要点精讲 把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。
1. 求特征值与特征向量的基本方法：由特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 ( λ E − A ) x = 0 ★★ 必会 设 A 元素为具体数字的 n 两步 进行，次序不能颠倒：第一步，由特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 特征多项式 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ λ n k k 重特征值 ，即它的代数重数为 k 3 先观察行列式的结构再计算 往往更简便：各行（或各列）元素之和相等的情形 ：若 A s ∣ λ E − A ∣ 2 , … , n 全部加到第 1 上，该列每个元素都变成 λ − s ( λ − s ) λ = s ( 1 , 1 , … , 1 ) T 零行或零列、上（下）三角、某两行成比例 等结构时，也应先化简再展开，不必硬算。第二步，对每个特征值 λ ( λ E − A ) x = 0 把 λ λ E − A 初等行变换 化为行阶梯形，读出秩 r ( λ E − A ) n − r ( λ E − A ) 几何重数 。任取一组基础解系 ξ 1 , … , ξ s s = n − r ( λ E − A ) λ k 1 ξ 1 + ⋯ + k s ξ s k i 特征向量必须是非零向量 。这里有一个贯穿全章的基本不等式 1 ≤ n − r ( λ E − A ) ≤ k 几何重数不超过代数重数 k 。因此，单根 （k = 1 k 重根 所对应的线性无关特征向量的个数介于 1 k
证明 / 推导 证. 特征值为什么恰好是 ∣ λ E − A ∣ = 0 按定义，数 λ A x x = 0 A x = λ x x λ x − A x = ( λ E − A ) x ( λ E − A ) x x = 0 = 0. x 齐次线性方程组 。它有非零解 x λ E − A 不可逆 ，也就是∣ λ E − A ∣ = 0. ∣ λ E − A ∣ = 0 λ λ ( λ E − A ) x = 0 = n − r ( λ E − A ) ■ 举例说明 求 A = 3 2 2 2 3 2 2 2 3 B + 2 E ① 展开特征方程。 注意 A 每行元素之和都等于 3 + 2 + 2 = 7 ，故把各列加到第 1 ∣ λ E − A ∣ = λ − 3 − 2 − 2 − 2 λ − 3 − 2 − 2 − 2 λ − 3 c 1 + c 2 + c 3 ( λ − 7 ) 1 1 1 − 2 λ − 3 − 2 − 2 − 2 λ − 3 . r 2 − r 1 , r 3 − r 1 ∣ λ E − A ∣ = ( λ − 7 ) 1 0 0 − 2 λ − 1 0 − 2 0 λ − 1 = ( λ − 7 ) ( λ − 1 ) 2 . ② 求根（含重数）。 令 ∣ λ E − A ∣ = 0 λ 1 = 7 λ 2 = λ 3 = 1 ③ 逐个解 ( λ E − A ) x = 0 对 λ = 1 ：作初等行变换E − A = − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 ⟶ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 , r = 1 几何重数 = 3 − 1 = 2 ，恰与二重的代数重数相等。由 x 1 + x 2 + x 3 = 0 α 1 = ( − 1 , 1 , 0 ) T , α 2 = ( − 1 , 0 , 1 ) T 对 λ = 7 ：作初等行变换7 E − A = 4 − 2 − 2 − 2 4 − 2 − 2 − 2 4 ⟶ 2 0 0 − 1 1 0 − 1 − 1 0 , r = 2 = 3 − 2 = 1 α 3 = ( 1 , 1 , 1 ) T ④ 写出结论。 特征值为 1 , 1 , 7 1 k 1 α 1 + k 2 α 2 k 1 , k 2 7 k 3 α 3 k 3 = 0 ■ 2. 特征多项式的系数是特征值的对称函数：迹与行列式两个关系式的来历★★ 必会 把特征多项式展开成 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ n + c 1 λ n − 1 + ⋯ + c n − 1 λ + c n 其中最有用的是首尾两个 ：λ n − 1 c 1 = − ( a 11 + ⋯ + a nn ) = − tr ( A ) c n = f ( 0 ) = ( − 1 ) n ∣ A ∣ f ( λ ) = ∏ i = 1 n ( λ − λ i ) ∑ λ i = tr ( A ) ∏ λ i = ∣ A ∣ =
证明 / 推导 证. 把 f ( λ ) = ∏ i = 1 n ( λ − λ i ) λ n − 1 λ − λ i − ∑ λ i ∣ λ E − A ∣ λ n − 1 ∏ i ( λ − a ii ) λ − ∑ a ii ∑ λ i = ∑ a ii = tr ( A ) λ = 0 f ( 0 ) = ∏ ( 0 − λ i ) = ( − 1 ) n ∏ λ i f ( 0 ) = ∣ − A ∣ = ( − 1 ) n ∣ A ∣ ∏ λ i = ∣ A ∣ ■ 举例说明 已知 3 A 1 , 2 , λ 3 tr ( A ) = 6 ∑ λ i = tr ( A ) 1 + 2 + λ 3 = 6 λ 3 = 3 ∏ λ i = ∣ A ∣ ∣ A ∣ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 ∣ A − 2 E ∣ A − 2 E − 1 , 0 , 1 ∣ A − 2 E ∣ = ( − 1 ) ⋅ 0 ⋅ 1 = 0 A 3. 矩阵满足某个矩阵方程时，它的特征值必是该方程对应多项式的根★★ 必会 如果题目不给出具体数字，只告诉我们 A A 2 = A A 2 = E A k = O 既不必也无法 去解特征方程。这时所依据的事实是：只要多项式 g g ( A ) = O A g ( λ ) = 0 A 2 = A ⇒ λ ∈ { 0 , 1 } A 2 = E ⇒ λ ∈ { 1 , − 1 } A k = O ⇒ λ = 0 注意 ：这里只给出了特征值的可能取值，并不保证每个值都出现，也没有给出重数；要确定重数，还须结合迹、秩等条件。
