行列式的计算

§9.2 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.00 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

3.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）行列式的概念与性质③ 掌握后可解锁克拉默法则特征值与特征向量的概念与计算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 行列式计算的两种基本方法：利用性质化为上三角，按行（列）展开降阶★★ 必会

计算行列式不能只依靠零散的技巧，下面两种通用方法必须练得十分熟练：

方法一：利用性质化为上三角形，再把对角元连乘。 目标是把行列式化成上三角形或下三角形，这时它的值

=

主对角线元素之积。常用的手段有三种：① 倍加，把某一行（列）的

k

倍加到另一行（列）上，行列式的值不变，它是逐列制造零元、把主对角线下方的元素化为零的主要手段；② 提公因子，某一行（列）含有公因子时，可以把它提到行列式记号之外；③ 对换变号，互换两行（列）时行列式变号，用它可以把非零的主元换到对角线上。如果各行（或各列）元素之和相等，那么把各列都加到第一列，第一列就成为常数列，可以直接提出公因子，这样一步便能大为化简。

方法二：按行（列）展开，逐级降阶。 所依据的是展开定理

∣ A ∣ = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} A_{ik}

，这是沿第

i

行展开；或

∣ A ∣ = \sum_{k = 1}^{n} a_{k j} A_{k j}

，这是沿第

j

列展开。式中

A_{ik} = (- 1)^{i + k} M_{ik}

称为代数余子式，

M_{ik}

是划去第

i

行第

k

列后所得的

n - 1

阶余子式。使用时应当选取零元最多的那一行或那一列展开：非零项越少，

n

阶行列式就越简捷地降为若干个

n - 1

阶行列式，如此逐级降到二阶或三阶，再用公式算出。注意不要丢掉符号 $(- 1)^{i + k}$ 。

两种方法如何选用。 如果某一行或某一列本身零元就很多，例如爪形、三对角、带状的行列式，那么直接按该行（列）展开降阶最快；如果元素中带有参数，或者具有明显的结构，例如各行（列）之和相等、相邻两行相近，那么应当先用性质化简。更多的情形是两者结合使用：先用性质在某一列中造出一批零元，再按该列展开。先化简、再降阶是绝大多数计算题的主线。

证明 / 推导

（一）上三角行列式为什么等于对角元的连乘积。 由行列式的定义

det A = \sum_{σ} (sgn σ) a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{nσ (n)}

，每一项都是取自不同行、不同列的

n

个元素之积。对于上三角矩阵，当

i > j

时

a_{ij} = 0

，因此要使某一项不为零，必须每个因子都满足

a_{iσ (i)} \neq = 0

，即

σ (i) \geq i

对一切

i

都成立。但排列满足

\sum_{i} σ (i) = \sum_{i} i

，若在某处

σ (i) > i

，则在别处必有

σ (i) < i

，这与

σ (i) \geq i

矛盾，故只能

σ (i) = i

，即取恒等排列，它的符号为

+

。于是留存下来的只有主对角线元素之积这一项：

det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}

。下三角的情形同理可证。

（二）展开定理的说明。 把第

i

行按它的各个元素拆开再合并，即可证明

∣ A ∣ = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} A_{ik}

，也就是说，

n

阶行列式等于该行各元素

\times

它的代数余子式之和，而其中每个

A_{ik} = (- 1)^{i + k} M_{ik}

又是一个

n - 1

阶行列式。这就把

n

阶行列式线性地表示成若干个

n - 1

阶行列式之和，降阶的根据就在于此。选取零元最多的行或列展开，就是使这个和式中大多数

a_{ik} = 0

，只剩下极少数非零项，因此最省力。

举例说明

（2020·数一）计算 $D = a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a$ 。

观察. 每一行元素之和都等于

a

：第一行

a + 0 - 1 + 1 = a

，第三行

- 1 + 1 + a + 0 = a

，其余各行也是如此。遇到这种情形，就应当把各列都加到第一列上。

① 用性质化简. 把第

2, 3, 4

列都加到第

1

列，第一列成为常数列

a

，再提出公因子

a

，得

D = a a a a 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a = a 1111 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a .

② 用倍加造零. 作

r_{2} - r_{1}, r_{3} - r_{1}, r_{4} - r_{1}

，把第一列中首元以下的元素全化为

0

，得

D = a 1000 0 a 1 - 1 - 1 2 a + 1 1 1 - 2 - 1 a - 1 .

