矩阵的对角化

§13.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.46 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

3.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）特征值与特征向量的概念与计算相似矩阵向量组的线性相关性③ 掌握后可解锁实对称矩阵的正交对角化

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 可对角化的定义与基本定理： $P^{- 1} A P = Λ ⟺ A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量★★ 必会

设

A

为

n

阶方阵。如果存在可逆矩阵

P

使

P^{- 1} A P = Λ

为对角阵，那么称

A

可对角化，即

A

相似于对角阵。

① 基本定理：

A

可对角化

⟺ A

有 $n$ 个线性无关的特征向量

ξ_{1}, \dots, ξ_{n}

。

② 构造与同序规则：此时

P = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})

，特征向量按列排入，

Λ = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

，且第

i

个对角元必须恰是第

i

列

ξ_{i}

所属的特征值，即列与对角元同序；如果调换

P

的两列，那么

Λ

中相应的对角元也必须同时调换。

③ 两个常用的充分条件：

n

个特征值互不相同

\Rightarrow

可对角化，这个条件充分而不必要；实对称矩阵必可对角化，且

P

可取为正交矩阵。至于一般矩阵是否可对角化，须逐个重根检查几何重数，见下一条。

证明 / 推导

证. 一切都来自把矩阵等式按列来读。设

P = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})

，则

A P P Λ = (A ξ_{1}, \dots, A ξ_{n}) = (λ_{1} ξ_{1}, \dots, λ_{n} ξ_{n})

故

A P = P Λ ⟺ A ξ_{i} = λ_{i} ξ_{i} (i = 1, \dots, n)

，即

P

的每一列都是特征向量，且对应于

Λ

中同一位置的对角元。

（ $\Leftarrow$ ） 若有

n

个线性无关的特征向量，把它们按列拼成

P

，则

P

可逆且

A P = P Λ

，左乘

P^{- 1}

即得

P^{- 1} A P = Λ

。（ $\Rightarrow$ ） 若

P^{- 1} A P = Λ

，则

A P = P Λ

，故

P

的

n

个列都是

A

的特征向量，而

P

可逆保证了它们线性无关。

■

举例说明

（2016 年数一） 已知

A = 020 - 1 - 3 0 100

，求

A^{99}

。

解. 由

∣ λ E - A ∣ = λ (λ + 1) (λ + 2)

得特征值

- 1, - 2, 0

，它们互不相同，故

A

可对角化。相应的特征向量依次为

ξ_{1} = (1, 1, 0)^{T}

（

λ = - 1

），

ξ_{2} = (1, 2, 0)^{T}

（

λ = - 2

），

ξ_{3} = (3, 2, 2)^{T}

（

λ = 0

）。按列拼成

P = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})

，并同序取

Λ = diag (- 1, - 2, 0)

，则

P^{- 1} A P = Λ

，于是

A^{99} = P Λ^{99} P^{- 1} = P diag ((- 1)^{99}, (- 2)^{99}, 0) P^{- 1} = 2^{99} - 2 2^{100} - 2 0 1 - 2^{99} 1 - 2^{100} 0 2 - 2^{98} 2 - 2^{99} 0 .

验算：

A ξ_{1} = (- 1, - 1, 0)^{T} = - ξ_{1}

。必须注意，如果把

P

写成

(ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{3})

而

Λ

不作相应的换序，等式立刻失效，列与对角元同序是不可违反的规则。

2. 可对角化的判别：几何重数 $n - r (λ_{0} E - A)$ 是否等于代数重数★★ 必会

判定可对角化，具体地说就是：每个特征值 $λ_{i}$ 的几何重数 $n - r (λ_{i} E - A)$ 都要等于它的代数重数 $k_{i}$ 。对单根

k_{i} = 1

，几何重数至少为

1

、至多为

1

，条件自动满足，所以只需检查重根。对一个

k

重特征值

λ_{0}

，算出

r (λ_{0} E - A)

