分块矩阵

§10.5 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.95 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

0.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 分块运算规则：分块乘法的条件与公式、分块转置、分块对角与副对角的行列式和逆★★ 必会

① 分块乘法：条件 $+$ 公式. 设

A

为

m \times n

、

B

为

n \times s

。分块后能够按块相乘的条件是： $A$ 对列的分法与 $B$ 对行的分法完全一致（中间的分割线要对得上）。此时

A B C_{ij} = (C_{ij}) = k \sum A_{ik} B_{k j}

形式上与普通矩阵的乘法完全一样，但每个

A_{ik} B_{k j}

都是矩阵的乘积，次序绝不能颠倒。下面两个特例最为常用：把

B

按列分块，得

A B = A (b_{1}, \dots, b_{s}) = (A b_{1}, \dots, A b_{s})

，即乘积的每一列是

A

乘对应的列；把

A

按列分块再乘向量，得

A x = x_{1} a_{1} + \dots + x_{n} a_{n}

，即矩阵乘向量 $=$ 列向量的线性组合。这两种看法是后面向量组与线性方程组两章的基础。

② 分块转置：先整体转置，每块再转置.

(A C B D)^{T} = (A^{T} B^{T} C^{T} D^{T}),

即先把各块的排布整体转置，每一块自身还要再转置。如果只作其中一步，结果就是错的。

③ 分块对角阵. 设

A = diag (A_{1}, A_{2}, \dots, A_{t})

（各

A_{i}

均为方阵），则

∣ A ∣ A^{k} r (A) = ∣ A_{1} ∣∣ A_{2} ∣ \dots ∣ A_{t} ∣ = diag (A_{1}^{k}, \dots, A_{t}^{k}) = r (A_{1}) + \dots + r (A_{t})

并且

A

可逆

⟺

每个

A_{i}

可逆，这时

A^{- 1} = diag (A_{1}^{- 1}, \dots, A_{t}^{- 1})

，即各块分别求逆，仍放回原来的位置。

④ 分块副对角阵（ $2 \times 2$ 型）. 设

B

为

m

阶、

C

为

n

阶方阵，则

O C B O = (- 1)^{mn} ∣ B ∣ ∣ C ∣, (O C B O)^{- 1} = (O B^{- 1} C^{- 1} O),

求逆时仍是各块分别求逆，但要交换位置：

B^{- 1}

落到左下角，

C^{- 1}

落到右上角。与此相配的还有分块三角行列式

A O C B = ∣ A ∣ ∣ B ∣

（含未知块的分块三角矩阵如何求逆，见本页待定系数条）。

必须注意：分块矩阵的行列式不能照搬二阶数字行列式的算法，一般说来

A C B D \neq = ∣ A ∣∣ D ∣ - ∣ B ∣∣ C ∣

；一般的分块行列式要用舒尔补来计算（见本页相应条目）。

证明 / 推导

(a) 分块三角行列式 $= ∣ A ∣ ∣ B ∣$ （用 §9.1 的 $n!$ 项定义）. 证设

M = (A O C B)

，其中

A

为

m

阶、

B

为

n

阶。按行列式的定义，每一非零项要在每行取一个元素，且所取元素的列互不相同。后

n

行（即

B

所在的行）在前

m

列的元素全为

0

，所以这

n

行只能在后

n

列中取元素；于是前

m

行恰好取完前

m

列。这样，每一非零项都分解成

A

内的项

\times

B

内的项，而它的逆序数恰为两块内部逆序数之和，整个和式因而分解成两个独立的和的乘积，即

∣ M ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣

。取

C = O

便得分块对角的情形，逐块归纳即得 ③ 中的行列式公式。

(b) 副对角块的符号 $(- 1)^{mn}$ . 把

(O C B O)

的后

m

列整体移到最前面：每一列都要依次跨过它前面的

n

列，即作

n

次相邻对换，

m

列共作

mn

次对换，最后得到分块对角阵

(B O O C)

。每作一次对换行列式变号一次，因此

O C B O = (- 1)^{mn} ∣ B ∣ ∣ C ∣

。

(c) 副对角阵的逆：按块相乘直接验证.

