相似矩阵

§13.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.37 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

3.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）特征值与特征向量的概念与计算逆矩阵③ 掌握后可解锁矩阵的对角化

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 相似的定义： $P^{- 1} A P = B$ （等价关系），及相似不变量定理（同特征多项式、迹、行列式、秩）★★ 必会

设

A, B

为

n

阶方阵。如果存在可逆矩阵

P

使

P^{- 1} A P = B,

那么称

A

与

B

相似，记作

A \sim B

；

P

称为相似变换矩阵。

① 相似是等价关系：反身

E^{- 1} A E = A

；对称

B = P^{- 1} A P \Rightarrow A = (P^{- 1})^{- 1} B P^{- 1}

；传递

B = P^{- 1} A P, C = Q^{- 1} B Q \Rightarrow C = (P Q)^{- 1} A (P Q)

。因此相似关系把全体

n

阶方阵分成一个个相似类，同一类中的矩阵可以互相传递、互相代换。

② 相似不变量定理：若

A \sim B

，则

A, B

有相同的特征多项式

∣ λ E - A ∣ = ∣ λ E - B ∣

，从而特征值（连同重数）相同，进而

tr (A) = tr (B)

（迹等于特征值之和）、

∣ A ∣ = ∣ B ∣

（行列式等于特征值之积）；又左乘、右乘可逆矩阵都不改变秩，故

r (A) = r (B)

。

③ 注意条件的方向：以上都是必要条件，只要有一条不成立，就可以断定两矩阵不相似；反之，特征多项式相同也未必相似，反例见后文条目。要肯定两矩阵相似，一般应走对角化这条正路，见下一条。

证明 / 推导

证. 设

B = P^{- 1} A P

。这里的关键是恒等式

λ E - B = P^{- 1} (λ E) P - P^{- 1} A P = P^{- 1} (λ E - A) P .

两边取行列式，并注意

∣ P^{- 1} ∣ ∣ P ∣ = 1

，得

∣ λ E - B ∣ = ∣ P^{- 1} ∣ ∣ λ E - A ∣ ∣ P ∣ = ∣ λ E - A ∣,

故两者的特征多项式相同，特征值（连同重数）也相同。迹与行列式分别是特征值的和与积，从而也相同；行列式还可以直接由

∣ B ∣ = ∣ P^{- 1} ∣ ∣ A ∣ ∣ P ∣ = ∣ A ∣

得到。最后看秩：

P^{- 1}, P

都可逆，而乘以可逆矩阵不改变秩，故

r (B) = r (A)

。

■

举例说明

（2008 年数一） 设

A

为

2

阶矩阵，

α_{1}, α_{2}

为线性无关的

2

维列向量，

A α_{1} = 0

，

A α_{2} = 2 α_{1} + α_{2}

，求

A

的非零特征值。

解. 按定义构造相似关系。令

P = (α_{1}, α_{2})

，因

α_{1}, α_{2}

线性无关，故

P

可逆。由

A P = (A α_{1}, A α_{2}) = (0, 2 α_{1} + α_{2}) = P (0021)

得

P^{- 1} A P = (0021) = B

，即

A \sim B

。根据相似不变量定理，

A

与

B

的特征值相同。由

∣ λ E - B ∣ = λ (λ - 1)

知特征值为

0, 1

，故

A

的非零特征值为

1

。

2. 相似的判定：不变量只能用于否定，肯定要靠化到同一个 $Λ$ ★★ 必会

相似的必要条件，即特征值相同、迹相同、行列式相同、秩相同，只能用来否定：只要有一条不成立，就可断定两矩阵不相似。要肯定两个矩阵相似，最常用的方法是证明它们都可对角化且有相同的特征值（连同重数）。事实上，此时二者都相似于同一个对角阵

Λ

，由传递性即知它们彼此相似。因此判断两个矩阵是否相似时，往往先分别对角化，再比较所得的

Λ

。

证明 / 推导

证. 设

A, B

都可对角化且特征值相同，则存在可逆矩阵

P, Q

使

P^{- 1} A P = Λ = Q^{- 1} B Q

，这里的

Λ

是同一个对角阵，只需把对角元排成同一次序。于是

A = P Λ P^{- 1}

，

Λ = Q^{- 1} B Q

，代入得

A = P (Q^{- 1} B Q) P^{- 1} = (Q P^{- 1})^{- 1} B (Q P^{- 1})