：若

= n - k

，则这个重根配足了线性无关的特征向量；否则

A

不可对角化。

证明 / 推导

证. 几何重数是特征子空间

{x : (λ_{0} E - A) x = 0}

的维数，即齐次线性方程组

(λ_{0} E - A) x = 0

的解空间的维数。根据秩–零化度定理，它等于

n - r (λ_{0} E - A)

。又已知几何重数

\leq

代数重数，且只有当所有几何重数之和达到

n

时才能凑出

n

个线性无关的特征向量，故

A 可对角化 ⟺ \forall i, n - r (λ_{i} E - A) = k_{i} . ■

举例说明

A = 100110002

的特征值为

1, 1, 2

，其中

λ = 1

是二重根。检查重根

λ = 1

：

E - A = 000 - 1 00 00 - 1

，秩为

2

，几何重数

= 3 - 2 = 1 < 2 =

代数重数，故

A

不可对角化。由此可见，有重根本身并不妨碍对角化，只有当重根配不足特征向量时才不可对角化。

3. 含参数的可对角化问题：由 $r (λ_{0} E - A) = n - k$ 定出参数★★ 必会

含参数的可对角化问题有固定的解法：先求特征值，参数往往只影响某一个特征值，或者根本不进入特征值；再确定重根

λ_{0}

及其重数

k

；最后令

r (λ_{0} E - A) = n - k

解出参数。其实质是要求重根的几何重数等于代数重数。这类题目几乎年年出现，应当把由秩定参数这一步练熟。

举例说明

设

A = 100 a 10 002

，问

a

为何值时

A

可对角化。特征值为

1, 1, 2

，只需重根

λ = 1

配足特征向量：

E - A = 000 - a 00 00 - 1

。当

a \neq = 0

时秩为

2

，几何重数

3 - 2 = 1 < 2

，故不可对角化；当

a = 0

时秩为

1

，几何重数

3 - 1 = 2 =

代数重数，故可对角化。因此

a = 0

。

4. 无重根的多项式使矩阵零化 $\Rightarrow$ 必可对角化（ $A^{2} = A$ 、 $A^{2} = E$ 都无条件可对角化）★ 要懂

有一个比逐个数特征向量更简便的充分条件：如果存在无重根的多项式 $g$ 使 $g (A) = O$ ，那么 $A$ 必可对角化。最常用的例子是

A^{2} = A

（相应的多项式为

x^{2} - x

，它有两个不同的根

0, 1

）与

A^{2} = E

（相应的多项式为

x^{2} - 1

，根为

\pm 1

）。它们无论重数如何都可对角化。其道理在于：无重根的零化多项式把空间干净地分解成各特征子空间的直和，不会出现几何重数小于代数重数的情形。

证明 / 推导

证. 以

A^{2} = A

为例直接构造对角化。对任意

x \in R^{n}

，写

x = A x + (x - A x)

。第一部分

A x

满足

A (A x) = A^{2} x = A x

，即

A x \in ker (A - E)

，属于特征值

1

；第二部分满足

A (x - A x) = A x - A^{2} x = 0

，即

x - A x \in ker A

，属于特征值

0

。于是

R^{n} = ker (A - E) + ker A

，把这两个特征子空间的基合起来，即得

n

个线性无关的特征向量，故

A

可对角化。一般的无重根情形同理，只须把

R^{n}

按各个根分解成特征子空间的直和。

■

举例说明

设

n

阶矩阵

A

满足

A^{2} = E

，即为对合矩阵。由上述判据知

A

可对角化，其特征值只能是

\pm 1

，故

A \sim (E_{p} - E_{n - p})

，其中

p

是特征值

1

的重数。又

tr (A) = p - (n - p) = 2 p - n

，因此只要知道

tr (A)

，就能定出

p = \frac{n + tr ( A )}{2}

，从而写出相似标准形。

5. 反问题：由特征值与特征向量重构 $A$ ，及 $A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}$ 求幂★★ 必会

