逆矩阵

§8.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.34 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

2.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算行列式的概念与性质③ 掌握后可解锁伴随矩阵相似矩阵

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 可逆的五个等价判定及其证明主线：为什么 $∣ A ∣ \neq = 0$ 就能构造出逆矩阵★★ 必会

对

n

阶方阵，

A

可逆

⟺ ∣ A ∣ \neq = 0 ⟺ r (A) = n ⟺ A x = 0

只有零解

⟺

列（行）向量线性无关。在这一串等价条件中， $∣ A ∣ \neq = 0 ⟺$ 可逆 是其中最基本的一条，其余各条不过是满秩这一事实的不同说法。掌握了它的证明，也就明白了为什么计算一个行列式就足以判定矩阵是否可逆。证明所依据的恒等式是

A A^{*} = A^{*} A = ∣ A ∣ E

。

证明 / 推导

( $\Leftarrow$ ) $∣ A ∣ \neq = 0 \Rightarrow$ 可逆. 由伴随恒等式

A A^{*} = ∣ A ∣ E

，两端同除以非零数

∣ A ∣

，得

A (\frac{1}{∣ A ∣} A^{*}) (\frac{1}{∣ A ∣} A^{*}) A = E = E .

故

B = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*}

就是

A

的逆矩阵，因此

A

可逆。
( $\Rightarrow$ ) 可逆 $\Rightarrow ∣ A ∣ \neq = 0$ . 设

A A^{- 1} = E

，两端取行列式，得

∣ A ∣ ∣ A^{- 1} ∣ = ∣ E ∣ = 1

，故

∣ A ∣ \neq = 0

（并且

∣ A^{- 1} ∣ = 1/∣ A ∣

）。
由此得

A

可逆

⟺ ∣ A ∣ \neq = 0

。再由

∣ A ∣ \neq = 0 ⟺ r (A) = n

与

r (A) = n ⟺ A x = 0

只有零解

⟺

列向量线性无关，这就把整条等价链连接起来了。

■

2. 为什么验证逆矩阵只需验证一边：对同阶方阵，由 $A B = E$ 可以自动推出 $B A = E$

按定义，逆矩阵要满足

A B = B A = E

这两个等式。但是对于同阶方阵，只要验证了

A B = E

这一条，另一条

B A = E

就自动成立，从而

B

就是

A^{- 1}

。利用这一点可以省去一半的验算。要证

A

可逆时，只要能凑出

A M = E

即可。但前提必须是同阶方阵：对于长方形矩阵，单边的等式并不能推出可逆。

证明 / 推导

设

A, B

均为

n

阶方阵，且

A B = E

。两端取行列式，得

∣ A ∣ ∣ B ∣ = 1

，故

∣ A ∣ \neq = 0

，

A

可逆，从而

A^{- 1}

存在。用

A^{- 1}

左乘

A B = E

的两端，得

A^{- 1} (A B) = A^{- 1} E \Rightarrow (A^{- 1} A) B = A^{- 1} \Rightarrow B = A^{- 1} .

于是

B A = A^{- 1} A = E

。由此可见，仅由

A B = E

一个等式就能保证

B = A^{- 1}

、

B A = E

。

■

3. 矩阵的消去律：只有可逆矩阵才能约去★ 要懂

在数的运算中，有

ab = a c, a \neq = 0 \Rightarrow b = c

。在矩阵的运算中，由

A B = A C

不能任意约去

A

，除非

A

可逆。这是由于矩阵乘法中不满足无零因子律。证明题中常在此处出错：一见到

A B = A C

或

A B = O

就想约去

A

，而没有先确认

A

是否可逆。

证明 / 推导

可逆时可以约去. 设

A

可逆，在

A B = A C

的两端左乘

A^{- 1}

，得

B = C

。这里必须是左乘，因为矩阵乘法不满足交换律；并且只有逆矩阵存在，才有

A^{- 1} A = E

。

举例说明

不可逆时的反例. 取

A = (1000)

（

∣ A ∣ = 0

，不可逆），

B = (0001)

，

C = (0002)

。

A B = (0000) = A C, 但 B \neq = C .