③ 按第一列展开降阶. 第一列只剩下首元

1

，沿第一列展开，即降为三阶，得

D = a a 1 - 1 2 a + 1 1 - 2 - 1 a - 1 .

④ 计算三阶行列式. 沿第一行展开，得

a 1 - 1 2 a + 1 1 - 2 - 1 a - 1 = a a + 1 1 - 1 a - 1 - 2 1 - 1 - 1 a - 1 - 2 1 - 1 a + 1 1 = a \cdot a^{2} - 2 (a - 2) - 2 (a + 2) = a^{3} - 4 a .

收尾.

D = a (a^{3} - 4 a) = a^{4} - 4 a^{2}

，故应填

a^{4} - 4 a^{2}

。这道题把两种基本方法连在一起：先利用各行之和相等这一特点造零并提出公因子，再按零元最多的第一列展开降阶。

■

2. 加边法（升阶法）：把 $n$ 阶升成 $n + 1$ 阶反而便于计算★ 要懂

通常的思路是降阶，但有一类行列式，特别是主对角线上为一串

a_{i}

、其余位置是同一个数或具有秩

1

结构的行列式，反过来添一行一列升为 $n + 1$ 阶以后，能造出大片零元与箭形结构，一步就化为三角形。加边的做法是：添上一行一列，通常取首元为 $1$ ，其余取 $0$ 或全取 $1$ ，并使新行列式的值与原行列式相等，这一点由沿新增的列（行）展开后只剩原行列式即可看出；然后用新增的这一行去消掉原矩阵中那些公共的项。这是处理主对角线加秩一扰动型行列式的有效方法。

证明 / 推导

以

D_{n} = 1 + a_{1} 1 ⋮ 1 1 1 + a_{2} ⋮ 1 \dots \dots \dots 11 ⋮ 1 + a_{n}

为例，其中

a_{i} \neq = 0

。加一行一列，得

D_{n} = 100 ⋮ 0 1 1 + a_{1} 1 ⋮ 1 11 1 + a_{2} ⋮ 1 \dots \dots \dots \dots 111 ⋮ 1 + a_{n},

沿第一列展开时只有左上角的

1

不为零，而它的余子式恰为

D_{n}

，故上式成立。把第一行的

- 1

倍加到其余各行，第

i + 1

行

(0, 1, \dots, 1 + a_{i}, \dots, 1)

就变为

(- 1, 0, \dots, a_{i}, \dots, 0)

，于是得到箭形行列式：

D_{n} = 1 - 1 - 1 ⋮ - 1 1 a_{1} 00 10 a_{2} 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots 100 a_{n} .

再把第

i + 1

列的

\frac{1}{a _{i}}

倍加到第一列上，以消去那些

- 1

，这时第一列的首元变为

1 + \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a _{i}}

，其余元素全为零，行列式化为上三角形：

D_{n} = (1 + i = 1 \sum n \frac{1}{a _{i}}) i = 1 \prod n a_{i} .

举例说明

计算

D_{3} = 311131113

。这里

a_{1} = a_{2} = a_{3} = 2

，即

1 + a_{i} = 3

。代入上面的公式，得

D_{3} = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \cdot 2^{3} = \frac{5}{2} \cdot 8 = 20

。用对角线法则直接验算：

27 + 1 + 1 - 3 - 3 - 3 = 20

，两者一致。

3. 递推法既要建立递推式，又要解出通项：把行列式看成数列，用特征方程收尾★ 要懂

对于有规律的三对角型高阶行列式，按第一行（列）展开常得到二阶线性递推式

D_{n} = p D_{n - 1} + q D_{n - 2}

。写出递推式以后还必须把它解出来，否则前功尽弃。解法与解常系数齐次线性递推数列完全相同：作特征方程

x^{2} = p x + q

，设它的两根为

x_{1}, x_{2}

。如果

x_{1} \neq = x_{2}

，那么通解为

D_{n} = c_{1} x_{1}^{n} + c_{2} x_{2}^{n}

；如果

x_{1} = x_{2}

，即为重根，那么通解为

D_{n} = (c_{1} + c_{2} n) x_{1}^{n}

；常数

c_{1}, c_{2}

由初值

D_{1}, D_{2}

定出。建立递推式

\to

作特征方程

\to

定常数，这一套步骤是求

n

阶带参数行列式的通用方法。

证明 / 推导

下面说明按第一行展开为什么能得到二阶递推式。以三对角行列式为例，沿第一行展开得

D_{n} = a_{11} D_{n - 1} - a_{12} \cdot (一个子式)