对角化的反问题也是常见的题型：已知

A

的特征值与特征向量，用

A = P Λ P^{- 1}

反求

A

或它的函数；若已知

A = P Λ P^{- 1}

，则

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

、

f (A) = P f (Λ) P^{- 1}

。必须注意两点：列与对角元同序；求幂的公式是

P Λ^{k} P^{- 1}

，而不是

P^{- 1} Λ^{k} P

。

证明 / 推导

证（求幂公式与反问题解的唯一性）. 先证

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

，用数学归纳法。当

k = 1

时，它就是假设

A = P Λ P^{- 1}

本身。设

A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}

成立，则

A^{k + 1} = A^{k} A = (P Λ^{k} P^{- 1}) (P Λ P^{- 1}) = P Λ^{k} (P^{- 1} P) Λ P^{- 1} = P Λ^{k} Λ P^{- 1} = P Λ^{k + 1} P^{- 1} .

由归纳法原理，公式对一切正整数

k

成立。可以看出，相邻的

P^{- 1}

与

P

逐次相消，这就是它便于计算的原因。又因

Λ

为对角阵，故

Λ^{k} = diag (λ_{1}^{k}, \dots, λ_{n}^{k})

，只须把各对角元分别乘方。对多项式

f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}

，把每一项按上式代换，其中常数项写成

a_{0} E = a_{0} P E P^{- 1}

。再提出公因子

P

与

P^{- 1}

，即得

f (A) = P f (Λ) P^{- 1}

。

再证反问题的解是唯一的。设

ξ_{1}, \dots, ξ_{n}

线性无关，矩阵

A

与

B

都满足

A ξ_{i} = λ_{i} ξ_{i}, B ξ_{i} = λ_{i} ξ_{i} (i = 1, \dots, n) .

令

P = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})

。两式相减，得

(A - B) ξ_{i} = 0

对每个

i

成立，按列合起来即

(A - B) P = O

。因为

ξ_{1}, \dots, ξ_{n}

线性无关，所以

P

可逆。上式两边右乘

P^{- 1}

，得

A - B = O

，即

A = B

。这就证明了：给定

n

个线性无关的特征向量及其对应的特征值以后，

A

被完全确定。因此按

A = P Λ P^{- 1}

算出的就是唯一的答案。

■

由这个证明还可以看清两件事。如果所给的特征向量不足

n

个，或者它们线性相关，那么

P

不可逆，

A

也就不被唯一确定。又由

P^{- 1} A P = Λ

解出

A

时，须在两边左乘

P

、右乘

P^{- 1}

，才得

A = P Λ P^{- 1}

。若写成

P^{- 1} Λ P

，那相当于把

P

换成了

P^{- 1}

，得到的是另一个矩阵。

举例说明

设

3

阶矩阵

A

有特征值

1, - 1, 0

，对应的特征向量为

ξ_{1} = (1, 0, 1)^{T}, ξ_{2} = (1, 0, - 1)^{T}, ξ_{3} = (0, 1, 0)^{T}

，求

A

。令

P = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) = 101 10 - 1 010

，

Λ = diag (1, - 1, 0)

，算得

P^{- 1} = \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 001 \frac{1}{2} - \frac{1}{2} 0

。于是

A = P Λ P^{- 1} = 101 10 - 1 010 100 0 - 1 0 000 P^{- 1} = 001000100 .