(O C B O) (O B^{- 1} C^{- 1} O) = (O \cdot O + B B^{- 1} C \cdot O + O \cdot B^{- 1} O \cdot C^{- 1} + B \cdot O C C^{- 1} + O \cdot O) = (E_{m} O O E_{n}) = E .

分块对角阵的求逆公式可用同样的方法验证。

■

举例说明

例（1991 年数一·填空题）. 设

4

阶矩阵

A = 520021000011 00 - 2 1

，求

A^{- 1}

。

解. 按零块的位置切分：

A = (B O O C)

是分块对角阵，其中

B = (5221)

，

C = (11 - 2 1)

。对各块分别求逆（二阶矩阵求逆时主对角元对换、副对角元变号，再除以行列式）：

∣ B ∣ = 5 - 4 = 1, B^{- 1} = (1 - 2 - 2 5); ∣ C ∣ = 1 + 2 = 3, C^{- 1} = \frac{1}{3} (1 - 1 21) .

把它们放回原来的位置，得

A^{- 1} = (B^{- 1} O O C^{- 1}) = 1 - 2 00 - 2 500 00 \frac{1}{3} - \frac{1}{3} 00 \frac{2}{3} \frac{1}{3} .

另外，由 ③ 得

∣ A ∣ = ∣ B ∣∣ C ∣ = 3

。必须注意：如果题目给的是副对角的分块矩阵

(O C B O)

，那么求逆时除了各块分别求逆，还要交换位置。主对角的情形放回原位，副对角的情形交换位置，两者不可混淆。

2. 分块三角阵求逆的一般公式：用待定系数法当场推出，不必强记★ 要懂

上一条给出了分块对角阵与副对角阵的逆，而考试中更常见的是分块三角阵，即只有一个角块

B

不为零的情形：

(A O B D)^{- 1} = (A^{- 1} O - A^{- 1} B D^{- 1} D^{- 1})

（这里

A, D

可逆）。这个公式不必强记。把所求的逆设成同样结构的分块矩阵

(X Z Y W)

，令乘积等于

E

，再把所得的四个分块方程逐一解出即可。掌握了先设分块、再比较这一方法，任何分块三角阵或分块对角阵的逆都能当场推出，比强记公式更为可靠。

证明 / 推导

证设

(A O B D) (X Z Y W) = (E O O E)

，按块展开，得四个方程：

A X + B Z A Y + B W D Z D W = E = O = O = E .

由

D W = E

（

D

可逆）得

W = D^{- 1}

；由

D Z = O

（

D

可逆，两边左乘

D^{- 1}

）得

Z = O

；代入第一个方程得

A X = E

，因而

X = A^{- 1}

；代入第二个方程得

A Y = - B W = - B D^{- 1}

，两边左乘

A^{- 1}

，得

Y = - A^{- 1} B D^{- 1}

。这就得到上面的求逆公式。

举例说明

求

M^{- 1}

，

M = 2100110010100101

。

解. 按

2 + 2

分块，取

A = (2111)

，

B = E_{2}

，

D = E_{2}

，它是分块上三角阵。算得

A^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)

，

- A^{- 1} B D^{- 1} = - A^{- 1} = (- 1 1 1 - 2)

。于是

M^{- 1} = 1 - 1 00 - 1 200 - 1 110 1 - 2 01 .

3. 舒尔补：一般分块行列式 $A C B D = ∣ A ∣ ∣ D - C A^{- 1} B ∣$

分块三角行列式

A O C B = ∣ A ∣∣ B ∣

只是一个特例。如果左下角

C \neq = O

，而

A

可逆，那么可以用分块消元把

C

消成

O

，代价是右下角出现矩阵

D - C A^{- 1} B

，它称为

A

的舒尔补。于是一般的分块行列式有

A C B D = ∣ A ∣ ∣ D - C A^{- 1} B ∣

。这是计算四块都不为零的大行列式的基本工具，下一条

∣ E + A B ∣ = ∣ E + B A ∣

的证明也要用到它。与此相对称，如果

D

可逆，那么

A C B D = ∣ D ∣ ∣ A - B D^{- 1} C ∣

。

证明 / 推导

证当

A

可逆时，有下面的分块 LU 分解（直接乘开即可验证）：

(A C B D) = (E C A^{- 1} O E) (A O B D - C A^{- 1} B) .