由此可见，当

A

不可逆时，由

A B = A C

不能推出

B = C

。同样，由

A B = O

不能推出

B = O

。

4. 幂零矩阵与满足多项式关系的矩阵求逆：几何级数与因式分解两种方法

抽象矩阵求逆常见的两种类型：
(1) 几何级数型：如果

A^{k} = O

（此时称矩阵幂零），那么

E - A

可逆，且

(E - A)^{- 1} = E + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}

。它与展开式

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots

完全类似，只是由于

A^{k} = O

，级数在有限项处自动截断。
(2) 因式分解型：如果给出一个关于

A

的多项式等于

O

，则可把它整理成

A \cdot M = c E

（

c \neq = 0

），于是

A^{- 1} = M / c

。这两种方法的共同之处，都在于设法凑出单位矩阵 $E$ 。

证明 / 推导

几何级数公式的证明（裂项相消）. 设

A^{k} = O

，记

S = E + A + \dots + A^{k - 1}

。直接相乘，得

(E - A) S = (E + A + \dots + A^{k - 1}) - (A + A^{2} + \dots + A^{k}) = E - A^{k} = E - O = E .

同理可得

S (E - A) = E

。因此

E - A

可逆，且

(E - A)^{- 1} = S

。

■

举例说明

例. 设

A^{3} = O

，求

(E - A)^{- 1}

与

(E + A)^{- 1}

。
解. 由上述公式得

(E - A)^{- 1} = E + A + A^{2}

。对于

E + A

，把

- A

代入上式（因为

(- A)^{3} = - A^{3} = O

），得

(E - (- A))^{- 1} = E + (- A) + (- A)^{2}

，即

(E + A)^{- 1} = E - A + A^{2} .

验证：

(E + A) (E - A + A^{2}) = E - A + A^{2} + A - A^{2} + A^{3} = E + A^{3} = E

。

■

💡 小知识

先穿袜子后穿鞋，脱的时候得先脱鞋再脱袜。逆矩阵的反序公式

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

说的就是这件生活常识：一串操作要撤销，必须逆着顺序一步步倒回去。这种反序在线性代数里几乎处处成立，转置和伴随也是同样的规矩。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

A = (2312)

的逆矩阵。难度 1

二阶用速记法「主对角对调、副对角变号，再除以行列式」。
先算

∣ A ∣ = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 1 \neq = 0

，故可逆。

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (2 - 3 - 1 2) = (2 - 3 - 1 2) .

验证：

A A^{- 1} = (2312) (2 - 3 - 1 2) = (1001) = E

，正确。

例 2 求

A = (1324)

的逆矩阵。难度 1

∣ A ∣ = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = - 2 \neq = 0

，可逆。用二阶公式：

A^{- 1} = \frac{1}{- 2} (4 - 3 - 2 1) = (- 2 \frac{3}{2} 1 - \frac{1}{2}) .

注意：行列式为负也照常处理，不要漏掉负号；每个元素都要除以

∣ A ∣ = - 2

。可验

A A^{- 1} = E

。

例 3 设方阵

A

满足

A^{2} - 2 A - 3 E = O

，证明

A

可逆，并求

A^{- 1}

。难度 2

思路：把已知式凑成「 $A \cdot (某矩阵) = k E$ 」， $k \neq = 0$ 即证可逆并读出逆。
由

A^{2} - 2 A - 3 E = O

得

A^{2} - 2 A = 3 E

，左边提取公因子

A

：

A (A - 2 E) = 3 E ⟹ A \cdot \frac{1}{3} (A - 2 E) = E .

因存在矩阵

B = \frac{1}{3} (A - 2 E)

使

A B = E

（同阶方阵），故

A

可逆，且

A^{- 1} = \frac{1}{3} (A - 2 E) .

全程不需 $A$ 的具体元素，这正是抽象逆矩阵题的通法：整理成

A \cdot M = k E

，则

A^{- 1} = M / k

。

例 4 用伴随矩阵法求

A = 120011101

的逆矩阵。难度 2

第一步：算行列式（沿第

1

行展开）：

∣ A ∣ = 1 \cdot 1101 - 0 + 1 \cdot 2011 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3 \neq = 0.

