矩阵的运算

§10.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.41 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

12.0 分支撑的下游价值

前置诊断

这是地基知识点，无前置要求，可以直接学习。

③ 掌握后可解锁逆矩阵初等变换与初等矩阵矩阵的秩分块矩阵伴随矩阵向量的线性组合与线性表示特征值与特征向量的概念与计算二次型及其标准形、规范形

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 矩阵乘法的定义 $(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}$ ：可乘条件、运算律与转置反序 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ★★ 必会

① 定义与可乘的条件. 设

A = (a_{ij})

为

m \times n

矩阵，

B = (b_{ij})

为

n \times s

矩阵。只有当 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数时，两者才能相乘。乘积

C = A B

是

m \times s

矩阵，它的

(i, j)

元为

c_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{in} b_{nj} (i = 1, \dots, m; j = 1, \dots, s),

也就是把

A

的第

i

行与

B

的第

j

列的对应元素相乘再相加，简称行乘列。中间的两个数相等才能相乘，两端的两个数决定乘积的形状：

(m \times n) (n \times s) = m \times s

。

② 成立的运算律. 结合律

(A B) C = A (B C)

；左、右分配律

A (B + C) = A B + A C

，

(B + C) A = B A + C A

；数乘

k (A B) = (k A) B = A (k B)

；单位矩阵

E_{m} A = A E_{n} = A

。其中结合律最为有用：它允许在连乘式中任意移动括号，先把中间的因子乘成一个数、从而使幂次降下来这一类做法，其合法性就来源于此（见例题）。

③ 转置的反序律（次序必须颠倒）.

(A B)^{T} = B^{T} A^{T},

推广到多个因子：

(A_{1} A_{2} \dots A_{t})^{T} = A_{t}^{T} \dots A_{2}^{T} A_{1}^{T}

。同样的反序也出现在逆矩阵上，即

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

，其中要求

A, B

都可逆（§10.2）；也出现在伴随矩阵上，即

(A B)^{*} = B^{*} A^{*}

，其中

A, B

为同阶方阵（§10.6）。

④ 三条不成立的运算律. 没有交换律：一般说来

A B \neq = B A

，甚至可能一边有定义而另一边没有定义，因此

(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}

、

(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}

、

(A B)^{k} = A^{k} B^{k}

都只在 $A B = B A$ 时才成立；没有消去律：由

A B = A C

及

A \neq = O

推不出

B = C

，只有

A

可逆时才能消去，参看本页关于消去律的一条；存在零因子：由

A B = O

推不出

A = O

或

B = O

，只能得到关于秩的结论

r (A) + r (B) \leq n

（§10.4）。

证明 / 推导

证下证转置的反序律

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

。先看维数：

A B

为

m \times s

矩阵，故左端为

s \times m

矩阵；右端

B^{T}

为

s \times n

矩阵，

A^{T}

为

n \times m

矩阵，两者恰可相乘，乘积为

s \times m

矩阵，维数相符。值得注意的是，若写成

A^{T} B^{T}

，一般连维数都对不上，据此最容易记住次序要颠倒这一点。再逐个元素核对：对任意

i \leq s, j \leq m

，有

((A B)^{T})_{ij} (B^{T} A^{T})_{ij} = (A B)_{j i} = k = 1 \sum n a_{j k} b_{k i} = k = 1 \sum n (B^{T})_{ik} (A^{T})_{k j} = k = 1 \sum n b_{k i} a_{j k} .

这两个和式逐项相同，故两个矩阵相等。

■

举例说明

例（1994 年数一·填空题）. 已知

α = (1, 2, 3)

，

β = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3})

，设

A = α^{T} β

，求

A^{n}

。

解. 先按行乘列把

A

写出来，这是

3 \times 1

矩阵乘

1 \times 3

矩阵，所得为

3 \times 3

矩阵：

A = α^{T} β = 123 (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}) = 123 \frac{1}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{1}{3} \frac{2}{3} 1 .

反过来相乘则是

1 \times 3

矩阵乘

3 \times 1

矩阵，结果是一个数：

β α^{T} = 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 3

。求

A^{n}

时用结合律重新加括号，使中间反复出现这个数：

A^{n} = (α^{T} β) (α^{T} β) \dots (α^{T} β) = α^{T} n - 1 (β α^{T}) \dots (β α^{T}) β = 3^{n - 1} α^{T} β = 3^{n - 1} 123 \frac{1}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{1}{3} \frac{2}{3} 1 .