。令

C = Q P^{- 1}

，它可逆，则

C^{- 1} B C = A

，即

A \sim B

。

■

举例说明

判断

A = (1221)

与

B = (30 0 - 1)

是否相似。

A

的特征值由

∣ λ E - A ∣ = (λ - 1)^{2} - 4 = (λ - 3) (λ + 1)

求得，为

3, - 1

；

B

本身是对角阵，特征值为

3, - 1

。两者特征值相同，且都可对角化（

A

有两个互异的特征值，必可对角化），故

A \sim B

。

3. 更精细的必要条件 $r (λ_{0} E - A) = r (λ_{0} E - B)$ ：用于特征值完全相同的情形★★ 必会

迹、行列式、秩都是把特征值的信息揉在一起的粗略不变量，遇到特征值完全相同的两个矩阵就无法分辨。这时应当使用更精细的必要条件：

A \sim B \Rightarrow r (λ_{0} E - A) = r (λ_{0} E - B)

对一切

λ_{0}

成立。由它可以读出每个特征值的几何重数，从而判别矩阵是否可对角化。一个常用的推论是：对

k

重特征值

λ_{0}

，

A

可对角化

⟺ r (λ_{0} E - A) = n - k

。

证明 / 推导

证. 设

B = P^{- 1} A P

，其中

P

可逆。则

λ_{0} E - B = λ_{0} E - P^{- 1} A P = P^{- 1} (λ_{0} E) P - P^{- 1} A P = P^{- 1} (λ_{0} E - A) P .

左乘、右乘可逆矩阵都不改变秩，故

r (λ_{0} E - B) = r (λ_{0} E - A)

。

■

举例说明

E = (1001)

与

J = (1011)

的特征值都是

1, 1

，迹、行列式、秩也全都相等。取

λ_{0} = 1

，则

r (E - E) = r (0000) = 0

，而

r (E - J) = r (00 - 1 0) = 1

，两者不等，故

E

与

J

不相似。这就说明了特征值完全相同却不相似的原因：

J

的几何重数小于代数重数，不可对角化。

4. 相似关系对多项式运算封闭： $f (A) \sim f (B)$ ，所用的仍是同一个 $P$

相似关系对多项式运算完全封闭，而且所用的是同一个

P

：

A \sim B

（

B = P^{- 1} A P

）

\Rightarrow A^{k} \sim B^{k}

、

f (A) \sim f (B)

（

f

为任意多项式）；当

A

可逆时还有

A^{- 1} \sim B^{- 1}

、

A^{*} \sim B^{*}

。因此不易计算的

f (A)

可以先搬到较简单的

B

（通常取对角阵）上去算，再搬回来；这一结论也常用来判断

A^{2} - A

一类矩阵的秩与特征值。

证明 / 推导

证. 由

B = P^{- 1} A P

反复相乘得

B^{2} = P^{- 1} A P \cdot P^{- 1} A P = P^{- 1} A^{2} P

，归纳可得

B^{k} = P^{- 1} A^{k} P

。于是对

f (x) = \sum_{k} a_{k} x^{k}

有

f (B) = k \sum a_{k} B^{k} = k \sum a_{k} P^{- 1} A^{k} P = P^{- 1} (k \sum a_{k} A^{k}) P = P^{- 1} f (A) P,

即

f (A) \sim f (B)

，相似变换矩阵仍是

P

。特别地，取

B = Λ

，则

f (A) = P f (Λ) P^{- 1}

，而

f (Λ) = diag (f (λ_{1}), \dots, f (λ_{n}))

，这就是用对角化计算矩阵多项式的依据。

■

5. $A B$ 与 $B A$ 有相同的非零特征值；当其中一个可逆时二者相似★ 要懂

设

A, B

为两个方阵。乘积

A B

与

B A

一般并不相等，但它们有相同的非零特征值，从而

tr (A B) = tr (B A)

、

∣ A B ∣ = ∣ B A ∣

恒成立。更强的结论是：只要 $A$ 或 $B$ 可逆，就有 $A B \sim B A$ 。这一结论在计算

tr (A B)

