矩阵的运算

§8.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.62 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

12.7 分支撑的下游价值

前置诊断

这是地基知识点，无前置要求，可以直接学习。

③ 掌握后可解锁逆矩阵初等变换与初等矩阵矩阵的秩分块矩阵伴随矩阵向量的线性组合与线性表示特征值与特征向量的概念与计算二次型及其标准形、规范形

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 矩阵运算与数的运算的三条重要差异：不交换、无零因子律、有幂零矩阵★ 要懂

把矩阵当作数来运算，是选择题中最常见的错误。必须注意下面三条差异：
(1) 不交换

A B \neq = B A

（甚至可能一个有意义而另一个无意义）。因此完全平方公式与平方差公式都不再成立：

(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}

、

(A + B) (A - B) = A^{2} - A B + B A - B^{2}

，只有当 $A B = B A$ 时，才能化简为通常的乘法公式。
(2) 无零因子律 由

A B = O

推不出

A = O

或

B = O

；由

A C = B C

且

C \neq = O

也不能约去

C

。
(3) 有幂零矩阵 可能

A \neq = O

而

A^{2} = O

。这三条彼此关联，根源都在于矩阵乘法不像数的乘法那样可以交换、可以消去。

举例说明

例（一个例子说明三条差异）. 取

A = (0010), B = (1000)

。
-

A B = (0000) = O

，但

A \neq = O, B \neq = O

，这是无零因子律不成立的反例。
-

B A = (0010) \neq = A B

，可见乘法不交换。
-

A^{2} = (0010) (0010) = O

而

A \neq = O

，可见存在幂零矩阵。
一个

2

阶的例子就把三条差异全部说明了，掌握了它，判断题上便不易出错。

2. 求 $A^{n}$ 的三种方法：归纳找规律、拆成 $E +$ 幂零后用二项式、秩 $1$ 时提出标量★★ 必会

当

n

很大时，逐次相乘并不可行，应当根据

A

的结构选择方法：
(1) 找规律：先算出

A^{2}, A^{3}

，猜出通项，再用归纳法证明。
(2) $A = λ E + N$ ，其中 $N$ 幂零：因为

λ E

与

N

可交换，可用二项式展开；由于

N^{k} = O

，展开式自动截断（适用于主对角元相同的上三角或下三角矩阵）。
(3) 秩 $1$ 矩阵 $A = α β^{T}$ ：这里的关键在于中间的

β^{T} α

是一个数（它等于

tr A

），可以反复提出，于是

A^{n} = (β^{T} α)^{n - 1} A = (tr A)^{n - 1} A

。学过对角化以后，还有第四种方法

A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}

。

证明 / 推导

秩 $1$ 矩阵的乘幂公式的证明. 设

A = α β^{T}

（

α, β

为

n

维非零列向量），记数

t = β^{T} α

。由结合律，把相邻的

β^{T}

与

α

合并，得

A^{2} = (α β^{T}) (α β^{T}) = α (β^{T} α) β^{T} = t α β^{T} = t A .

用归纳法：设

A^{k} = t^{k - 1} A

，则

A^{k + 1} = A^{k} A = t^{k - 1} A \cdot A = t^{k - 1} (t A) = t^{k} A

。故对一切

n \geq 1

，

A^{n} = t^{n - 1} A = (tr A)^{n - 1} A

。这里用到

tr (α β^{T}) = \sum_{i} α_{i} β_{i} = β^{T} α = t

。

■

举例说明

例（二项式法）. 求

A = (2012)^{n}

。
解.

A = 2 E + N

，其中

N = (0010)

，

N^{2} = O

。因为

2 E

与

N

可交换，所以

A^{n} = (2 E + N)^{n} = (2 E)^{n} + n (2 E)^{n - 1} N = 2^{n} E + n \cdot 2^{n - 1} N = (2^{n} 0 n 2^{n - 1} 2^{n}) .

3. 转置的反序法则 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ：对乘积整体作变换时都要反序，可以统一记忆★★ 必会

乘积的转置要反序：

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

，写成

A^{T} B^{T}

是错误的。它与后面要学的逆矩阵公式

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

、伴随矩阵公式

(A B)^{*} = B^{*} A^{*}

完全并列。凡是对两个矩阵的乘积整体作变换的运算，几乎都要反序，可以一并记忆。由此立即得到一个常用的结论：对任意矩阵 $A$ ， $A^{T} A$ 与 $A A^{T}$ 都是对称矩阵。

证明 / 推导

$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ 的证明. 设

A

为

m \times s

矩阵，

B

为

s \times n

矩阵。左端

(A B)^{T}

的

(i, j)

元

=

A B

的

(j, i)

元

= \sum_{k} a_{j k} b_{k i}

。
右端

B^{T} A^{T}

的

(i, j)

元

= \sum_{k} (B^{T})_{ik} (A^{T})_{k j} = \sum_{k} b_{k i} a_{j k}

。
两者逐项相等，故

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

。

■

推论：

(A^{T} A)^{T} = A^{T} (A^{T})^{T} = A^{T} A

，故

A^{T} A

对称；与此相类似，

A A^{T}

也对称。

举例说明

例. 设

A

为

n

阶方阵，证明

A + A^{T}

是对称矩阵，

A - A^{T}

是反对称矩阵，并由此说明任一方阵都可以分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
解.