第二步：算 $9$ 个代数余子式

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}

：

A_{11} = 1, A_{12} = - 2, A_{13} = 2; A_{21} = 1, A_{22} = 1, A_{23} = - 1; A_{31} = - 1, A_{32} = 2, A_{33} = 1.

第三步：转置排列成伴随矩阵

A^{*} = (A_{j i})

（把代数余子式转置）：

A^{*} = A_{11} A_{12} A_{13} A_{21} A_{22} A_{23} A_{31} A_{32} A_{33} = 1 - 2 2 11 - 1 - 1 21 .

第四步：

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*} = \frac{1}{3} 1 - 2 2 11 - 1 - 1 21

。（可抽验

A A^{- 1} = E

。三阶以上则改用

(A ∣ E)

初等行变换更省力。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵。设

A

为

n

阶置换矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则（　　）

A $A^{*}$ 为置换矩阵
B $A^{- 1}$ 为置换矩阵
C $A^{- 1} = A^{*}$
D $A^{- 1} = - A^{*}$

2024 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为

3

阶矩阵，

P = 101010001

。若

P^{T} A P^{2} = a + 2 c 0 2 c 0 b 0 c 0 c

，则

A =

（　　）

A $c 00 0 a 0 00 b$
B $b 00 0 c 0 00 a$
C $a 00 0 b 0 00 c$
D $c 00 0 b 0 00 a$

2022 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设

A

为

3

阶矩阵，交换

A

的第

2

行和第

3

行，再将第

2

列的

- 1

倍加到第

1

列，得到矩阵

- 2 1 - 1 1 - 1 0 - 1 00

，则

A^{- 1}

的迹

tr (A^{- 1}) =

___。

2015 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设矩阵

A = a 10 1 a 1 0 - 1 a

，且

A^{3} = O

。

（Ⅰ）求

a

的值；

（Ⅱ）若矩阵

X

满足

X - X A^{2} - A X + A X A^{2} = E

，其中

E

为

3

阶单位矩阵，求

X

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A = (3512)

，则

A^{- 1} =

（　）

A $(2 - 5 - 1 3)$
B $(2 - 1 - 5 3)$
C $(3 - 5 - 1 2)$
D $(- 2 5 1 - 3)$

练习 2 · 填空题

设

A

为

3

阶可逆矩阵，

∣ A ∣ = 3

，则

∣ A^{- 1} ∣ =

____。

练习 3 · 选择题

设

A, B

均为

n

阶可逆矩阵，则下列等式恒成立的是（　）

A $(A B)^{- 1} = A^{- 1} B^{- 1}$
B $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$
C $(A + B)^{- 1} = A^{- 1} + B^{- 1}$
D $(2 A)^{- 1} = 2 A^{- 1}$

练习 4 · 填空题

设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = 2

，则

(2 A)^{- 1} =

____。

练习 5 · 选择题

下列矩阵中不可逆的是（　）

A $(1327)$
B $(2413)$
C $(1224)$
D $(1213)$

2010 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设

A, B

为

3

阶矩阵，且

∣ A ∣ = 3, ∣ B ∣ = 2, ∣ A^{- 1} + B ∣ = 2

，则

∣ A + B^{- 1} ∣ =

___。

2008 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

A

为

n

阶非零矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，若

A^{3} = O

，则（　　）

A $E - A$ 不可逆， $E + A$ 不可逆.
B $E - A$ 不可逆， $E + A$ 可逆.
C $E - A$ 可逆， $E + A$ 可逆.
D $E - A$ 可逆， $E + A$ 不可逆.

逆矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 可逆的五个等价判定及其证明主线：为什么 ∣A∣=0 就能构造出逆矩阵★★ 必会

2. 为什么验证逆矩阵只需验证一边：对同阶方阵，由 AB=E 可以自动推出 BA=E

3. 矩阵的消去律：只有可逆矩阵才能约去★ 要懂

4. 幂零矩阵与满足多项式关系的矩阵求逆：几何级数与因式分解两种方法

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 可逆的五个等价判定及其证明主线：为什么 $∣ A ∣ \neq = 0$ 就能构造出逆矩阵★★ 必会

2. 为什么验证逆矩阵只需验证一边：对同阶方阵，由 $A B = E$ 可以自动推出 $B A = E$