，而那个子式再沿它的第一列展开后只剩一项，恰好是

D_{n - 2}

。三对角行列式每行只有三个非零元素，展开两层后自然又回到同类型的低阶行列式，故必得

D_{n} = p D_{n - 1} + q D_{n - 2}

。特征方程法之所以有效，是因为把形如

x^{n}

的数列代入齐次递推式

D_{n} - p D_{n - 1} - q D_{n - 2} = 0

，得

x^{n - 2} (x^{2} - p x - q) = 0

，因此当

x

取特征根时

x^{n}

就是一个解；再由线性叠加与初值，通项即被唯一确定。

举例说明

计算

n

阶三对角行列式

D_{n} = 21121 12 ⋱ ⋱ ⋱ 1 12

。

解. 沿第一行展开，得

D_{n} = 2 D_{n - 1} - D_{n - 2}

，初值为

D_{1} = 2, D_{2} = 2112 = 3

。特征方程

x^{2} - 2 x + 1 = 0

有重根

x = 1

，故

D_{n} = (c_{1} + c_{2} n) \cdot 1^{n} = c_{1} + c_{2} n

。代入初值，得

c_{1} + c_{2} = 2

与

c_{1} + 2 c_{2} = 3

，解得

c_{2} = 1, c_{1} = 1

，于是

D_{n} = n + 1

。

4. 缺项/加项的范德蒙德：加一个变量 $x$ ，再比较系数★★ 必会

范德蒙德行列式的各行依次是

0, 1, 2, \dots, n - 1

次幂，逐次齐全而无缺项。考试中常给出少一行或多一行的伪范德蒙德行列式，例如缺了平方那一行，或者幂次有跳跃，这时直接套用公式就会出错。常用的办法是引入辅助变量 $x$ ，把它补成一个标准的高一阶范德蒙德行列式，后者的值可以直接写成连乘积；再把这个多项式按含 $x$ 的那一列展开，比较所求行列式对应项的系数，即可求出它的值。其依据是：行列式关于

x

是一个多项式，而它的根是显然的，这就是因式定理的思想。

举例说明

计算

D = 1 a a^{3} 1 b b^{3} 1 c c^{3}

，其中幂次跳过了平方，不是标准的范德蒙德行列式。

解. 补上变量

x

与平方那一行，构造四阶的标准范德蒙德行列式：

V (x) = 1 a a^{2} a^{3} 1 b b^{2} b^{3} 1 c c^{2} c^{3} 1 x x^{2} x^{3} = (b - a) (c - a) (c - b) (x - a) (x - b) (x - c) .

把

V (x)

沿最后一列展开，含

x^{2}

的项为

x^{2} \cdot (- 1)^{3 + 4} M_{34}

，而

M_{34} = 1 a a^{3} 1 b b^{3} 1 c c^{3} = D

，故左端

x^{2}

的系数为

- D

。右端

(x - a) (x - b) (x - c) = x^{3} - (a + b + c) x^{2} + \dots

，故右端

x^{2}

的系数为

- (a + b + c) (b - a) (c - a) (c - b)

。比较两端的系数，得

- D = - (a + b + c) (b - a) (c - a) (c - b)

，即

D = (a + b + c) (b - a) (c - a) (c - b) .

5. 求代数余子式的线性组合：不必逐个计算，可换掉一行（列）化为新的行列式★★ 必会

遇到

\sum_{k} A_{ik}

，即某一行代数余子式之和，或

\sum_{k} c_{k} A_{ik}

，即它们的加权和，这类问题逐个去算每个

A_{ik}

是很笨的办法。关键在于：代数余子式 $A_{ik}$ 只与第 $i$ 行以外的元素有关，与第 $i$ 行本身无关。因此

\sum_{k} c_{k} A_{ik}

就等于把原行列式的第

i

行整个换成

(c_{1}, \dots, c_{n})

