逆矩阵

§10.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.75 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

2.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算行列式的概念与性质③ 掌握后可解锁伴随矩阵相似矩阵

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 单边逆定理：同阶方阵只要 $A B = E$ ，就自动 $B A = E$ ★ 要懂

按定义验证

B

是否为

A

的逆矩阵，要求

A B = B A = E

两式都成立。但有一条定理可以省去一半的工作：对同阶方阵，只需验证其中一式

A B = E

，另一式

B A = E

便自动成立，于是

B = A^{- 1}

。这一点在证明题中经常用到：只要凑出

A M = E

，就可以断言

A

可逆且

A^{- 1} = M

，不必再验证

M A = E

。但必须注意，前提是两个矩阵都是同阶方阵；对于非方阵，由

A B = E_{m}

决不能推出

B A = E_{n}

，长方形矩阵可以有单边逆而没有双边逆。

证明 / 推导

证设

A, B

均为

n

阶方阵，且

A B = E

。两端取行列式，得

∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ E ∣ = 1

，故

∣ A ∣ \neq = 0

，即

A

可逆，

A^{- 1}

存在。于是

B = E B = (A^{- 1} A) B = A^{- 1} (A B) = A^{- 1} E = A^{- 1} .

既然

B = A^{- 1}

，那么

B A = A^{- 1} A = E

。证毕。

反例. 对非方阵这一结论不成立。取

A = (100100)

，

B = 100010

，则

A B = E_{2}

，但

B A = 100010000 \neq = E_{3}

。可见上面取行列式这一步只有对方阵才行得通。

2. 幂零矩阵的等比级数： $A^{m} = O$ 时 $E - A$ 必可逆，逆是有限和

在数的运算中有

\frac{1}{1 - a} = 1 + a + a^{2} + \dots

，其中

∣ a ∣ < 1

。矩阵中有一个更为简洁的类比：如果

A

是幂零矩阵，即

A^{m} = O

，那么

E - A

一定可逆，且

(E - A)^{- 1} = E + A + A^{2} + \dots + A^{m - 1},

右端是一个有限和，因为

A^{m}

及更高次幂全为零，所以不必考虑收敛性。这条结论把证明

E - A

可逆与求出它的逆一并解决，是处理抽象逆矩阵问题时除凑因式以外的又一有效工具。与此相类似，

E + A

在同样条件下有

(E + A)^{- 1} = E - A + A^{2} - \dots \pm A^{m - 1}

。

证明 / 推导

证利用下面的因式分解恒等式，它对矩阵成立，因为

E

与

A

可交换：

(E - A) (E + A + A^{2} + \dots + A^{m - 1}) = E - A^{m} .

事实上，逐项相乘后中间各项两两相消，这与数的等比求和完全相同。由

A^{m} = O

知右端

= E

。这说明

E - A

有右逆

M = E + A + \dots + A^{m - 1}

；再由上一条的单边逆定理，对方阵而言

E - A

可逆，且

(E - A)^{- 1} = M

。

举例说明

求

(E - A)^{- 1}

，其中

A = 000100230

。

解.

A

是严格上三角矩阵，

A^{3} = O

，即它是幂零的，

m = 3

。故

(E - A)^{- 1} = E + A + A^{2}

。算出

A^{2} = 000000300

，于是

(E - A)^{- 1} = 100110531 .

容易验证

(E - A) (E + A + A^{2}) = E - A^{3} = E

。与对

E - A = 100 - 1 10 - 2 - 3 1

作初等行变换相比，这里的结果几乎可以直接看出。

3. 解矩阵方程 $A X B = C$ ：左乘 $A^{- 1}$ 、右乘 $B^{- 1}$ ，位置不能乱★★ 必会

解矩阵方程求

X

，关键是用逆矩阵把

X

两侧的矩阵消去，而要消去哪一侧，就从哪一侧乘，次序不能颠倒。由

A X = C \Rightarrow X = A^{- 1} C

，这是把左边的

A

用左乘

A^{- 1}

消去；由

X B = C \Rightarrow X = C B^{- 1}

，这是把右边的

B

用右乘

B^{- 1}

消去；两侧都有时，

A X B = C \Rightarrow X = A^{- 1} C B^{- 1}

。由于矩阵乘法不可交换，

A^{- 1}

必须写在

C

的左边，

B^{- 1}

必须写在

C

的右边，写反就错。当然，前提是

A, B

都可逆。

举例说明

设

A = (2001)

，

B = (1011)

，

C = (2122)

，解

A X B = C

。

解.

A, B

都可逆，故

X = A^{- 1} C B^{- 1}

，其中

A^{- 1} = (\frac{1}{2} 0 01)

，

B^{- 1} = (10 - 1 1)

。先左乘，得

A^{- 1} C = (1112)

；再右乘，得

X = (1112) (10 - 1 1) = (1101) .

