矩阵的运算

线性代数 · 矩阵

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 矩阵是一张表，行列式是一个数

m \times n

矩阵是把

mn

个数排成

m

行

n

列的一张表，用圆括号（或方括号）括起来：

A = (a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}) .

它与行列式是两种东西，这是学线代第一件要分清的事：

矩阵 一张表 () 或 [] m \times n 都可以 行列式 一个数 ∣ ∣ 必须是方的

只有方阵才谈得上行列式，记作

∣ A ∣

或

det A

。

由此派生出两个常混的记号差别：

① $k A$ 是每个元素都乘 $k$ ；而 $k ∣ A ∣$ 只是把那个数乘 $k$ . 所以

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

（上一章强调过）。

② $A = 0$ 指零矩阵（每个元素都是零）； $∣ A ∣ = 0$ 只说行列式为零，矩阵本身可以什么都不是零。

2. 加法与数乘：逐个元素来

加法要求两个矩阵同型（行数、列数都相同），然后对应元素相加：

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} .

不同型的两个矩阵不能相加——这不是「结果是零」，而是没有定义。

数乘是把每个元素都乘

k

：

(k A)_{ij} = k a_{ij} .

这两种运算的性质与数的运算完全一样：交换律、结合律、分配律都成立。所以加法和数乘不必特别记，真正要小心的是乘法（下一条）。

几个记号：

零矩阵 $O$ ：所有元素为零，

A + O = A

。

负矩阵 $- A$ ：即

(- 1) A

，

A + (- A) = O

。

单位矩阵 $E$ （或

I

）：主对角线全为

1

、其余为

0

的方阵。它在乘法里的地位相当于数里的

1

：

A E = E A = A

。

3. 乘法：行乘列，三条反常识的规矩

A

是

m \times s

、

B

是

s \times n

时才能相乘（前面的列数 $=$ 后面的行数），乘积

A B

是

m \times n

的，且

(A B)_{ij} = k = 1 \sum s a_{ik} b_{k j},

即第 $i$ 行与第 $j$ 列对应相乘再相加。

矩阵乘法有三条与数的乘法完全不同的规矩，每一条都考：

① 不满足交换律. 一般

A B \neq = B A

；甚至

A B

有意义时

B A

可能都没有定义。

② 没有消去律. 由

A B = A C

且

A \neq = O

推不出

B = C

。

③ 有零因子.

A B = O

推不出

A = O

或

B = O

。

后两条是同一件事的两面，根子都在「

A

可能不可逆」上——可逆时才能两边乘

A^{- 1}

把它消掉（下一节）。

仍然成立的：结合律

(A B) C = A (B C)

、分配律

A (B + C) = A B + A C

。但分配律要注意左右：

(B + C) A = B A + C A

是另一个式子，不能混用。

4. 转置与方阵的幂

转置

A^{T}

是把行与列互换：

(A^{T})_{ij} = a_{j i}

。

m \times n

转置后是

n \times m

。

四条性质，前三条照搬，第四条要变序：

(A^{T})^{T} (A + B)^{T} (k A)^{T} (A B)^{T} = A, = A^{T} + B^{T}, = k A^{T}, = B^{T} A^{T} .

最后一条的「反序」是线代里一再出现的模式：转置、求逆、伴随，凡是作用在乘积上的，都要把次序倒过来。

对称与反对称：

A^{T} = A

称对称矩阵，

A^{T} = - A

称反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线必全为零（由

a_{ii} = - a_{ii}

）。

方阵的幂

A^{k} = k AA \dots A

。因为不交换， $(A B)^{2} \neq = A^{2} B^{2}$ ；展开只能老实写成

(A B) (A B) = A B A B

。

同理

(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}

，中间两项合不成 $2 A B$ ，除非

A

与

B

可交换。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

算乘积：先验形状，再行乘列

第一步：验形状——前面的列数要等于后面的行数，否则没有定义。

第二步：定结果的形状——前面的行数 × 后面的列数。

第三步：

(A B)_{ij}

用

A

的第

i

行与

B

的第

j

列对应相乘再相加。

第四步：算完数一数结果的行列数对不对。

例例.

A

是

2 \times 3

、

B

是

3 \times 2

，

A B

与

B A

各是什么形状？再算一个具体的乘积。

第一步，验形状：

A

的列数

3

=

B

的行数

3

✓ 有定义。

第二步，

A B

是

2 \times 2

，

B A

是

3 \times 3

——两个乘积连形状都不一样，更谈不上相等。

第三步，取

A = (1324)

、

B = (0110)

。

(A B)_{11}

用

A

的第一行

(1, 2)

与

B

的第一列

(0, 1)^{T}

：

1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2

。照此算完

A B = (2413), B A = (3142) .