以后，再按第

i

行展开所得的新行列式。特别地，

\sum_{k} a_{ik} A_{ik} = ∣ A ∣

，这相当于换成原来的那一行；

\sum_{k} A_{ik}

相当于换成元素全为

1

的一行；

\sum_{k} a_{s k} A_{ik} = 0

，其中

s \neq = i

，这相当于把第

i

行换成另外一行，两行相同，故等于零。把代数余子式的组合化为换掉一行的行列式，一步即可算出。

证明 / 推导

为什么换掉一行就能算出这个组合. 设

A = (a_{ij})

为

n

阶矩阵。按定义有

A_{ik} = (- 1)^{i + k} M_{ik}

。这里的余子式

M_{ik}

是划去第

i

行与第

k

列以后所余的

n - 1

阶行列式。既然划去了第

i

行，它里面就不含这一行的任何元素。因此

A_{i 1}, A_{i 2}, \dots, A_{in}

都与

a_{i 1}, \dots, a_{in}

无关。它们只由其余

n - 1

行决定。

设

c_{1}, \dots, c_{n}

为任意

n

个数。把

A

的第

i

行换成

(c_{1}, \dots, c_{n})

，其余各行不动。所得的矩阵记为

B

。

B

与

A

只在第

i

行不同。由上面已证的事实，得

B_{ik} k = A_{ik} = 1, 2, \dots, n .

把

∣ B ∣

按第

i

行展开，并注意

b_{ik} = c_{k}

，得

∣ B ∣ = k = 1 \sum n b_{ik} B_{ik} = k = 1 \sum n c_{k} A_{ik} .

这就证明了所要的结论。第

i

行代数余子式的任一线性组合，等于把该行换成对应系数以后的行列式。

按列的情形与此相类似. 组合

\sum_{k} c_{k} A_{k i}

中出现的是第

i

列的代数余子式。它等于把第

i

列换成

(c_{1}, \dots, c_{n})^{T}

以后的行列式。必须注意，行的组合只能换行。列的组合只能换列，二者不可混用。

注. 若

∣ A ∣ \neq = 0

，则也可以由伴随矩阵一次算出全部代数余子式。因为

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

，而

A^{*}

的第

k

行第

i

列元素恰为

A_{ik}

。故求出

A^{- 1}

以后，每个

A_{ik}

都可以直接读出。当

∣ A ∣ = 0

时这条路走不通，仍应换行来算。

举例说明

设

D = 123212321

，求

A_{11} + A_{12} + A_{13}

，即第一行代数余子式之和。

解. 它等于把第一行换成

(1, 1, 1)

以后的行列式：

A_{11} + A_{12} + A_{13} = 123112121 .

计算得

= 1 (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1 (2 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + 1 (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = 1 (- 3) - 1 (- 4) + 1 (1) = - 3 + 4 + 1 = 2

，故所求之和为

2

。

注. 如果所求的是

2 A_{11} + A_{12} + 2 A_{13}

，那么应把第一行换成

(2, 1, 2)

，它恰好就是原来的第二行，新行列式有两行相同，其值为

0

。这就是某一行的元素与另一行的代数余子式之积的和等于零这一结论的具体表现。

💡 小知识

范德蒙德行列式以 18 世纪法国数学家范德蒙德命名，可他本人的著作里并没有写下这个行列式，这是数学史上张冠李戴式命名的著名例子之一。它如今在多项式插值、信号处理里随处可见。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用化三角形的方法计算

D = 121250338

。难度 1

主线：用「倍加不变」把主对角线下方消成 $0$ ，化成上三角，再取对角线乘积。
第一步，把第

1

行的

(- 2)

倍加到第

2

行、

(- 1)

倍加到第

3

行（倍加不改变行列式值）：

D = 100 21 - 2 3 - 3 5 .

第二步，把第

2

行的

2

倍加到第

3

行：

D = 100210 3 - 3 - 1 = 1 \times 1 \times (- 1) = - 1.

所以

D = - 1

。全过程只用了倍加（不变号、不提公因子），最稳妥。

例 2 计算

D = 311131113

。难度 1

识别结构：每行元素之和都相等（都是

3 + 1 + 1 = 5

），这是「行和相等型」，标准套路是把其余各列加到第一列，提出公因子。
把第

2, 3

列加到第

1

列，第一列变成

(5, 5, 5)^{T}

，提出

5

：

D = 5111131113 .

再把第

1

行的

(- 1)

倍加到第

2, 3

行，化为下三角：

D = 5100120102 = 5 \times (1 \times 2 \times 2) = 20.