验证：

A X B = (2101) (1011) = (2122) = C

。如果把次序写成

B^{- 1} C A^{- 1}

，那么将得到完全不同的错误结果。

4. 把可逆化为 $A x = 0$ 只有零解：证明抽象矩阵可逆的通用办法★ 要懂

在等价关系

A 可逆 ⟺ ∣ A ∣ \neq = 0 ⟺ r (A) = n ⟺ A x = 0 只有零解

中，最便于用来作证明的往往是最后一条。因为在许多问题里矩阵没有具体的元素，行列式很难计算，而由

A x = 0

推出

x = 0

却容易验证。要证明一个方阵可逆，就去证明它所对应的齐次方程组只有零解，这是证明抽象矩阵可逆的通用办法。一个典型的应用是：当实矩阵

A

的列向量线性无关时，

A^{T} A

可逆。这一结论是最小二乘法与正定性理论的基础。

证明 / 推导

命题. 设

A

是实

m \times n

矩阵，且它的列向量线性无关，即

A x = 0

只有零解，则

n

阶方阵

A^{T} A

可逆。

证. 只需证明

A^{T} A x = 0

只有零解。设

A^{T} A x = 0

，两端左乘

x^{T}

，得

x^{T} A^{T} A x = 0 ⟹ (A x)^{T} (A x) = 0 ⟹ ∥ A x ∥^{2} = 0 ⟹ A x = 0.

又因

A

的列向量线性无关，故由

A x = 0

只能得

x = 0

。于是

A^{T} A x = 0

只有零解，故

A^{T} A

作为

n

阶方阵是可逆的。

注. 整个证明没有计算任何行列式，所依靠的就是可逆

⟺

齐次方程组只有零解这一转化，以及对实向量有

∥ y ∥^{2} = 0 \Rightarrow y = 0

这一事实。

💡 小知识

先穿袜子后穿鞋，脱的时候先脱鞋后脱袜。逆矩阵的反序公式

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

说的就是这条生活常识：要撤销一串操作，必须逆着顺序一步步倒回去。线性代数里几乎所有的逆运算都遵守这个反序规则，转置与伴随也一样。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求二阶矩阵

A = (2312)

的逆矩阵。难度 1

二阶求逆用速记法「主对角对调、副对角变号，再除以行列式」。 先算行列式：

∣ A ∣ = 2 \times 2 - 1 \times 3 = 1 \neq = 0,

故

A

可逆。由公式

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)

：

A^{- 1} = \frac{1}{1} (2 - 3 - 1 2) = (2 - 3 - 1 2) .

验证

A A^{- 1} = (2312) (2 - 3 - 1 2) = (4 - 3 6 - 6 - 2 + 2 - 3 + 4) = (1001) = E

✓。

例 2 用初等行变换求

A = 120011101

的逆矩阵。难度 2

方法：构造 $(A ∣ E)$ ，只用初等行变换把左半化为 $E$ ，右半即 $A^{- 1}$ 。

120011101100010001 r_{2} - 2 r_{1} 100011 1 - 2 1 1 - 2 0 010001

r_{3} - r_{2} 100010 1 - 2 3 1 - 2 2 01 - 1 001 \frac{1}{3} r_{3} 100010 1 - 2 1 1 - 2 \frac{2}{3} 01 - \frac{1}{3} 00 \frac{1}{3}

r_{1} - r_{3}, r_{2} + 2 r_{3} 100010001 \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \frac{2}{3} \frac{1}{3} .

故

A^{- 1} = \frac{1}{3} 1 - 2 2 11 - 1 - 1 21

。全程只用行变换，绝不掺列变换；算完可抽验

A A^{- 1} = E

的一两个元素。

例 3 设方阵

A

满足

A^{2} - A - 2 E = O

，证明

A

可逆，并求

A^{- 1}

。难度 2

抽象矩阵证可逆的通法：把已知式因式分解，凑出「 $A \cdot (某矩阵) = k E$ 」（ $k \neq = 0$ ）的形式。
由

A^{2} - A - 2 E = O

得

A^{2} - A = 2 E

，左边提取公因子

A

：

A (A - E) = 2 E ⟹ A \cdot \frac{A - E}{2} = E .

由于存在矩阵

B = \frac{A - E}{2}

使

A B = E

（同阶方阵，故也有

B A = E

），所以 $A$ 可逆，且

A^{- 1} = \frac{1}{2} (A - E) .