(A + A^{T})^{T} = A^{T} + A = A + A^{T}

，故为对称矩阵；

(A - A^{T})^{T} = A^{T} - A = - (A - A^{T})

，故为反对称矩阵。于是

A = 对称 \frac{1}{2} (A + A^{T}) + 反对称 \frac{1}{2} (A - A^{T}) .

4. 迹的循环性 $tr (A B) = tr (B A)$ ：即使 $A B \neq = B A$ ，二者的迹也相等

迹

tr A = \sum_{i} a_{ii}

（即主对角线上元素之和）有一条初看有些出人意料的性质： $tr (A B) = tr (B A)$ 恒成立，尽管

A B

与

B A

一般并不相等，甚至未必同型。它是计算迹的基本工具，也常用来证明某些矩阵方程无解（例如

A B - B A = E

就不可能成立，因为两边取迹得

0 = n

，矛盾）。必须注意：循环性只是把相邻的因子作循环移位，

tr (A B C) = tr (B C A) = tr (C A B)

（循环移位）都成立，但一般

\neq = tr (A C B)

。

证明 / 推导

证. 设

A

为

m \times n

矩阵，

B

为

n \times m

矩阵。于是

A B

是

m

阶方阵，它的

(i, i)

元为

\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k i}

，故

tr (A B) = i = 1 \sum m k = 1 \sum n a_{ik} b_{k i} .

与此相类似，

tr (B A) = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} b_{k i} a_{ik}

。这两个二重和只是求和次序不同，每一项都相同，因此相等。

■

举例说明

例. 证明：不存在

n

阶方阵

A, B

，使得

A B - B A = E

。
证. 如果这样的方阵存在，那么两边取迹，得

tr (A B) - tr (B A) = tr (E) = n

。但由循环性

tr (A B) = tr (B A)

，左端

= 0

，于是

0 = n

，矛盾。故这样的

A, B

不存在。

■

💡 小知识

矩阵乘法行乘列的规则看着古怪，它是英国数学家凯莱在 1858 年定下的，目的是让两次线性代换的复合对应于系数表相乘。正因如此，矩阵乘法天生不满足交换律。这个不交换的性质后来成了量子力学的数学骨架：海森堡的不确定性原理，根源就在于位置与动量这两个算符不对易，也就是

A B \neq = B A

。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

A = (2113)

，

B = (10 - 1 2)

。求

2 A - B

、

A B

、

B A

，并判断

A B

与

B A

是否相等。难度 1

数乘与加减是逐元素的：

2 A - B = (4226) - (10 - 1 2) = (3234) .

乘法用「左行乘右列」：结果

(i, j)

元

=

左矩阵第

i

行与右矩阵第

j

列对应相乘再求和。

A B = (2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 1 \cdot (- 1) + 3 \cdot 2) = (2105),

B A = (1 \cdot 2 + (- 1) \cdot 1 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 1 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 0 \cdot 1 + 2 \cdot 3) = (12 - 2 6) .

显然 $A B \neq = B A$ ，这体现矩阵乘法一般不满足交换律。

例 2 设

α = 21 - 2

。求

α^{T} α

与

α α^{T}

，并指出二者的本质区别。难度 1

$α^{T} α$ 是「行乘列」， $1 \times 3$ 乘 $3 \times 1$ 得一个数（即向量的内积、模长平方）：

α^{T} α = (21 - 2) 21 - 2 = 2^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2} = 9.

$α α^{T}$ 是「列乘行」， $3 \times 1$ 乘 $1 \times 3$ 得一个 $3$ 阶矩阵：

α α^{T} = 21 - 2 (21 - 2) = 42 - 4 21 - 2 - 4 - 2 4 .

结论：

α^{T} α = 9

（数），

α α^{T}

是

3

阶矩阵（秩为

1

），二者截然不同，务必分清顺序。

例 3 设

A = 100110011

，求

A^{n}

（

n

为正整数）。难度 2

技巧：把 $A$ 拆成「单位阵 $+$ 幂零阵」

A = E + N

，其中

N = 000100010

。计算

N

的方幂：

N^{2} = 000000100, N^{3} = O .

即

N

幂零，

N^{k} = O (k \geq 3)

。因

E

与

N

可交换，用二项式展开且三次以上项全为零：

A^{n} = (E + N)^{n} = E + n N + (2 n) N^{2} = 100 n 10 \frac{n ( n - 1 )}{2} n 1 .

（可用

n = 2

验证：

A^{2} = 100210121

，与公式中

\frac{n ( n - 1 )}{2} = 1

吻合。）

例 4 设

A = 121011

。求

A^{T} A

，并说明它为什么一定是对称矩阵。难度 2

A

是

3 \times 2

，故

A^{T}

是

2 \times 3

，

A^{T} A

是

2 \times 2

。

A^{T} A = (102111) 121011 = (1 + 4 + 1 0 + 2 + 1 0 + 2 + 1 0 + 1 + 1) = (6332) .