必须注意：

α^{T} β

是

3 \times 3

矩阵，而

β α^{T}

是一个数，两者完全不同，因为矩阵乘法没有交换律；但结合律允许自由移动括号，这就是求秩 1 矩阵的

A^{n}

的标准方法。

2. 求高次幂 $A^{n}$ 的主要方法：分解成 $A = λ E + N$ 再用二项式（因 $E$ 与 $N$ 可交换）★★ 必会

矩阵一般不可交换，因此二项式定理

(A + B)^{n} = \sum (k n) A^{k} B^{n - k}

一般不成立，它成立的充分必要条件是

A B = B A

。由此得到求

A^{n}

的一条重要途径：如果能把

A

分解成

A = λ E + N

，其中

N

是幂零矩阵，即存在

m

使

N^{m} = O

，那么由于

λ E

与任何矩阵都可交换，二项式定理便可以使用；而且展开式到

N^{m}

项自动中断，只剩有限的几项。这个方法适用于主对角线上是同一个数、上方（下方）只有少量非零元的矩阵，特别是上三角矩阵与约当块，是求矩阵方幂最稳妥的办法。

证明 / 推导

下面说明为什么可交换才能使用二项式定理。展开

(A + B)^{2} = (A + B) (A + B) = A^{2} + A B + B A + B^{2}

，要把中间两项合并成

2 A B

，必须有

A B = B A

；一般情形下

A B \neq = B A

，就无法合并。而

λ E

与

N

满足

(λ E) N = λ N = N (λ E)

，两者总是可交换的，故

A^{n} = (λ E + N)^{n} = k = 0 \sum n (k n) (λ E)^{n - k} N^{k} = k = 0 \sum n (k n) λ^{n - k} N^{k} .

又因

N

是幂零的，设

N^{m} = O

，则

k \geq m

的各项全为零，求和只需算到

k = m - 1

，这是一个有限和。

举例说明

求

A^{n}

，其中

A = 100110011

。

解. 令

N = A - E = 000100010

，则

N^{2} = 000000100

，

N^{3} = O

。由二项式定理，展开只到

N^{2}

项，得

A^{n} = (E + N)^{n} = E + n N + (2 n) N^{2} = 100 n 10 \frac{n ( n - 1 )}{2} n 1 .

3. 迹 $tr A$ 与恒等式 $tr (A B) = tr (B A)$ ：即使 $A B \neq = B A$ 也成立★ 要懂

方阵主对角线上元素之和称为它的迹，即

tr A = \sum_{i} a_{ii}

，这是一个常被忽视的有用工具。迹是线性的：

tr (k A + l B) = k tr A + l tr B

；并且有一条与直觉不合的重要等式： $tr (A B) = tr (B A)$ 。虽然

A B

与

B A

作为矩阵通常并不相等，它们的迹却总是相等的。由此还可得到

tr (P^{- 1} A P) = tr A

，即迹是相似不变量，它等于全体特征值之和。这条等式常用来判定某个矩阵方程无解：只要两端取迹后出现矛盾，就可以断定方程无解。

证明 / 推导

证直接按定义计算。由

(A B)_{ii} = \sum_{k} a_{ik} b_{k i}

，得

tr (A B) = i \sum k \sum a_{ik} b_{k i} = k \sum i \sum b_{k i} a_{ik} = k \sum (B A)_{k k} = tr (B A) .