第四步，数形状 ✓ 而

A B \neq = B A

——形状相同也未必相等。

化简含矩阵的式子：不许随便交换

第一步：展开时只用结合律与分配律，保持字母的左右次序。

第二步：

(A + B)^{2}

要写成

A^{2} + A B + B A + B^{2}

，不能并成

2 A B

。

第三步：看题目有没有给「

A B = B A

」这类条件——有才能并项。

第四步：遇到转置、求逆作用在乘积上，次序要反过来。

例例. 展开

(A + B)^{2}

与

(A + B) (A - B)

。

第一步，只用结合律与分配律，保持字母的左右次序：

(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2} .

第二步，不能并成

A^{2} + 2 A B + B^{2}

——那一步偷偷用了

A B = B A

。同理

(A + B) (A - B) = A^{2} - A B + B A - B^{2} \neq = A^{2} - B^{2} .

第三步，题目若给了「

A B = B A

」这个条件，才能并项，这时平方公式与平方差公式都成立。

第四步，转置、求逆作用在乘积上，次序要反过来：

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

、

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

。

四条合起来一句话：矩阵的加减像数，乘法不像。

判断一个命题真假：先想三条反例

不交换：

A = (1111)

、

B = (1 - 1 1 - 1)

。

有零因子：上面这一对的

A B = O

，而两者都非零。

不能消去：由

A (B - C) = O

推不出

B = C

，同一对就能当反例。

一对矩阵顶三条反例，把它背下来，选择题能省很多时间。

例例. 取

A = (1111), B = (1 - 1 1 - 1) .

不交换：

A B = (0000)

，而

B A = (2 - 2 2 - 2)

\Rightarrow

A B \neq = B A

✓

有零因子：

A B = O

而

A \neq = O

、

B \neq = O

——数里「乘积为零必有一个为零」在矩阵里不成立。

不能消去：取

C = O

，则

A B = A C

（都是

O

）而

B \neq = C

\Rightarrow

由

A B = A C

推不出

B = C

。

一对矩阵顶三条反例，把它背下来。选择题里「

A B = O \Rightarrow A = O

或

B = O

」这类选项，一秒就能否掉。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把 $∣ A ∣ = 0$ 当成 $A = O$

(1224)

的行列式为零，但它一个零元素都没有。

行列式是一个数，矩阵是一张表。反过来

A = O \Rightarrow ∣ A ∣ = 0

倒是对的——单向关系，记住方向。

随便交换 $A B$ 与 $B A$

矩阵乘法不满足交换律，甚至

B A

可能没有定义。

(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}

，中间两项并不成

2 A B

，除非题目给了「可交换」这个条件。

由 $A B = O$ 断定 $A = O$ 或 $B = O$

矩阵有零因子。

(1111) (1 - 1 1 - 1) = O

，两者都非零。

同理由

A B = A C

推不出

B = C

。要消去必须 $A$ 可逆。

$(A B)^{T}$ 写成 $A^{T} B^{T}$

正确的是

B^{T} A^{T}

，次序要反。

记不住就画形状：

A^{T} B^{T}

往往根本乘不起来。转置、求逆、伴随作用在乘积上，一律反序。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 矩阵与行列式

练 1

下列说法正确的是（）。

A矩阵是一张表，行列式是一个数
B矩阵和行列式都是数
C任何矩阵都有行列式
D行列式必须是 $m \times n$ 的

练 2

设

A = (1224)

，则

∣ A ∣ =

________。

练 3

一个

2 \times 3

矩阵与一个

3 \times 2

矩阵（）。

A可以相加
B既能相加也能相乘
C都不能
D不能相加，但可以相乘

练 4

单位矩阵

E

在乘法中的作用相当于数里的 ________（填一个数字）。

第二组 · 乘法的规矩

练 5

矩阵乘法不满足（）。

A结合律
B分配律
C交换律
D以上都满足

练 6

(A + B)^{2} = A^{2} + A B +

________

+ B^{2}

。

练 7

(A B)^{T} =

（）。

A $A^{T} B^{T}$
B $A B$
C $(B A)^{T}$
D $B^{T} A^{T}$

练 8

设

A

是

2 \times 3

矩阵，

B

是

3 \times 4

矩阵，则

A B

是

2 \times

________ 矩阵。

第三组 · 反例与判断

练 9

由

A B = O

（

O

为零矩阵）可以推出（）。

A $A = O$
B $B = O$
C $A = O$ 或 $B = O$
D以上都推不出

练 10

由

A B = A C

且

A \neq = O

，能推出

B = C

的条件是（）。

A $A$ 可逆
B $A$ 是方阵
C $B$ 、 $C$ 同型
D无需额外条件

练 11

设

A = (1111)

，

B = (1 - 1 1 - 1)

，则

A B

是 ________ 矩阵（填「零」或「单位」）。

练 12

反对称矩阵（

A^{T} = - A

）的主对角线元素（）。

A全为零
B全为 $1$
C可以任意
D互为相反数

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解