右端第一个因子是分块下三角阵，对角块都是

E

，行列式等于

1

；第二个因子是分块上三角阵，行列式等于

∣ A ∣ ∣ D - C A^{- 1} B ∣

。两边取行列式，由

∣ X Y ∣ = ∣ X ∣∣ Y ∣

即得

A C B D = 1 \cdot ∣ A ∣ ∣ D - C A^{- 1} B ∣ = ∣ A ∣ ∣ D - C A^{- 1} B ∣.

4. 用分块矩阵证 $∣ E_{m} + A B ∣ = ∣ E_{n} + B A ∣$ ：同一个分块行列式算两次

A B

与

B A

通常连阶数都不相同（当

A

是

m \times n

、

B

是

n \times m

时，

A B

是

m

阶方阵，

B A

是

n

阶方阵），但两者之间有下面的联系： $∣ E_{m} + A B ∣ = ∣ E_{n} + B A ∣$ 。这个恒等式说明

A B

与

B A

有完全相同的非零特征值，是特征值一章中许多结论的来源。它的证明是分块方法的典型例子：构造一个分块矩阵，用舒尔补分别从左上角与右下角展开，再令两个结果相等。

证明 / 推导

证构造分块矩阵

M = (E_{m} B - A E_{n})

，用舒尔补把它的行列式算两次。

（按左上块 $E_{m}$ 展开）

∣ M ∣ = ∣ E_{m} ∣ \cdot E_{n} - B E_{m}^{- 1} (- A) = ∣ E_{n} + B A ∣

。

（按右下块 $E_{n}$ 展开） 用对称的形式，

∣ M ∣ = ∣ E_{n} ∣ \cdot E_{m} - (- A) E_{n}^{- 1} B = ∣ E_{m} + A B ∣

。

同一个

∣ M ∣

用两种方法算出的结果必相等，因此

∣ E_{m} + A B ∣ = ∣ E_{n} + B A ∣

。证毕。

推论. 作

A \to λ^{- 1} A

一类的代换，可以推出

A B

与

B A

的非零特征值（连同重数）完全一致。这就是秩一扰动

A α β^{T}

一类题目的理论根据。

5. 分块对角阵的方幂与多项式：各块互不影响，可以逐块计算

分块对角阵

M = diag (A_{1}, \dots, A_{k})

在乘法下各块互不影响：

M^{2} = diag (A_{1}^{2}, \dots, A_{k}^{2})

，一般地

M^{n} = diag (A_{1}^{n}, \dots, A_{k}^{n})

；并且对任意多项式

f

有

f (M) = diag (f (A_{1}), \dots, f (A_{k}))

。这样一来，求一个大矩阵的方幂或多项式，就化成分别求几个小块的方幂，这是分块方法在计算上最实用的一点。相似对角化

A = P Λ P^{- 1}

以及用约当标准形求方幂，实质上都是先化成分块对角阵，再逐块计算。

证明 / 推导

证只需考察两块的情形，多块的情形与此相类似。设

M = (A O O B)

，由分块乘法得

M^{2} = (A O O B) (A O O B) = (A^{2} + O O O O + B^{2}) = (A^{2} O O B^{2}),

用归纳法即得

M^{n} = diag (A^{n}, B^{n})

。又对多项式

f (x) = \sum c_{i} x^{i}

，有

f (M) = \sum c_{i} M^{i} = \sum c_{i} diag (A^{i}, B^{i}) = diag (f (A), f (B))

。

举例说明

求

M^{n}

，

M = 300010011

。

解.

M = diag ((3), (1011))

。上块

(3)^{n} = 3^{n}

；下块

(1011)^{n} = (10 n 1)

（把它写成单位矩阵与幂零矩阵之和，再用二项式展开即得）。于是

M^{n} = 3^{n} 00 010 0 n 1 .