这类题不需要 $A$ 的具体元素、也不必算行列式，核心就是「因式分解凑

k E

」。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵为置换矩阵。设

A

为

n

阶置换矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则（　　）

A $A^{*}$ 为置换矩阵
B $A^{- 1}$ 为置换矩阵
C $A^{- 1} = A$
D $A^{- 1} = - A$

2022 年 · 数一 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

已知矩阵

A

和

E - A

可逆，其中

E

为单位矩阵。若矩阵

B

满足

[E - (E - A)^{- 1}] B = A

，则

B - A =

______.

2017 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

α

为

n

维单位列向量，

E

为

n

阶单位矩阵，则（　　）

A $E - α α^{T}$ 不可逆.
B $E + α α^{T}$ 不可逆.
C $E + 2 α α^{T}$ 不可逆.
D $E - 2 α α^{T}$ 不可逆.

2016 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B

是可逆矩阵，且

A

与

B

相似，则下列结论错误的是（　　）

A $A^{T}$ 与 $B^{T}$ 相似.
B $A^{- 1}$ 与 $B^{- 1}$ 相似.
C $A + A^{T}$ 与 $B + B^{T}$ 相似.
D $A + A^{- 1}$ 与 $B + B^{- 1}$ 相似.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

A

为

3

阶方阵且

∣ A ∣ = 2

，则

∣ A^{- 1} ∣ =

____。

练习 2 · 选择题

设

A = (1324)

，则

A^{- 1} =

（）。

A $(- 2 \frac{3}{2} 1 - \frac{1}{2})$
B $(4 - 3 - 2 1)$
C $(2 - \frac{3}{2} - 1 \frac{1}{2})$
D $(- 2 1 \frac{3}{2} - \frac{1}{2})$

练习 3 · 选择题

设

A, B

为同阶可逆矩阵，则

(A B)^{- 1} =

（）。

A $A^{- 1} B^{- 1}$
B $B^{- 1} A^{- 1}$
C $A B$
D $B A$

练习 4 · 选择题

设方阵

A

满足

A^{2} + 3 A + 2 E = O

，则

A^{- 1} =

（）。

A $- \frac{1}{2} (A + 3 E)$
B $\frac{1}{2} (A + 3 E)$
C $- (A + 3 E)$
D $A + 3 E$

练习 5 · 选择题

设

A

为

n

阶方阵，下列不能推出「

A

可逆」的是（）。

A $∣ A ∣ \neq = 0$
B $r (A) = n$
C $A x = 0$ 只有零解
D $A$ 有一个特征值为 $0$

练习 6 · 选择题

设

n

阶矩阵

A

满足

A^{2} - 3 A + E = O

，则

(A - 2 E)^{- 1} =

（）。

A $\frac{1}{2} (A - E)$
B $A + E$
C $E - A$
D $A - E$

练习 7 · 填空题

设

A

为

3

阶矩阵，

∣ A ∣ = - 2

，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则

A^{- 1} + 2 A^{*} =

____。

练习 8 · 解答题

设

n

阶矩阵

A

满足

A^{2} - A - 6 E = O

。

(1)

证明

A

可逆，并求

A^{- 1}

；

(2)

证明

A + E

可逆，并求

(A + E)^{- 1}

；

(3)

当

n = 3

时，求

∣ A ∣

的所有可能取值。

2008 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

A

为

n

阶非零矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，若

A^{3} = O

，则（　　）

A $E - A$ 不可逆， $E + A$ 不可逆.
B $E - A$ 不可逆， $E + A$ 可逆.
C $E - A$ 可逆， $E + A$ 可逆.
D $E - A$ 可逆， $E + A$ 不可逆.

2001 年 · 数一 · 第 4 题 · 填空题 · 3 分

设矩阵

A

满足

A^{2} + A - 4 E = O

，其中

E

为单位矩阵，则

(A - E)^{- 1} =

___.

逆矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 单边逆定理：同阶方阵只要 AB=E，就自动 BA=E★ 要懂

2. 幂零矩阵的等比级数：Am=O 时 E−A 必可逆，逆是有限和

3. 解矩阵方程 AXB=C：左乘 A−1、右乘 B−1，位置不能乱★★ 必会

4. 把可逆化为Ax=0 只有零解：证明抽象矩阵可逆的通用办法★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 单边逆定理：同阶方阵只要 $A B = E$ ，就自动 $B A = E$ ★ 要懂

2. 幂零矩阵的等比级数： $A^{m} = O$ 时 $E - A$ 必可逆，逆是有限和

3. 解矩阵方程 $A X B = C$ ：左乘 $A^{- 1}$ 、右乘 $B^{- 1}$ ，位置不能乱★★ 必会

4. 把可逆化为 $A x = 0$ 只有零解：证明抽象矩阵可逆的通用办法★ 要懂