其中只是交换了有限和的求和次序，并把

a_{ik} b_{k i}

写成

b_{k i} a_{ik}

，因为数的乘法可以交换。值得注意的是，这里并不需要

A B = B A

。

举例说明

命题. 不存在

n

阶矩阵

A, B

使

A B - B A = E_{n}

。

证. 用反证法。设这样的矩阵存在，两端取迹，得

tr (A B - B A) = tr (A B) - tr (B A) = 0

。但右端

tr (E_{n}) = n \neq = 0

，产生矛盾。故这样的

A, B

不存在。

注. 对于证明某个矩阵等式无解或推断矩阵结构一类的问题，取迹常常是一个十分有效的办法，因为迹把矩阵之间的关系化成了数之间的关系，从而避开了矩阵不可交换所带来的困难。

4. 消去律何时成立：只有 $A$ 可逆（或列满秩）才能从 $A B = A C$ 中消去 $A$ ★★ 必会

矩阵一般没有消去律：由

A B = A C

及

A \neq = O

推不出

B = C

，由

A B = O

也推不出

A = O

或

B = O

。但这并不是说永远不能消去，而是要有条件才能消去。当 $A$ 可逆时，消去律成立：两端左乘

A^{- 1}

即得

B = C

。更一般地，只要

A

列满秩，即

r (A) =

它的列数，就有

A B = O \Rightarrow B = O

。弄清楚什么时候能消去、根据什么消去，在证明题中才能放心地左乘或右乘。要点是：要消去一个矩阵，先确认它可逆或列满秩。

证明 / 推导

可逆时可以消去. 设

A

可逆，则

A B = A C \Rightarrow A^{- 1} (A B) = A^{- 1} (A C) \Rightarrow (A^{- 1} A) B = (A^{- 1} A) C \Rightarrow B = C

。

不可逆时消去律失效，下面举出反例. 取

A = (1000)

，

B = (0001)

，则

A B = (0000) = O

，但

A \neq = O

且

B \neq = O

，可见零因子确实存在。又如在

A B = A C

中取

C = O

，这时

B \neq = C

而仍有

A B = A C

，故

A

不能消去。

举例说明

应用. 设

A

可逆且

A B = B A

，证明

A^{- 1} B = B A^{- 1}

。

证. 在

A B = B A

两端左乘

A^{- 1}

，得

A^{- 1} A B = A^{- 1} B A

，即

B = A^{- 1} B A

。再在两端右乘

A^{- 1}

，得

B A^{- 1} = A^{- 1} B A A^{- 1} = A^{- 1} B

。故

A^{- 1} B = B A^{- 1}

。这就是说，

B

与

A

可交换就蕴涵

B

与

A^{- 1}

可交换。以上每一步都是合法的，因为每次消去的都是可逆的

A

。

5. 对称矩阵与反对称矩阵：任一方阵的唯一分解，以及二次型只与对称部分有关

满足

A^{T} = A

的矩阵称为对称矩阵，满足

A^{T} = - A

的矩阵称为反对称矩阵。以下两条事实常常用到：(1) 任一方阵可以唯一地分解成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和

A = \frac{A + A ^{T}}{2} + \frac{A - A ^{T}}{2}

；(2) 对任意矩阵

A

，

A^{T} A

与

A A^{T}

都是对称矩阵。这两条并非无用的摆设：它们说明了为什么二次型 $x^{T} A x$ 总取对称矩阵，因为二次型只与

A

的对称部分有关，反对称部分对它没有任何贡献。明白了这一点，才能理解第 14 章一开始为什么就把二次型的矩阵规定为对称矩阵。

证明 / 推导

唯一分解. 记

S = \frac{A + A ^{T}}{2}

，

K = \frac{A - A ^{T}}{2}

，则

S^{T} = S

是对称的，

K^{T} = - K

是反对称的，且

S + K = A

。再证唯一性：设

A = S^{'} + K^{'}

也是这样的分解，则

S - S^{'} = K^{'} - K

，其左端对称而右端反对称；一个矩阵若既对称又反对称，则必为零矩阵，故

S = S^{'}, K = K^{'}

。

$A^{T} A$ 是对称的. 事实上

(A^{T} A)^{T} = A^{T} (A^{T})^{T} = A^{T} A

。

二次型只与对称部分有关.

x^{T} A x

是

1 \times 1

矩阵，即一个数，故它等于自身的转置：

x^{T} A x = (x^{T} A x)^{T} = x^{T} A^{T} x

。把两式相加再除以

2

，得

x^{T} A x = x^{T} \frac{A + A ^{T}}{2} x = x^{T} S x

。因此反对称部分

K

对二次型没有贡献，可以放心地把系数矩阵取成对称的

S

。

举例说明

把二次型

f = x_{1}^{2} + 3 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2}

写成

x^{T} A x

的对称矩阵形式。

解. 把交叉项

3 x_{1} x_{2}

的系数平均分配给

a_{12}

与

a_{21}

，即取

a_{12} = a_{21} = \frac{3}{2}

；平方项的系数就是对角元。故

A = (1 \frac{3}{2} \frac{3}{2} 2)

