分块矩阵

§8.5 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.35 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

0.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 分块乘法为什么成立，以及块的左右次序为什么不能颠倒★ 要懂

把子块当作元素来作加法、数乘与乘法都是成立的，但乘法必须保持块的左右顺序，因为矩阵乘法不满足交换律。分块运算能够进行的前提是分法相容：计算

M N

时，左矩阵 $M$ 的列的分法必须与右矩阵 $N$ 的行的分法一致，只有这样每个块的乘积才维数匹配。满足了这一条件，就可以放心地把大矩阵按块来运算。

证明 / 推导

按块作行乘列与按元素作行乘列结果相同. 设

M = (M_{pq})

、

N = (N_{q r})

已按相容的方式分块，考察乘积

(M N)_{p r}

中某个具体元素

c_{ij}

（

i

落在第

p

个行块、

j

落在第

r

个列块）。按元素的定义有

c_{ij} = \sum_{k} m_{ik} n_{k j}

，把求和指标

k

按列块分组：

c_{ij} = q \sum (k \in 块 q \sum m_{ik} n_{k j}) = q \sum (M_{pq} N_{q r})_{ij} .

右端就是块

\sum_{q} M_{pq} N_{q r}

的对应元素。这说明先分组再求和并不改变结果，因此按块相乘

=

按元素相乘。上述分组要求

M

的列的分法与

N

的行的分法一致，否则

M_{pq} N_{q r}

的维数就不匹配。

■

2. 分块三角行列式 $A O C B = ∣ A ∣ ∣ B ∣$ ：右上角的 $C$ 为什么不影响结果★★ 必会

只要非对角位置上有一个零块，行列式就等于两个对角块行列式之积，另一个非对角块（这里的

C

）完全不参与运算。这是分块矩阵最常用的行列式公式，它把一个高阶行列式化为两个低阶行列式。必须注意，公式要求 $A, B$ 都是方阵。

证明 / 推导

设

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵。只在前 $m$ 行内作初等行变换，把

A

化为上三角矩阵

U_{A}

。这些变换对整个大矩阵行列式的影响，与单独对

A

作同样变换时完全相同，因为前

m

行的运算不涉及下方的

O

块。与此相类似，只在后 $n$ 行内把

B

化为上三角矩阵

U_{B}

。于是整个

(m + n)

阶矩阵成为上三角形，它的行列式等于主对角元之积，而这些主对角元就是

U_{A}

与

U_{B}

的对角元，故

A O C B = (U_{A} 的对角元之积) (U_{B} 的对角元之积) = ∣ A ∣ ∣ B ∣.

在整个化简过程中，

C

块始终位于上三角部分，不进入对角元的乘积，因此它不影响结果。

■

3. 副对角分块矩阵：行列式中的符号 $(- 1)^{mn}$ ，以及逆矩阵的交叉排列

副对角分块矩阵

(O B A O)

（其中

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵）的行列式为

(- 1)^{mn} ∣ A ∣∣ B ∣

，与主对角分块的情形相比多出一个符号因子；求逆时则要把两个逆矩阵交叉放置。这个

(- 1)^{mn}

是最容易遗漏的。

证明 / 推导

符号的来历. 把

(O B A O)

的上

m

行整体与下

n

行整体对调，就得到分块对角矩阵

(B O O A)

，它的行列式为

∣ B ∣∣ A ∣

。而把上

m

行搬到下方，需要让其中每一行都越过下面的

n

行，共作

m \times n

次相邻两行的对换，每作一次对换行列式就乘以

- 1

，故

O B A O = (- 1)^{mn} B O O A = (- 1)^{mn} ∣ A ∣ ∣ B ∣.

交叉求逆. 直接验证

(O B A O) (O A^{- 1} B^{- 1} O) = (A A^{- 1} O O B B^{- 1}) = E

，可知所求的逆矩阵为

(O A^{- 1} B^{- 1} O)

，其中

A^{- 1}, B^{- 1}

处在交叉的位置上。

■

4. 分块上三角矩阵求逆的待定系数法：设逆矩阵具有相同的分块结构，再由 $M M^{- 1} = E$ 逐块比较

求

M = (A O C B)

（其中

A, B

都可逆）的逆矩阵，一般方法是设逆矩阵具有相同的分块结构

(X Z Y W)

，再由

M M^{- 1} = E

逐块比较，解出各个未知块。先设块、后比较，这是分块求逆的基本途径，它比直接计算

(m + n)

阶矩阵的逆省力得多。所得结论如下：

(A O C B)^{- 1} = (A^{- 1} O - A^{- 1} C B^{- 1} B^{- 1}) .

证明 / 推导

推导. 设逆矩阵为

(X Z Y W)

，则

(A O C B) (X Z Y W) = (A X + C Z B Z A Y + C W B W) = (E O O E) .

由

B Z = O

且

B

可逆，得

Z = O

；由

B W = E

得

W = B^{- 1}

；代入

A X + C Z = E

得

A X = E

，即

X = A^{- 1}

；代入

A Y + C W = O

得

A Y = - C B^{- 1}

，即

Y = - A^{- 1} C B^{- 1}

。

■

举例说明

例. 求

M = (A O C B)

的逆矩阵，其中

A = (1011), B = E_{2}, C = (2301)

。
解.

A^{- 1} = (10 - 1 1)

，

B^{- 1} = E

，

- A^{- 1} C B^{- 1} = - A^{- 1} C = - (10 - 1 1) (2301) = - (- 1 3 - 1 1) = (1 - 3 1 - 1)

。于是

M^{- 1} = 1000 - 1 100 1 - 3 10 1 - 1 01 .