6. 秩的两条重要不等式：Sylvester 与 Frobenius★★ 必会

下面两条秩不等式在真题中常被直接使用，这里作一系统的陈述。

① Sylvester 不等式：设

A_{m \times n}, B_{n \times s}

，则

r (A) + r (B) - n \leq r (A B), 即 r (A) + r (B) \leq r (A B) + n,

这里的

n

是中间的维数（

A

的列数

= B

的行数）。当

A B = O

时，它给出特例

r (A) + r (B) \leq n

。

② Frobenius 不等式：设

A_{m \times n}, B_{n \times p}, C_{p \times q}

，则

r (A B) + r (B C) \leq r (B) + r (A B C) .

取

B = E_{n}

（此时

p = n

）即退化为 Sylvester 不等式：

r (A) + r (C) \leq n + r (A C)

。

推广到三个矩阵：对

n

阶方阵，连用两次 Sylvester 不等式得

r (A) + r (B) + r (C) \leq r (A B C) + 2 n

。如果这里的等号成立，那么中间每一步的不等号也都取等号，由此可以反推出

r (A B) + n = r (A) + r (B)

一类的结论（见例题）。

证明 / 推导

思路. 以 Sylvester 不等式为例。待证式

r (A) + r (B) \leq r (A B) + n

的左端是

A, B

各自的秩，右端是乘积的秩与中间维数之和。构造一个分块矩阵，使其秩恰为右端；再用可逆的分块变换把

A

与

B

分离到不同的分块行与分块列上，左端即由下述引理给出。Frobenius 不等式同法。

引理. 设

X, Y, Z

为使下式有意义的矩阵，则

r (X Z O Y) \geq r (X) + r (Y) .

证. 记

k = r (X), l = r (Y)

。在

X

中取

k

个线性无关的行，在

Y

中取

l

个线性无关的行，大矩阵中与之对应的

k + l

行形如

(x_{i}, O) (1 \leq i \leq k), (z_{j}, y_{j}) (1 \leq j \leq l) .

设

\sum_{i} a_{i} (x_{i}, O) + \sum_{j} b_{j} (z_{j}, y_{j}) = O

。比较右半部分得

\sum_{j} b_{j} y_{j} = O

，由

y_{j}

线性无关知

b_{j} = 0 (\forall j)

；代回左半部分得

\sum_{i} a_{i} x_{i} = O

，同理

a_{i} = 0 (\forall i)

。故这

k + l

行线性无关，从而秩不小于

k + l

。

□

以下每一步均为左乘或右乘可逆矩阵，秩保持不变。

① Sylvester 不等式. 设

A

为

m \times n

矩阵，

B

为

n \times s

矩阵。取

M = (A B O O E_{n}), r (M) = r (A B) + n .

令

m + n

阶可逆矩阵

P = (E_{m} O A E_{n})

，则

P M = (A B O A E_{n}) .

再令

s + n

阶可逆矩阵

Q = (E_{s} - B O E_{n})

，第二分块行的

E_{n}

消去左上角，同时使

- B

出现在左下角：

P M Q = (O - B A E_{n}) .

交换两个分块列，得

(A E_{n} O - B) .

此式右上角为零，对角块为

A

与

- B

。由引理

r (A B) + n \geq r (A) + r (- B) = r (A) + r (B) .

② Frobenius 不等式. 设

A

为

m \times n

、

B

为

n \times p

、

C

为

p \times q

矩阵。待证式

r (A B) + r (B C) \leq r (B) + r (A B C)

的右端为

A B C

与

B

，故取

N = (A B C O O B), r (N) = r (A B C) + r (B) .

令

m + n

阶可逆矩阵

P = (E_{m} O - A E_{n})

，则右上角出现

- A B

：

P N = (A B C O - A B B) .

再令

q + p

阶可逆矩阵

Q = (E_{q} C O E_{p})

，左上角被消去，左下角出现

B C

：

P N Q = (O B C - A B B) .

