分块矩阵

线性代数 · 矩阵

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 分块：把一大张表切成几小块

用横线、竖线把矩阵切开，每一小块当作一个「元素」看待，就得到分块矩阵：

M = (A C B D),

这里

A

、

B

、

C

、

D

都是矩阵（叫子块），不是数。

分块的用处有两个：

① 把大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 只要切得合适，加法、乘法都可以「按块」做，就像块是数一样。

② 利用结构. 矩阵里出现大片的零或单位块时，分块能把结构显出来，许多行列式与逆就能直接写出来（后面两条）。

切法不是随便的：

做加法要求两个矩阵用完全相同的切法。

做乘法

M N

要求

M

的列的切法与

N

的行的切法一致——这样对应的块才乘得起来。

切对了，分块乘法就和普通乘法一模一样（行块乘列块再相加）；切错了，块与块根本乘不起来。

2. 分块对角与分块三角：行列式与逆直接写

分块对角矩阵（非对角块全为零）：

M = (A O O B) .

它的行列式与逆都能直接写出来（

A

、

B

都是方阵）：

∣ M ∣ M^{- 1} = ∣ A ∣ ∣ B ∣, = (A^{- 1} O O B^{- 1}) .

分块三角矩阵（有一个非对角块为零）的行列式同样是对角块行列式之积：

A O C B = ∣ A ∣ ∣ B ∣.

那个 $C$ 不影响行列式——和普通三角行列式「右上角写什么都不影响」是同一回事。

但分块三角的逆不是把块各自求逆，还要带一个交叉项，公式较繁，基础阶段记住行列式那一条就够。

副对角的分块要带符号：

O B A O = (- 1)^{mn} ∣ A ∣ ∣ B ∣,

其中

A

是

m

阶、

B

是

n

阶。这个符号容易记混，不确定时拿二阶试一下：

0 b a 0 = - ab

，

m = n = 1

时

(- 1)^{1} = - 1

，对上了。

3. 按列分块：把矩阵乘法看成列的组合

把矩阵

A

按列切开，记作

A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})

，其中每个

α_{i}

是一个列向量。这种分法在后面讲向量组时天天用。

两条基本的读法：

① $A x$ 是 $A$ 的各列的线性组合. 设

x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}

，则

A x = x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{n} α_{n} .

于是齐次方程组 $A x = 0$ 有非零解 $⟺$ $A$ 的列向量线性相关——这把方程组和向量组接上了。

② $A B$ 的第 $j$ 列 $= A$ 乘 $B$ 的第 $j$ 列. 即

A B = (A β_{1}, A β_{2}, \dots, A β_{s}),

其中

β_{j}

是

B

的第

j

列。

由②立刻能看出 $r (A B) \leq r (A)$ ：

A B

的每一列都是

A

的列的组合，张成的范围跑不出

A

的列所张成的范围。上一节那条不等式的道理就在这里。

4. 分块的实用场合

看到 大片的零 高阶行列式有零块 出现 A x 或列向量 要证秩的不等式 想到 分块对角或三角 ∣ M ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣ 按列分块 按列分块

最常考的是第二行：一个四阶甚至五阶的行列式，元素排得有规律、角上有一片零，分块之后两步算完。

动笔前先扫一眼零的分布——零如果聚成一块（而不是散着），多半就是在提示你分块。

切的时候要「切得整齐」：横线与竖线要切到底，而且对角块必须是方的（否则谈不上行列式与逆）。

检验办法：切完数一数每块的行列数，看相邻块的边是不是对得上。对不上就说明切法不合适。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

分块算行列式：先认结构

第一步：扫一眼零的分布——聚成块就考虑分块。

第二步：切得整齐，横竖线切到底，对角块必须是方阵。

第三步：认出是对角、上下三角还是副对角。

第四步：对角与三角都是

∣ A ∣∣ B ∣

；副对角要乘

(- 1)^{mn}

。

例例. 求

∣ M ∣

，其中

M = 1357246800120013

。

第一步，右上角是一整块零——聚成了块，考虑分块。

第二步，横竖都切在第二行、第二列之后，两个对角块都是二阶方阵 ✓

第三步，形状是下三角分块

M = (A C O B)

，其中

A = (1324)

、

B = (1213)

。

第四步，三角分块的行列式就是

∣ A ∣∣ B ∣

：

∣ M ∣ = (4 - 6) (3 - 2) = - 2.

零块若在副对角位置，公式要乘

(- 1)^{mn}

（

m, n

是两块的阶）——那个符号最容易丢。

分块做乘法：切法要配套

第一步：

M

的列的切法要与

N

的行的切法一致。

第二步：按块做「行块乘列块再相加」，格式和普通乘法一样。

第三步：每个块的左右次序不能换——块是矩阵，不交换。

第四步：算完数一数结果各块的行列数对不对得上。

例例. 设

M = (A O O B)

、

N = (C O O D)

，各块都是二阶。求

M N

。

第一步，

M

的列切在第

2

列之后，

N

的行也切在第

2

行之后——配套 ✓ 不配套就不能按块乘。

第二步，按「行块乘列块再相加」：

M N = (A C O O B D) .