容易验证

A ξ_{1} = ξ_{1}, A ξ_{2} = - ξ_{2}, A ξ_{3} = 0

，与所给条件相符。

💡 小知识

对角化相当于给矩阵换一副合身的坐标眼镜：换上之后，原本相互纠缠的线性变换就散成了几条互不干扰的伸缩轴。主成分分析、量子力学里的能级、搜索引擎给网页排名，背后做的都是同一件事，即把一个大矩阵对角化。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断

A = (3113)

是否可对角化；若可，求可逆矩阵

P

与对角矩阵

Λ

，使

P^{- 1} A P = Λ

。难度 1

第一步：求特征值。

∣ λ E - A ∣ = (λ - 3)^{2} - 1 = (λ - 2) (λ - 4)

，特征值

λ_{1} = 4, λ_{2} = 2

互不相同。

2

阶矩阵有

2

个不同特征值，必可对角化。

第二步：求特征向量。

-

λ_{1} = 4

：

(4 E - A) = (1 - 1 - 1 1) \to x_{1} = x_{2}

，取

ξ_{1} = (1, 1)^{T}

；
-

λ_{2} = 2

：

(2 E - A) = (- 1 - 1 - 1 - 1) \to x_{1} = - x_{2}

，取

ξ_{2} = (1, - 1)^{T}

。

第三步：拼装（列与对角元同序）。

P = (11 1 - 1), Λ = (4002), P^{- 1} A P = Λ.

例 2 判断

A = 110110002

是否可对角化；若可，求

P

与

Λ

。难度 2

第一步：求特征值。 左上块

(1111)

的特征值为

2, 0

，加上第三个对角块的

2

，故

A

的特征值为

2, 2, 0

。

第二步：检验重根 $λ = 2$ 的几何重数。 解

(2 E - A) x = 0

：

2 E - A = 1 - 1 0 - 1 10 000 \to 100 - 1 00 000,

秩为

1

，几何重数

= 3 - 1 = 2 =

代数重数，故

A

可对角化。基础解系（

x_{1} = x_{2}

，

x_{3}

自由）：

ξ_{1} = (1, 1, 0)^{T}, ξ_{2} = (0, 0, 1)^{T}

。

第三步：求 $λ = 0$ 的特征向量。 解

(- A) x = 0

，即

x_{1} + x_{2} = 0, x_{3} = 0

，取

ξ_{3} = (1, - 1, 0)^{T}

。

第四步：拼装。

P = 110001 1 - 1 0, Λ = 200020000, P^{- 1} A P = Λ.

可算得

∣ P ∣ = 2 \neq = 0

，

P

可逆，验证无误。

例 3 设

A = 2 a 3 021001

，问

a

取何值时

A

可对角化？难度 2

第一步：求特征值。

A

为下三角阵，特征值即对角元

2, 2, 1

。

单根

λ = 1

自动提供

1

个线性无关特征向量，无需担心。关键看二重根

λ = 2

能否提供

2

个，即要求几何重数

= 2

，等价于

r (2 E - A) = 3 - 2 = 1

。

第二步：分析 $2 E - A$ 的秩。

2 E - A = 0 - a - 3 00 - 1 001 .

- 若

a \neq = 0

：行

(- a, 0, 0)

与

(- 3, - 1, 1)

线性无关，

r (2 E - A) = 2

，几何重数

= 1 < 2

，不可对角化；
- 若

a = 0

：只剩一行

(- 3, - 1, 1)

非零，

r (2 E - A) = 1

，几何重数

= 2 =

代数重数，可对角化。

结论： 当且仅当

a = 0

时

A

可对角化。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

已知数列

{x_{n}}, {y_{n}}, {z_{n}}

满足

x_{0} = - 1, y_{0} = 0, z_{0} = 2

，且

⎩ ⎨ ⎧ x_{n} = - 2 x_{n - 1} + 2 z_{n - 1}, y_{n} = - 2 y_{n - 1} - 2 z_{n - 1}, z_{n} = - 6 x_{n - 1} - 3 y_{n - 1} + 3 z_{n - 1},

记

α_{n} = x_{n} y_{n} z_{n}

，写出满足

α_{n} = A α_{n - 1}

的矩阵

A

，并求

A^{n}

及

x_{n}, y_{n}, z_{n} (n = 1, 2, \dots)

。

2023 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（　　）

A $100120 a 23$ .
B $11 a 120 a 03$ .
C $100120 a 02$ .
D $100120 a 22$ .