交换两个分块列，得

(- A B B O B C),

其对角块为

- A B

与

B C

。由引理

r (A B C) + r (B) \geq r (A B) + r (B C) . ■

注. 各单位阵的阶数由所在方阵确定：左乘的方阵与被乘矩阵行数相同（

m + n

阶，故为

E_{m}, E_{n}

），右乘的方阵与其列数相同（① 中为

s + n

阶，故为

E_{s}, E_{n}

；② 中为

q + p

阶，故为

E_{q}, E_{p}

）。在 ② 中取

B = E_{n}

（此时

p = n

）即得 ①。

举例说明

2025·数一 q07：

n

阶

A, B, C

满足

r (A) + r (B) + r (C) = r (A B C) + 2 n

，判断 ①

r (A B C) + n = r (A B) + r (C)

；②

r (A B) + n = r (A) + r (B)

；③

r (A) = r (B) = r (C) = n

；④

r (A B) = r (B C) = n

。
解：连用 Sylvester 不等式，得

r (A B C) \geq r (A B) + r (C) - n \geq (r (A) + r (B) - n) + r (C) - n = r (A) + r (B) + r (C) - 2 n

。由已知，右端

= r (A B C)

，所以两处不等号都取等号，于是 ①② 成立。③④ 不成立，反例为

n = 2, A = C = E, B = O

，这时

r (A) = r (C) = 2, r (B) = r (A B C) = 0

，条件满足，但

r (B) \neq = n

。答案 A（①②）。

💡 小知识

分块矩阵把分而治之的思想搬进了线性代数。现代超大规模的矩阵计算，比如训练神经网络、模拟天气，几乎都要靠分块：一个装不进内存的巨型矩阵被切成小块，分发给成百上千个处理器并行运算。你手算时眯起眼睛只看大格子的那点技巧，和超级计算机加速用的其实是同一个原理。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设分块对角矩阵

M = (A O O B)

，其中

A = (1021)

，

B = (3002)

。求

∣ M ∣

与

M^{- 1}

。难度 1

分块对角阵的行列式等于各对角块行列式之积，逆等于各块分别求逆。
行列式：

∣ M ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (1 \times 1 - 2 \times 0) \times (3 \times 2 - 0) = 1 \times 6 = 6.

因

∣ A ∣ = 1 \neq = 0

、

∣ B ∣ = 6 \neq = 0

，

M

可逆。分别求逆：

A^{- 1} = (10 - 2 1), B^{- 1} = (\frac{1}{3} 0 0 \frac{1}{2}),

M^{- 1} = (A^{- 1} O O B^{- 1}) = 1000 - 2 100 00 \frac{1}{3} 0 000 \frac{1}{2} .

例 2 计算分块三角形行列式

D = 1300240057126813

。难度 2

观察左下角是 $2 \times 2$ 零块，整体是分块上三角形

A O C B = ∣ A ∣ ∣ B ∣

，其中

A = (1324), B = (1213) .

分别算：

∣ A ∣ = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2, ∣ B ∣ = 1 \times 3 - 1 \times 2 = 1.

故

D = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (- 2) \times 1 = - 2

。右上角的块 $C$ 完全不影响结果（这正是分块三角形的便利之处）。

例 3 设

A = (1002)

，

B = (1011)

，

M = (O B A O)

为

4

阶矩阵。求

∣ M ∣

与

M^{- 1}

。难度 2

这里

A, B

均为

2

阶，

m = n = 2

。副对角分块行列式公式：

∣ M ∣ = (- 1)^{mn} ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (- 1)^{4} \times (1 \times 2) \times (1 \times 1) = 1 \times 2 \times 1 = 2.

因

∣ A ∣ = 2 \neq = 0

、

∣ B ∣ = 1 \neq = 0

，

M

可逆。副对角分块求逆是「交叉」放置：

M^{- 1} = (O A^{- 1} B^{- 1} O), A^{- 1} = (10 0 \frac{1}{2}), B^{- 1} = (10 - 1 1) .

代入得

M^{- 1} = 0010 000 \frac{1}{2} 1000 - 1 100 .

关键：认出「反对角有块、主对角为零」，行列式套 $(- 1)^{mn} ∣ A ∣∣ B ∣$ 、逆用交叉公式 $(O B A O)^{- 1} = (O A^{- 1} B^{- 1} O)$ 。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设

n

阶矩阵

A, B, C

满足

r (A) + r (B) + r (C) = r (A B C) + 2 n

，给出下列四个结论：
①

r (A B C) + n = r (A B) + r (C)

；
②

r (A B) + n = r (A) + r (B)

；
③

r (A) = r (B) = r (C) = n

；
④

r (A B) = r (B C) = n

。
其中正确的选项是（　　）

A①②.
B①③.
C②④.
D③④.