，

f = x^{T} A x

。如果误取不对称的

(1032)

，那么算出的

f

虽然数值相同，却不能使用后面的正交对角化理论。这就是二次型必须采用对称矩阵的实际原因。

💡 小知识

矩阵乘法行乘列的规则看着别扭，其实是英国数学家凯莱在 1858 年定下来的：他要让两次线性代换的复合，正好对应两张系数表相乘。正因如此，这种乘法天生就不满足交换律。而不交换这一点，后来成了量子力学的数学骨架，海森堡的不确定性原理，根源就在于位置与动量这两个算符不对易，也就是

A B \neq = B A

。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

A = (1324)

，

B = (0 - 1 12)

。求

A B

与

B A

，并说明二者是否相等。难度 1

乘法口诀「左行乘右列」：结果

(i, j)

元

=

左矩阵第

i

行与右矩阵第

j

列对应相乘之和。

A B = (1 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) 3 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2) = (- 2 - 4 511) .

B A = (0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4) = (3546) .

显然 $A B \neq = B A$ 。 这说明矩阵乘法一般不满足交换律，这是矩阵代数与数的代数最本质的区别之一。

例 2 设

α = 12 - 1

。求

α^{T} α

与

α α^{T}

，并指出二者的本质区别。难度 1

$α^{T} α$ 是「行向量乘列向量」，结果是一个数（

1 \times 3

乘

3 \times 1

得

1 \times 1

）：

α^{T} α = (12 - 1) 12 - 1 = 1^{2} + 2^{2} + (- 1)^{2} = 6.

$α α^{T}$ 是「列向量乘行向量」，结果是一个矩阵（

3 \times 1

乘

1 \times 3

得

3 \times 3

）：

α α^{T} = 12 - 1 (12 - 1) = 12 - 1 24 - 2 - 1 - 2 1 .

结论： $α^{T} α$ （数，即内积 $= 6$ ）与 $α α^{T}$ （ $3$ 阶矩阵）截然不同，务必分清。

例 3 设

α = 111

，

β = 123

，

A = α β^{T}

。求

A^{n}

。难度 2

这是秩 $1$ 矩阵 $A = α β^{T}$ 求方幂的经典题。 关键：先算中间的标量

β^{T} α

（一个数）：

β^{T} α = (123) 111 = 1 + 2 + 3 = 6.

利用结合律，把相邻的

β^{T}

与

α

反复合并成数：

A^{n} = (α β^{T}) (α β^{T}) \dots (α β^{T}) = α (β^{T} α)^{n - 1} β^{T} = 6^{n - 1} α β^{T} = 6^{n - 1} A .

而

A = α β^{T} = 111 (123) = 111222333

，故

A^{n} = 6^{n - 1} 111222333 .

记住结论：秩 $1$ 矩阵 $A = α β^{T}$ 满足 $A^{n} = (β^{T} α)^{n - 1} A = (tr A)^{n - 1} A$ 。

例 4 设

A = (1011)

。求

A^{n}

（

n

为正整数）。难度 2

技巧：把 $A$ 拆成「单位阵 $+$ 幂零阵」，

A = E + B

，其中

B = (0010)

。计算

B^{2}

：

B^{2} = (0010) (0010) = (0000) = O,

即

B

幂零，

B^{k} = O (k \geq 2)

。由于

E

与

B

可交换，可用二项式展开，且二次以上项全为零：

A^{n} = (E + B)^{n} = E + n B + (2 n) B^{2} + \dots = E + n B = (1001) + n (0010) = (10 n 1) .