、判断

A B

与

B A

的关系以及处理秩一分解时都很有用。

证明 / 推导

证. 如果

A

可逆，那么

A^{- 1} (A B) A = (A^{- 1} A) B A = B A

，故

A B \sim B A

，相似变换矩阵为

A

；

B

可逆时同理，用

B

即可。至于一般情形，

A B

与

B A

仍有相同的非零特征值。事实上，设

A B x = λ x

、

λ \neq = 0

，令

y = B x

，则

y \neq = 0

（否则将有

λ x = A B x = A y = 0

，与

λ \neq = 0, x \neq = 0

矛盾），且

B A y = B (A B x) = λ B x = λ y

，可见

λ

也是

B A

的特征值。由对称性，反之亦然。

■

举例说明

取列向量

α = (1, 2, 3)^{T}

、

β = (1, 1, 1)^{T}

。把

A = α

（

3 \times 1

）、

B = β^{T}

（

1 \times 3

）看作矩阵，则

A B = α β^{T}

是

3

阶矩阵，而

B A = β^{T} α = 6

是

1

阶矩阵。

B A

的唯一特征值

6

恰是

A B

的非零特征值，

A B

余下的两个特征值为

0

，这与秩一矩阵

α β^{T}

的特征值为

β^{T} α, 0, 0

相吻合，也印证了

tr (A B) = tr (B A) = 6

。

💡 小知识

判断两个矩阵是否相似，最终要看若尔当标准形：任何复方阵都相似于一个由若尔当块拼成的矩阵，若不计各块的排列次序，这个拼法是唯一的。考研只取其中最漂亮的一种特例，也就是恰好能拼成纯对角块的那一类，即可对角化的矩阵。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

A = (2003)

，

P = (1011)

，求

B = P^{- 1} A P

，并验证

A

与

B

有相同的迹、行列式与特征值。难度 1

第一步：求 $P^{- 1}$ 。

∣ P ∣ = 1

，

P^{- 1} = (10 - 1 1)

。

第二步：按 $B = P^{- 1} A P$ 逐步相乘。

A P = (2003) (1011) = (2023),

B = P^{- 1} (A P) = (10 - 1 1) (2023) = (20 - 1 3) .

第三步：验证不变量。

- 迹：

tr (B) = 2 + 3 = 5 = tr (A)

；
- 行列式：

∣ B ∣ = 2 \times 3 - 0 = 6 = ∣ A ∣

；
- 特征值：

B

为上三角阵，特征值即对角元

2, 3

，与

A

的特征值

2, 3

相同。

这正体现了「相似矩阵的迹、行列式、特征值都相同」。

例 2 设

A = 100 02 a 0 a 2

与

B = 100010003

相似，求

a

。难度 2

利用相似的必要条件——迹与行列式相等——列方程。

迹相等：

tr (A) = 1 + 2 + 2 = 5

，

tr (B) = 1 + 1 + 3 = 5

，恒成立（不含

a

，提供不了信息）。

行列式相等：

∣ A ∣ = 1 \times 2 a a 2 = 1 \times (4 - a^{2}) = 4 - a^{2}

，

∣ B ∣ = 1 \times 1 \times 3 = 3

，于是

4 - a^{2} = 3 \Rightarrow a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1.

验证（因不变量相等只是必要条件）： 右下块

(2 a a 2)

的特征值为

2 \pm a

。当

∣ a ∣ = 1

时为

1, 3

，加上左上的

1

，

A

的特征值为

{1, 1, 3}

，与

B

完全相同；且两者都是实对称/对角，可对角化，确实相似。

故

a = \pm 1

。

例 3 设

3

阶矩阵

A

与对角矩阵

Λ = 100020 00 - 1

相似，求

tr (A)

、

∣ A ∣

、

r (A)

及

∣ A - 3 E ∣

。难度 2

相似矩阵的迹、行列式、秩相同，且特征值相同。

A

的特征值就是

Λ

的对角元

1, 2, - 1

。

-

tr (A) = 1 + 2 + (- 1) = 2

；
-

∣ A ∣ = 1 \times 2 \times (- 1) = - 2

；
-

r (A)

：三个特征值全非零，

A

可逆，

r (A) = 3

。

求 $∣ A - 3 E ∣$ 。 由

A \sim Λ

（即

A = P Λ P^{- 1}

）可推出

A - 3 E = P (Λ - 3 E) P^{- 1}

，即

A - 3 E \sim Λ - 3 E

，故行列式相等：

∣ A - 3 E ∣ = ∣Λ - 3 E ∣ = (1 - 3) (2 - 3) (- 1 - 3) = (- 2) (- 1) (- 4) = - 8.