💡 小知识

分块矩阵把分而治之的思想搬进了线性代数。现代的超大规模矩阵计算，比如训练神经网络、模拟天气，几乎都要靠分块：把一个装不进内存的巨型矩阵切成小块，分发给成百上千个处理器并行运算。手算时把矩阵眯成几个大格子来看，和超级计算机的加速用的是同一个道理。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

A = (1123)

，

B = (2312)

，

M = (A O O B)

为

4

阶分块对角矩阵。求

∣ M ∣

与

M^{- 1}

。难度 1

分块对角阵「按块各管各」：行列式是各块之积，逆是各块分别求逆。

∣ M ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = 1 \cdot 1 = 1.

因

∣ A ∣ = 1 \neq = 0, ∣ B ∣ = 1 \neq = 0

，

M

可逆。二阶公式得

A^{- 1} = (3 - 1 - 2 1)

，

B^{- 1} = (2 - 3 - 1 2)

，故

M^{- 1} = (A^{- 1} O O B^{- 1}) = 3 - 1 00 - 2 100 002 - 3 00 - 1 2 .

例 2 设

A = (1213)

，

B = (3121)

，

M = (O B A O)

为

4

阶矩阵。求

∣ M ∣

与

M^{- 1}

。难度 2

这是副对角分块，

A, B

均为

2

阶，故

m = n = 2

。
行列式（记牢符号

(- 1)^{mn}

）：

∣ M ∣ = (- 1)^{mn} ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (- 1)^{4} (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2) (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.

∣ A ∣ = ∣ B ∣ = 1 \neq = 0

，

M

可逆。副对角求逆用「交叉」公式

(O B A O)^{- 1} = (O A^{- 1} B^{- 1} O)

，其中

A^{- 1} = (3 - 2 - 1 1)

，

B^{- 1} = (1 - 1 - 2 3)

。故

M^{- 1} = (O A^{- 1} B^{- 1} O) = 003 - 2 00 - 1 1 1 - 1 00 - 2 300 .

（可验

M M^{- 1} = E_{4}

；注意逆是交叉放置，别原位求逆。）

例 3 计算分块三角矩阵的行列式

D = 210011004712 0 - 2 35

。难度 2

识别分块结构：左下角是

2 \times 2

零块，故这是分块上三角

(A O C B)

，其中

A = (2111), B = (1235), C = (47 0 - 2) .

分块三角行列式公式

A O C B = ∣ A ∣ ∣ B ∣

（右上角的 $C$ 不影响结果）：

D = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) (1 \cdot 5 - 3 \cdot 2) = (1) (- 1) = - 1.

要点：只要有一个对角方向的零块，行列式就退化成两个对角块行列式之积，

C

块可完全忽略。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶可逆矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，

M^{*}

为矩阵

M

的伴随矩阵，则

(A O E B)^{*} =

（　　）

A $(∣ A ∣ B^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ B ∣ A^{*})$
B $(∣ A ∣ B^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ B ∣ A^{*})$
C $(∣ B ∣ A^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ A ∣ B^{*})$
D $(∣ B ∣ A^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ A ∣ B^{*})$

2020 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

行列式

a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a =

___。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

A = (3211)

，

B = (1124)

，则

A O O B =

____。

练习 2 · 填空题

设

A = (1324)

，

B = (2101)

，则

O B A O =

____。

练习 3 · 选择题

设

A, B

为可逆方阵，

M = (O B A O)

，则

M^{- 1} =

（　）

A $(O B^{- 1} A^{- 1} O)$
B $(O A^{- 1} B^{- 1} O)$
C $(A^{- 1} O O B^{- 1})$
D $(B^{- 1} O O A^{- 1})$

练习 4 · 选择题

设

A

为

2

阶方阵、

B

为

3

阶方阵，

M = (A O O B)

为

5

阶矩阵，则

∣ M ∣ =

（　）

A $∣ A ∣ ∣ B ∣$
B $∣ A ∣ + ∣ B ∣$
C $∣ A ∣^{3} ∣ B ∣^{2}$
D $- ∣ A ∣ ∣ B ∣$

2018 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，记

r (X)

为矩阵

X

的秩，

(X, Y)

表示分块矩阵，则（　　）

A $r (A, A B) = r (A)$
B $r (A, B A) = r (A)$
C $r (A, B) = max {r (A), r (B)}$
D $r (A, B) = r (A^{T}, B^{T})$

分块矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 分块乘法为什么成立，以及块的左右次序为什么不能颠倒★ 要懂

2. 分块三角行列式 ​AO​CB​​=∣A∣∣B∣：右上角的 C 为什么不影响结果★★ 必会

3. 副对角分块矩阵：行列式中的符号 (−1)mn，以及逆矩阵的交叉排列

4. 分块上三角矩阵求逆的待定系数法：设逆矩阵具有相同的分块结构，再由 MM−1=E 逐块比较

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 分块三角行列式 $A O C B = ∣ A ∣ ∣ B ∣$ ：右上角的 $C$ 为什么不影响结果★★ 必会

3. 副对角分块矩阵：行列式中的符号 $(- 1)^{mn}$ ，以及逆矩阵的交叉排列

4. 分块上三角矩阵求逆的待定系数法：设逆矩阵具有相同的分块结构，再由 $M M^{- 1} = E$ 逐块比较