所以

A^{n} = (10 n 1)

。（也可先算

A^{2}, A^{3}

观察规律再归纳，结果一致。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

已知向量组

α_{1} = 10 - 1 - 1, α_{2} = 1 - 1 0 - 2, α_{3} = 0 - 1 1 - 1, α_{4} = 01 - 1 1

。设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

，

G = (α_{1}, α_{2})

。

（1）证明：

α_{1}, α_{2}

是

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

的极大线性无关组；

（2）求矩阵

H

使得

A = G H

，并求

A^{10}

。

2022 年 · 数一 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

已知矩阵

A

和

E - A

可逆，其中

E

为单位矩阵。若矩阵

B

满足

[E - (E - A)^{- 1}] B = A

，则

B - A =

______.

2020 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

若矩阵

A

经初等列变换化成

B

，则（　　）

A存在矩阵 $P$ ，使得 $P A = B$ .
B存在矩阵 $P$ ，使得 $B P = A$ .
C存在矩阵 $P$ ，使得 $P B = A$ .
D方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解.

2013 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设

A = (11 a 0)

，

B = (01 1 b)

。当

a, b

为何值时，存在矩阵

C

使得

AC - CA = B

，并求所有矩阵

C

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A = (1021)

，则

A^{2} =

（）。

A $(1041)$
B $(1021)$
C $(1042)$
D $(2042)$

练习 2 · 填空题

(1 - 1) (23) =

____。

练习 3 · 选择题

设

A, B

为

n

阶方阵，下列等式恒成立的是（）。

A $(A B)^{T} = A^{T} B^{T}$
B $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$
C $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$
D $A B = B A$

练习 4 · 填空题

设

α = 123

，

β = 111

，

A = α β^{T}

，则

A^{2} = k A

，其中常数

k =

____。

练习 5 · 选择题

设

A

为

n

阶方阵且

A^{2} = O

（零矩阵），则下列一定正确的是（）。

A $A = O$
B $A$ 可逆
C $A$ 不一定为零矩阵
D $∣ A ∣ \neq = 0$

练习 6 · 选择题

设

A = (2012)

，则对任意正整数

n

，

A^{n} =

（）。

A $(2^{n} 0 n 2^{n - 1} 2^{n})$
B $(2^{n} 0 1 2^{n})$
C $(2^{n} 0 n 2^{n})$
D $(2^{n} 0 2^{n - 1} 2^{n})$

练习 7 · 填空题

设

A = 001100010

，则

A^{100} =

____。

练习 8 · 解答题

设

A = 100110011

。

（1）求

A^{n}

（

n

为正整数）；

（2）设

B = A^{2026} - 2 A^{2025} + A^{2024}

，求

B

。

2006 年 · 数一 · 第 5 题 · 填空题 · 4 分

设矩阵

A = (2 - 1 12)

，

E

为 2 阶单位矩阵，矩阵

B

满足

B A = B + 2 E

，则

∣ B ∣ =

___.

1996 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 6 分

设

A = E - ξ ξ^{T}

，其中

E

是

n

阶单位矩阵，

ξ

是

n

维非零列向量，

ξ^{T}

是

ξ

的转置，证明：
(1)

A^{2} = A

的充分必要条件是

ξ^{T} ξ = 1

；
(2) 当

ξ^{T} ξ = 1

时，

A

是不可逆矩阵.

矩阵的运算

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 矩阵乘法的定义 (AB)ij​=∑k​aik​bkj​：可乘条件、运算律与转置反序 (AB)T=BTAT★★ 必会

2. 求高次幂 An 的主要方法：分解成 A=λE+N 再用二项式（因 E 与 N 可交换）★★ 必会

3. 迹 trA 与恒等式 tr(AB)=tr(BA)：即使 AB=BA 也成立★ 要懂

4. 消去律何时成立：只有 A 可逆（或列满秩）才能从 AB=AC 中消去 A★★ 必会

5. 对称矩阵与反对称矩阵：任一方阵的唯一分解，以及二次型只与对称部分有关

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 矩阵乘法的定义 $(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}$ ：可乘条件、运算律与转置反序 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ★★ 必会

2. 求高次幂 $A^{n}$ 的主要方法：分解成 $A = λ E + N$ 再用二项式（因 $E$ 与 $N$ 可交换）★★ 必会

3. 迹 $tr A$ 与恒等式 $tr (A B) = tr (B A)$ ：即使 $A B \neq = B A$ 也成立★ 要懂

4. 消去律何时成立：只有 $A$ 可逆（或列满秩）才能从 $A B = A C$ 中消去 $A$ ★★ 必会