证明 / 推导 证. 设 λ A α = 0 A α = λ α g A α = λ α A m α = λ m α g ( A ) α = g ( λ ) α g ( A ) = O g ( λ ) α = 0 α = 0 g ( λ ) = 0 g ■ 举例说明 设 A A 2 − 3 A + 2 E = O A = E A = 2 E g ( λ ) = λ 2 − 3 λ + 2 = ( λ − 1 ) ( λ − 2 ) = 0 1 2 A 3 tr ( A ) = 4 s 2 3 − s 1 tr ( A ) = 2 s + ( 3 − s ) = s + 3 = 4 s = 1 2 , 1 , 1 4. 秩一矩阵 α β T β T α n − 1 ★★ 必会 秩一矩阵几乎都能写成 A = α β T α , β n 有一个非零特征值 β T α tr ( A ) n − 1 0 。其理由如下：由 r ( A ) = 1 A x = 0 n − 1 n − 1 tr ( α β T ) = β T α 1 α α T A n A 2 = ( β T α ) A
证明 / 推导 证. 一方面，A α = α β T α = ( β T α ) α β T α α β T α β T x = 0 x A x = α ( β T x ) = 0 0 β T x = 0 n − 1 0 n − 1 n β T α , 0 , … , 0 ■ 举例说明 设 α = ( 1 , 2 , 3 ) T , β = ( 1 , 1 , 1 ) T A = α β T = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 β T α = 1 + 2 + 3 = 6 6 , 0 , 0 A 2 = α ( β T α ) β T = 6 A A n = 6 n − 1 A = 6 n − 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5. 属于不同特征值的特征向量线性无关（对角化的基础）★ 要懂 属于不同特征值的特征向量线性无关，这是本章的关键结论。由它可知，若矩阵有 n n 属于不同特征值的两个特征向量相加以后不再是特征向量 ：它们张成的方向彼此独立，相加所得的向量不再能被 A
证明 / 推导 证. 设 λ 1 , … , λ m α i λ i α 1 , … , α m m m = 1 α 1 = 0 m − 1 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0. ( ∗ ) A k 1 λ 1 α 1 + ⋯ + k m λ m α m = 0 ( ∗ ) λ m α m k 1 ( λ 1 − λ m ) α 1 + ⋯ + k m − 1 ( λ m − 1 − λ m ) α m − 1 = 0. α 1 , … , α m − 1 λ i − λ m = 0 k 1 = ⋯ = k m − 1 = 0 ( ∗ ) k m α m = 0 α m = 0 k m = 0 ■ 随堂练习 先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。
练习 1 · 填空题
矩阵 A = ( 3 − 1 − 1 3 )
练习 2 · 选择题
设 A = ( 1 3 2 2 ) λ 1 , λ 2 λ 1 + λ 2 λ 1 λ 2
练习 3 · 选择题
设 3 A 1 , 2 , − 2 A − 1
A 1 , 2 1 , − 2 1 B 1 , 2 , − 2 C − 1 , − 2 1 , 2 1 D 1 , 2 1 , 2 练习 4 · 填空题
设 3 A 1 , − 2 , 3 ∣ A ∗ ∣ =
练习 5 · 选择题
已知
α = ( 1 , 1 , 1 ) T 是
A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的特征向量，则其对应的特征值为（ ）。
练习 6 · 填空题
设 A 3 A 2 = A r ( A ) = 2 ∣ A + 3 E ∣ =
练习 7 · 选择题
设 A 3 A 2 + 2 A − 3 E = O A = E A = − 3 E ∣ A ∣
A 只能是 − 3 B 只能是 9 C − 3 9 D 1 − 27 练习 8 · 解答题
设 A 3 α 1 , α 2 , α 3 3 A α 1 = α 1 + α 2 , A α 2 = α 2 + α 3 , A α 3 = α 3 . A A
2018 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分
设 2 A α 1 , α 2 A A 2 ( α 1 + α 2 ) = α 1 + α 2 ∣ A ∣ =
2017 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分
设 α n E n
A E − α α T B E + α α T C E + 2 α α T D E − 2 α α T