2022 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

下述四个条件中，

3

阶矩阵

A

可对角化的一个充分但不必要条件是（　　）

A $A$ 有 $3$ 个互不相等的特征值.
B $A$ 有 $3$ 个线性无关的特征向量.
C $A$ 有 $3$ 个两两线性无关的特征向量.
D $A$ 的属于不同特征值的特征向量正交.

2020 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

设

A

为 2 阶矩阵，

P = (α, A α)

，其中

α

是非零向量且不是

A

的特征向量.
（Ⅰ）证明

P

为可逆矩阵；
（Ⅱ）若

A^{2} α + A α - 6 α = 0

，求

P^{- 1} A P

，并判断

A

是否相似于对角矩阵.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

下列矩阵中，不可对角化的是（　）。

A $(1002)$
B $(0110)$
C $(2012)$
D $(1221)$

练习 2 · 选择题

设

3

阶矩阵

A

的特征值全为

2

，且

A \neq = 2 E

，则

A

（　）。

A可对角化
B不可对角化
C不可逆
D是对角矩阵

练习 3 · 填空题

设

2

阶矩阵

A

可对角化，其特征值为

1

与

- 1

，对应特征向量分别为

(1, 1)^{T}

与

(1, - 1)^{T}

，则

A^{2024} =

____。

练习 4 · 选择题

设

3

阶矩阵

A

的特征值为

1, 1, 2

，则

A

可对角化的充要条件是（　）。

A $r (A - E) = 1$
B $r (A - E) = 2$
C $r (A - 2 E) = 1$
D $∣ A ∣ = 2$

练习 5 · 选择题

下列矩阵中不可对角化的是（　　）。

A $(0110)$
B $100020003$
C $210020003$
D $(1012)$

练习 6 · 填空题

设

3

阶矩阵

A

的特征值为

1, 1, 2

，且

A

可对角化，则

r (A - E) =

____。

练习 7 · 解答题

设

A = 001010100

。
（1）求

A

的全部特征值与特征向量；
（2）求可逆矩阵

P

及对角阵

Λ

，使

P^{- 1} A P = Λ

；
（3）求

A^{10}

。

2019 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

已知矩阵

A = - 2 20 - 2 x 0 1 - 2 - 2

与

B = 200 1 - 1 0 00 y

相似。

（Ⅰ）求

x, y

；

（Ⅱ）求可逆矩阵

P

使得

P^{- 1} A P = B

。

2017 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

已知矩阵

A = 200020011

，

B = 200120001

，

C = 100020002

，则（　　）

A $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似.
B $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似.
C $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 相似.
D $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似.

矩阵的对角化

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 可对角化的定义与基本定理：P−1AP=Λ⟺A 有 n 个线性无关的特征向量★★ 必会

2. 可对角化的判别：几何重数 n−r(λ0​E−A) 是否等于代数重数★★ 必会

3. 含参数的可对角化问题：由 r(λ0​E−A)=n−k 定出参数★★ 必会

4. 无重根的多项式使矩阵零化 ⇒ 必可对角化（A2=A、A2=E 都无条件可对角化）★ 要懂

5. 反问题：由特征值与特征向量重构 A，及 Ak=PΛkP−1 求幂★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 可对角化的定义与基本定理： $P^{- 1} A P = Λ ⟺ A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量★★ 必会

2. 可对角化的判别：几何重数 $n - r (λ_{0} E - A)$ 是否等于代数重数★★ 必会

3. 含参数的可对角化问题：由 $r (λ_{0} E - A) = n - k$ 定出参数★★ 必会

4. 无重根的多项式使矩阵零化 $\Rightarrow$ 必可对角化（ $A^{2} = A$ 、 $A^{2} = E$ 都无条件可对角化）★ 要懂

5. 反问题：由特征值与特征向量重构 $A$ ，及 $A^{k} = P Λ^{k} P^{- 1}$ 求幂★★ 必会