2023 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

已知

n

阶矩阵

A, B, C

满足

A B C = O

，

E

为

n

阶单位矩阵。记矩阵

(O B C A E), (A B O C E), (E A B A B O)

的秩分别为

r_{1}, r_{2}, r_{3}

，则（　　）

A $r_{1} \leq r_{2} \leq r_{3}$ .
B $r_{1} \leq r_{3} \leq r_{2}$ .
C $r_{3} \leq r_{1} \leq r_{2}$ .
D $r_{2} \leq r_{1} \leq r_{3}$ .

2022 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，

E

为单位矩阵。若方程组

A x = 0

与

B x = 0

同解，则（　　）

A方程组 $(A E O B) y = 0$ 只有零解.
B方程组 $(E O A A B) y = 0$ 只有零解.
C方程组 $(A O B B) y = 0$ 与 $(B O A A) y = 0$ 同解.
D方程组 $(A B O B A) y = 0$ 与 $(B A O A B) y = 0$ 同解.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

M = (A O O B)

，其中

A

为

2

阶方阵、

∣ A ∣ = 3

，

B

为

3

阶方阵、

∣ B ∣ = 2

，则

∣ M ∣ =

（）。

A $5$
B $6$
C $- 6$
D $8$

练习 2 · 填空题

设

A, B

为方阵，

∣ A ∣ = 2

，

∣ B ∣ = - 3

，则分块上三角行列式

A O C B =

____。

练习 3 · 选择题

设

A

为

m

阶方阵、

B

为

n

阶方阵，则副对角分块行列式

O B A O =

（）。

A $∣ A ∣ ∣ B ∣$
B $- ∣ A ∣ ∣ B ∣$
C $(- 1)^{mn} ∣ A ∣ ∣ B ∣$
D $(- 1)^{m + n} ∣ A ∣ ∣ B ∣$

练习 4 · 填空题

设

A = (2003)

，

M = (A O O A)

为

4

阶矩阵，则

∣ M ∣ =

____。

练习 5 · 选择题

分块对角矩阵

M = (A O O B)

（

A, B

为方阵）可逆的充要条件是（）。

A $A$ 可逆
B $B$ 可逆
C $A$ 与 $B$ 都可逆
D $A$ 或 $B$ 可逆

2021 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶实矩阵，下列不成立的是（　　）

A $r (A O O A^{T} A) = 2 r (A) .$
B $r (A O A B A^{T}) = 2 r (A) .$
C $r (A O B A A A^{T}) = 2 r (A) .$
D $r (A B A O A^{T}) = 2 r (A) .$

2018 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，记

r (X)

为矩阵

X

的秩，

(X, Y)

表示分块矩阵，则（　　）

A $r (A, A B) = r (A)$
B $r (A, B A) = r (A)$
C $r (A, B) = max {r (A), r (B)}$
D $r (A, B) = r (A^{T}, B^{T})$

1991 年 · 数一 · 第 5 题 · 填空题 · 3 分

设 4 阶矩阵

A = 520021000011 00 - 2 1

，则

A

的逆矩阵

A^{- 1} =

___.

分块矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 分块运算规则：分块乘法的条件与公式、分块转置、分块对角与副对角的行列式和逆★★ 必会

2. 分块三角阵求逆的一般公式：用待定系数法当场推出，不必强记★ 要懂

3. 舒尔补：一般分块行列式 ​AC​BD​​=∣A∣∣D−CA−1B∣

4. 用分块矩阵证 ∣Em​+AB∣=∣En​+BA∣：同一个分块行列式算两次

5. 分块对角阵的方幂与多项式：各块互不影响，可以逐块计算

6. 秩的两条重要不等式：Sylvester 与 Frobenius★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 舒尔补：一般分块行列式 $A C B D = ∣ A ∣ ∣ D - C A^{- 1} B ∣$

4. 用分块矩阵证 $∣ E_{m} + A B ∣ = ∣ E_{n} + B A ∣$ ：同一个分块行列式算两次