为什么必对称：由转置的反序公式

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

，有

(A^{T} A)^{T} = A^{T} (A^{T})^{T} = A^{T} A,

即

A^{T} A

等于自身的转置，故对任意矩阵

A

，

A^{T} A

恒为对称方阵（本例结果

(6332)

确实对称）。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

已知向量组

α_{1} = 10 - 1 - 1

，

α_{2} = 1 - 1 0 - 2

，

α_{3} = 0 - 1 1 - 1

，

α_{4} = 01 - 1 1

，记

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

，

G = (α_{1}, α_{2})

。

（1）证明：

α_{1}, α_{2}

是

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

的极大线性无关组；

（2）求矩阵

H

使得

A = G H

，并求

A^{10}

。

2024 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为

3

阶矩阵，

P = 101010001

。若

P^{T} A P^{2} = a + 2 c 0 2 c 0 b 0 c 0 c

，则

A =

（　　）

A $c 00 0 a 0 00 b$
B $b 00 0 c 0 00 a$
C $a 00 0 b 0 00 c$
D $c 00 0 b 0 00 a$

2021 年 · 数二 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

已知矩阵

A = 12 - 1 0 - 1 2 - 1 1 - 5

，若存在下三角可逆矩阵

P

与上三角可逆矩阵

Q

，使

P A Q

为对角矩阵，则

P, Q

可分别为（　　）

A $100010001, 100010131$
B $12 - 3 0 - 1 2 001, 100010001$
C $12 - 3 0 - 1 2 001, 100010131$
D $101013001, 100 2 - 1 0 - 3 21$

2015 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设矩阵

A = a 10 1 a 1 0 - 1 a

，且

A^{3} = O

。

（Ⅰ）求

a

的值；

（Ⅱ）若矩阵

X

满足

X - X A^{2} - A X + A X A^{2} = E

，其中

E

为

3

阶单位矩阵，求

X

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A = (1031)

，则

A^{2} =

（　）

A $(1061)$
B $(1031)$
C $(1091)$
D $(1062)$

练习 2 · 填空题

(23) (1 - 2) =

____。

练习 3 · 选择题

设

A, B

为

n

阶方阵，则

(A + B) (A - B) =

（　）

A $A^{2} - B^{2}$
B $A^{2} - A B + B A - B^{2}$
C $A^{2} + A B - B A - B^{2}$
D $A^{2} - 2 A B + B^{2}$

练习 4 · 填空题

设

α = 112

，

β = 121

，

A = α β^{T}

，且

A^{2} = k A

，则常数

k =

____。

练习 5 · 填空题

设

A = (10 - 1 1)

，则

A^{100}

的第

1

行第

2

列元素为 ____。

练习 6 · 选择题

设

A, B, C

均为

n

阶实矩阵，下列结论中一定成立的是（　）

A $(A B)^{T} = A^{T} B^{T}$
B $tr (A B C) = tr (B A C)$
C若 $tr (A^{T} A) = 0$ ，则 $A = O$
D若 $A^{2} = E$ ，则 $A = E$ 或 $A = - E$

练习 7 · 填空题

设

α = 12 - 1

，

β = 1 - 1 1

，

A = α β^{T}

，则

A^{5} =

____（用

A

表示）。

练习 8 · 解答题

(1) 设

A = 200120012

，求

A^{n}

（

n \geq 2

）；

(2) 设

B = 1 - 1 2 - 1 1 - 2 2 - 2 4

，求

B^{n}

（

n \geq 1

）。

2013 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设

A = (11 a 0)

，

B = (01 1 b)

。当

a, b

为何值时，存在矩阵

C

使得

A C - C A = B

，并求所有矩阵

C

。

2006 年 · 数二 · 第 6 题 · 填空题 · 4 分

设矩阵

A = (2 - 1 12)

，

E

为

2

阶单位矩阵，矩阵

B

满足

B A = B + 2 E

，则

∣ B ∣ =

___。

矩阵的运算

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 矩阵运算与数的运算的三条重要差异：不交换、无零因子律、有幂零矩阵★ 要懂

2. 求 An 的三种方法：归纳找规律、拆成 E+ 幂零后用二项式、秩 1 时提出标量★★ 必会

3. 转置的反序法则 (AB)T=BTAT：对乘积整体作变换时都要反序，可以统一记忆★★ 必会

4. 迹的循环性 tr(AB)=tr(BA)：即使 AB=BA，二者的迹也相等

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 求 $A^{n}$ 的三种方法：归纳找规律、拆成 $E +$ 幂零后用二项式、秩 $1$ 时提出标量★★ 必会

3. 转置的反序法则 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ：对乘积整体作变换时都要反序，可以统一记忆★★ 必会

4. 迹的循环性 $tr (A B) = tr (B A)$ ：即使 $A B \neq = B A$ ，二者的迹也相等