所以

D = 20

。（也可套「对角为

a

、其余为

b

」的公式

[a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1} = [3 + 2] (3 - 1)^{2} = 5 \cdot 4 = 20

。）

例 3 计算范德蒙德型行列式

D = 111124139

。难度 2

认结构：每一列都是同一个数

x_{i}

的

0, 1, 2

次幂（第

1

列是

1

的各次幂、第

2

列是

2

的各次幂、第

3

列是

3

的各次幂），即

x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3

的范德蒙德行列式。直接套公式

D = 1 \leq i < j \leq 3 \prod (x_{j} - x_{i}) = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) .

代入：

D = (2 - 1) (3 - 1) (3 - 2) = 1 \times 2 \times 1 = 2.

所以

D = 2

。注意连乘方向是「下标大的减下标小的」，写反会差符号。

例 4 计算

4

阶行列式

D = 1357246800210011

。难度 2

观察到右上角是 $2 \times 2$ 的零块，整体是分块下三角形

A C O B = ∣ A ∣ ∣ B ∣

，其中

A = (1324), B = (2111) .

分别算两个二阶行列式：

∣ A ∣ = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2, ∣ B ∣ = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1.

故

D = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (- 2) \times 1 = - 2

。分块三角形行列式等于对角块行列式之积（要求对角块是方阵），比硬展开 $4$ 阶省力得多。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

设矩阵

A = 120 0 a 2 02 a

，

B = a - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 1 a

，设

m (X)

为

3

阶矩阵

X

的实特征值中的最大值。若

m (A) < m (B)

，则

a

的取值范围是 ___.

2025 年 · 数一 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

设矩阵

A = 4 a b 235 - 3 - 4 - 7

，若方程组

A^{2} x = 0

与

A x = 0

不同解，则

a - b =

______.

2022 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设

α_{1} = (λ, 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, λ, 1)^{T}, α_{3} = (1, 1, λ)^{T}, α_{4} = (1, λ, λ^{2})^{T}

。若向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

与

α_{1}, α_{2}, α_{4}

等价，则

λ

的取值范围是（　　）

A ${0, 1}$ .
B ${λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 2}$ .
C ${λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 1, λ \neq = - 2}$ .
D ${λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 1}$ .

2020 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

行列式

a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

行列式

211121112 =

____。

练习 2 · 选择题

范德蒙德行列式

1111241416 =

（）。

A $6$
B $- 6$
C $12$
D $2$

练习 3 · 填空题

上三角行列式

300520746 =

____。

练习 4 · 选择题

行列式

001020300 =

（）。

A $6$
B $- 6$
C $0$
D $- 1$

练习 5 · 填空题

4

阶行列式

1222212222122221 =

____。

练习 6 · 填空题

计算行列式

D = 1111120010301004 =

____。

练习 7 · 选择题

设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

为

3

阶矩阵（

α_{i}

为其列向量），且

∣ A ∣ = 3

。令

B = (α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} + 2 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1}),

则

∣ B ∣ =

（）。

A $3$
B $9$
C $27$
D $- 9$

练习 8 · 解答题

计算

n

阶行列式

D_{n} = 31231 23 ⋱ ⋱ ⋱ 1 23

（主对角线上的元素全为

3

，紧邻主对角线上方的一条全为

2

，紧邻下方的一条全为

1

，其余元素全为

0

），并求出

D_{5}

。

2016 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

行列式

λ 004 - 1 λ 03 0 - 1 λ 2 00 - 1 λ + 1 =

___.

2015 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

n

阶行列式

2 - 1 ⋮ 00 02 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 2 - 1 22 ⋮ 22 =

______.

行列式的计算

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 行列式计算的两种基本方法：利用性质化为上三角，按行（列）展开降阶★★ 必会

2. 加边法（升阶法）：把 n 阶升成 n+1 阶反而便于计算★ 要懂

3. 递推法既要建立递推式，又要解出通项：把行列式看成数列，用特征方程收尾★ 要懂

4. 缺项/加项的范德蒙德：加一个变量 x，再比较系数★★ 必会

5. 求代数余子式的线性组合：不必逐个计算，可换掉一行（列）化为新的行列式★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 加边法（升阶法）：把 $n$ 阶升成 $n + 1$ 阶反而便于计算★ 要懂

4. 缺项/加项的范德蒙德：加一个变量 $x$ ，再比较系数★★ 必会