})

是

3

阶非零矩阵，

∣ A ∣

为

A

的行列式，

A_{ij}

为

a_{ij}

的代数余子式。若

a_{ij} + A_{ij} = 0 (i, j = 1, 2, 3)

，则

∣ A ∣ =

___。

伴随矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 基本恒等式 AA∗=A∗A=∣A∣E 的完整证明：同行展开得 ∣A∣，异行展开得 0★ 要懂

2. 秩的三种情形 r(A∗)∈{n,1,0} 的严格证明★★ 必会

3. A∗ 的特征值 =λi​∣A∣​：不必求出 A∗ 即可得到它的全部特征值★★ 必会

4. 解题时的基本做法：遇到 A∗ 先把它换成 ∣A∣A−1★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 基本恒等式 $A A^{} = A^{} A = ∣ A ∣ E$ 的完整证明：同行展开得 $∣ A ∣$ ，异行展开得 $0$ ★ 要懂

2. 秩的三种情形 $r (A^{}) \in {n, 1, 0}$ 的严格证明★★ 必会*

3. $A^{}$ 的特征值 $= \frac{∣ A ∣}{λ _{i}}$ ：不必求出 $A^{}$ 即可得到它的全部特征值★★ 必会

4. 解题时的基本做法：遇到 $A^{}$ 先把它换成 $∣ A ∣ A^{- 1}$ ★★ 必会*