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设

A

是秩为

2

的

3

阶矩阵，

α

是满足

A α = 0

的非零向量。若对满足

β^{T} α = 0

的

3

维列向量

β

，均有

A β = β

，则（　　）

A $A^{3}$ 的迹为 $2$ .
B $A^{3}$ 的迹为 $5$ .
C $A^{2}$ 的迹为 $8$ .
D $A^{2}$ 的迹为 $9$ .

2022 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

下述四个条件中，

3

阶矩阵

A

可对角化的一个充分但不必要条件是（　　）

A $A$ 有 $3$ 个互不相等的特征值.
B $A$ 有 $3$ 个线性无关的特征向量.
C $A$ 有 $3$ 个两两线性无关的特征向量.
D $A$ 的属于不同特征值的特征向量正交.

2020 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

设

A

为 2 阶矩阵，

P = (α, A α)

，其中

α

是非零向量且不是

A

的特征向量.
（Ⅰ）证明

P

为可逆矩阵；
（Ⅱ）若

A^{2} α + A α - 6 α = 0

，求

P^{- 1} A P

，并判断

A

是否相似于对角矩阵.

2019 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

已知矩阵

A = - 2 20 - 2 x 0 1 - 2 - 2

与

B = 200 1 - 1 0 00 y

相似。

（Ⅰ）求

x, y

；

（Ⅱ）求可逆矩阵

P

使得

P^{- 1} A P = B

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

n

阶矩阵

A

与

B

相似，则下列结论中不一定成立的是（　）。

A $A$ 与 $B$ 有相同的特征值
B $tr (A) = tr (B)$
C $r (A) = r (B)$
D $A$ 与 $B$ 有相同的特征向量

练习 2 · 填空题

设

A = (3212)

与

B

相似，则

∣ B ∣ =

____。

练习 3 · 选择题

设

3

阶矩阵

A

与

diag (1, 2, - 1)

相似，则

∣ A ∣ =

（　）。

A $- 2$
B $2$
C $0$
D $- 3$

练习 4 · 选择题

下列矩阵中，与

(1002)

相似的是（　）。

A $(0 - 2 13)$
B $(1003)$
C $(2002)$
D $(3000)$

练习 5 · 选择题

设

A = (1011)

，

B = (1001)

。下列说法正确的是（　　）。

A $A$ 与 $B$ 相似，因为它们的特征值相同
B $A$ 与 $B$ 不相似
C $A$ 与 $B$ 相似，因为 $tr A = tr B$ 且 $∣ A ∣ = ∣ B ∣$
D无法判断

练习 6 · 填空题

设

A \sim B

（

A

与

B

相似），

A = 200030 00 x

，

B = 100020 00 y

，则

x =

____，

y =

____。

练习 7 · 解答题

设

A = (1023)

，

B = (3001)

。
（1）判断

A

与

B

是否相似，并说明理由；
（2）若相似，求出可逆矩阵

P

，使

P^{- 1} A P = B

。

2018 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

下列矩阵中，与矩阵

100110011

相似的为（　　）

A $100110 - 1 11$
B $100010 - 1 11$
C $100110 - 1 01$
D $100010 - 1 01$

2017 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

已知矩阵

A = 200020011

，

B = 200120001

，

C = 100020002

，则（　　）

A $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似.
B $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似.
C $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 相似.
D $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似.

相似矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 相似的定义：P−1AP=B（等价关系），及相似不变量定理（同特征多项式、迹、行列式、秩）★★ 必会

2. 相似的判定：不变量只能用于否定，肯定要靠化到同一个 Λ★★ 必会

3. 更精细的必要条件 r(λ0​E−A)=r(λ0​E−B)：用于特征值完全相同的情形★★ 必会

4. 相似关系对多项式运算封闭：f(A)∼f(B)，所用的仍是同一个 P

5. AB 与 BA 有相同的非零特征值；当其中一个可逆时二者相似★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 相似的定义： $P^{- 1} A P = B$ （等价关系），及相似不变量定理（同特征多项式、迹、行列式、秩）★★ 必会

2. 相似的判定：不变量只能用于否定，肯定要靠化到同一个 $Λ$ ★★ 必会

3. 更精细的必要条件 $r (λ_{0} E - A) = r (λ_{0} E - B)$ ：用于特征值完全相同的情形★★ 必会

4. 相似关系对多项式运算封闭： $f (A) \sim f (B)$ ，所用的仍是同一个 $P$

5. $A B$ 与 $B A$ 有相同的非零特征值；当其中一个可逆时二者相似★ 要懂