第三步，写的是

A C

而不是

C A

——块的左右次序不能换，块是矩阵，不交换。

第四步，数形状：四个二阶块，

M N

是四阶 ✓

由此顺带得到一个常用结论（各块可逆时）：

(A O O B)^{- 1} = (A^{- 1} O O B^{- 1}) .

按列分块：把 $A x$ 读成列的组合

第一步：写

A = (α_{1}, \dots, α_{n})

。

第二步：

A x = x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n}

， $x$ 的分量就是系数。

第三步：

A x = 0

有非零解

⟺

列向量线性相关。

第四步：

A B

的第

j

列是

A β_{j}

——证秩的不等式时用它。

例例. 设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

按列分块，

x = (2, - 1, 0)^{T}

，

A x

是什么？

第一步，把

A

写成三个列向量。

第二步，

A x = 2 α_{1} - α_{2} + 0 \cdot α_{3} .

$x$ 的分量就是系数——

A x

是

A

各列的一个线性组合，不是别的东西。

第三步，于是

A x = 0

有非零解

⟺

存在一组不全为零的系数把各列组合成零

⟺

列向量线性相关。整章「方程组」与「向量组」的桥就架在这一行上。

第四步，同理

A B

的第

j

列是

A β_{j}

。证

r (A B) \leq r (A)

就靠它：

A B

的每一列都是

A

各列的组合，所以装不下比

A

更多的独立方向。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

分块乘法时交换块的次序

块是矩阵，不交换。

(A O O B) (C O O D)

的左上块是

A C

不是

C A

。

分块乘法「像数一样」只是指格式，块内部的规矩一条没变。

切法不配套就相乘

M N

要求

M

的列的切法与

N

的行的切法一致，否则对应的块乘不起来。

检验：切完数一数各块的行列数，相邻块的边要对得上。

分块三角的逆当成各块分别求逆

只有分块对角时才有

M^{- 1} = (A^{- 1} O O B^{- 1})

。

分块三角的逆还带一个交叉项。行列式不管那个 $C$ ，逆要管。

副对角分块忘了符号

O B A O = (- 1)^{mn} ∣ A ∣∣ B ∣

。

不确定时拿二阶试：

0 b a 0 = - ab

，

m = n = 1

时符号是

- 1

，对上了。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 分块的规矩

练 1

设

M = (A O O B)

（

A

、

B

为方阵），已知

∣ A ∣ = 2

、

∣ B ∣ = 3

，则

∣ M ∣ =

________。

练 2

分块矩阵相乘时，块与块之间（）。

A可以交换次序
B不能交换次序
C对角块可以交换
D零块可以随便移动

练 3

设

A

、

B

为方阵且

∣ A ∣ = 5

、

∣ B ∣ = 2

，则

A O C B =

________。

练 4

分块矩阵

M

、

N

能相乘的条件是（）。

A两者切法完全相同
B $M$ 的列的切法与 $N$ 的行的切法一致
C两者是同阶方阵
D对角块同阶

第二组 · 算与认

练 5

2100110000300004 =

________。

练 6

设

M = (A O O B)

且

A

、

B

都可逆，则

M^{- 1} =

（）。

A $(A^{- 1} O O B^{- 1})$
B $(B^{- 1} O O A^{- 1})$
C $(A O O B)$
D不存在

练 7

设

A = (α_{1}, α_{2})

，

x = (23)

，则

A x = 2 α_{1} +

________

α_{2}

。

练 8

A B

的第

j

列等于（）。

A $A$ 的第 $j$ 列乘 $B$
B $A$ 的第 $j$ 行乘 $B$
C $A$ 乘 $B$ 的第 $j$ 列
D $A$ 的第 $j$ 列加 $B$ 的第 $j$ 列

第三组 · 副对角与综合

练 9

0 b a 0 =

（）。

A $ab$
B $0$
C $- ab$
D $a + b$

练 10

0057006813002400 =

________。

练 11

判断一个矩阵该不该分块，最该看的是（）。

A矩阵的阶数是不是偶数
B元素是不是整数
C零是不是聚成一块
D行列式是不是为零

练 12

关于

M = (A O C B)

，正确的是（）。

A $∣ M ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣$ ，但 $M^{- 1}$ 不是各块分别求逆
B $∣ M ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣ + ∣ C ∣$
C $M^{- 1} = (A^{- 1} O C^{- 1} B^{- 1})$
D $∣ M ∣$ 与 $C$ 有关

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

分块矩阵

先打基础

1. 分块：把一大张表切成几小块

2. 分块对角与分块三角：行列式与逆直接写

3. 按列分块：把矩阵乘法看成列的组合

4. 分块的实用场合

常用结构

分块算行列式：先认结构

分块做乘法：切法要配套

按列分块：把 Ax 读成列的组合

基础易错

分块乘法时交换块的次序

切法不配套就相乘

分块三角的逆当成各块分别求逆

副对角分块忘了符号

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

按列分块：把 $A x$ 读成列的组合