矩阵的运算

§9.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.08 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

12.5 分支撑的下游价值

前置诊断

这是地基知识点，无前置要求，可以直接学习。

③ 掌握后可解锁逆矩阵初等变换与初等矩阵矩阵的秩分块矩阵伴随矩阵向量的线性组合与线性表示特征值与特征向量的概念与计算二次型及其标准形、规范形

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 矩阵运算与数的运算的三条重要差别：不可交换、无零因子律、存在幂零矩阵★★ 必会

把矩阵当作数来运算，是选择题中最常见的错误。必须注意以下三条差别：
(1) 乘法不可交换

A B \neq = B A

，甚至可能一个有意义而另一个无意义。于是完全平方公式与平方差公式都不成立：

(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}

、

(A + B) (A - B) = A^{2} - A B + B A - B^{2}

，只有当 $A B = B A$ 时，才能化简成通常的形式。
(2) 没有零因子律 由

A B = O

推不出

A = O

或

B = O

；由

A C = B C

且

C \neq = O

也不能约去

C

。
(3) 存在幂零矩阵 可能

A \neq = O

，却

A^{2} = O

。这三条互相关联，其根源都在于矩阵的乘法不像数那样可以交换、可以消去。

举例说明

【真题·数三 1989】 设

A, B

均为

n

阶矩阵，则下列必成立的是（　）。
(A)

∣ A + B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣

；(B)

A B = B A

；(C)

∣ A B ∣ = ∣ B A ∣

；(D)

(A + B)^{- 1} = A^{- 1} + B^{- 1}

。
解. 应选 (C)。由行列式乘法定理

∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ B ∣ ∣ A ∣ = ∣ B A ∣

，其中用到数的乘法可以交换，故此式恒成立。其余三项都是把矩阵当作数来运算的典型错误：

A, B

一般 不可交换，故 (B) 错；行列式对加法不能拆开，故 (A) 错；逆矩阵也没有加法公式，故 (D) 错。这一道选择题把三类错误都考到了。

2. 求 $A^{n}$ 的三种方法：归纳找规律、分解为 $E +$ 幂零后用二项式、秩为 $1$ 时提出标量★★ 必会

当

n

很大时，直接连乘不可行，应按

A

的结构选用方法：
(1) 归纳找规律：先算出

A^{2}, A^{3}

，猜出通项，再用归纳法证明。
(2) 分解为 $A = λ E + N$ ，其中 $N$ 幂零：因

λ E

与

N

可交换，可用二项式展开，而当

N^{k} = O

时求和自动截断（适用于主对角线元素相同的上、下三角矩阵）。
(3) 秩为 $1$ 的矩阵 $A = α β^{T}$ ：关键在于中间的

β^{T} α

是一个数（它等于

tr A

），可以反复提到前面，于是

A^{n} = (β^{T} α)^{n - 1} A = (tr A)^{n - 1} A

。学过对角化以后还有第四种方法

A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}

。

证明 / 推导

秩为 $1$ 时公式的证明. 设

A = α β^{T}

，其中

α, β

为

n

维非零列向量，并记数

t = β^{T} α

。用结合律把相邻的

β^{T}

与

α

合并，得

A^{2} = (α β^{T}) (α β^{T}) = α (β^{T} α) β^{T} = t α β^{T} = t A .

再用归纳法：设

A^{k} = t^{k - 1} A

，则

A^{k + 1} = A^{k} A = t^{k - 1} A \cdot A = t^{k - 1} (t A) = t^{k} A

。故对一切

n \geq 1

，有

A^{n} = t^{n - 1} A = (tr A)^{n - 1} A

。这里用到

tr (α β^{T}) = \sum_{i} α_{i} β_{i} = β^{T} α = t

。

■

举例说明

【真题·数三 1999】 设

A = 101020101

，

n \geq 2

，求

A^{n} - 2 A^{n - 1}

。
解.（用第一种方法，即归纳找规律）先算

A^{2} = 202040202 = 2 A

。由

A^{2} = 2 A

递推得

A^{n} = 2^{n - 1} A

，

A^{n - 1} = 2^{n - 2} A

，于是

A^{n} - 2 A^{n - 1} = 2^{n - 1} A - 2 \cdot 2^{n - 2} A = 2^{n - 1} A - 2^{n - 1} A = O .

一旦发现

A^{2} = λ A

（本题中

λ = 2

），高次幂立即化为

A^{n} = λ^{n - 1} A

，这与秩为

1

的矩阵所满足的

A^{n} = (tr A)^{n - 1} A

出于同一道理。

3. 转置的反序公式 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ：凡是对乘积作整体变换，都要反序★★ 必会

乘积的转置要反序：

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

，写成

A^{T} B^{T}

是错误的。它与后面要学的逆

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

以及伴随

(A B)^{*} = B^{*} A^{*}

完全并列，凡是把两个矩阵的乘积作整体变换的运算，几乎都要反序，把它们放在一起记最为省力。由此立即得到一个常用的结论：对任意矩阵 $A$ ， $A^{T} A$ 与 $A A^{T}$ 都是对称矩阵。

证明 / 推导

$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ 的按元素证明. 设

A

为

m \times s

，

B

为

s \times n

。左边

(A B)^{T}

的

(i, j)

元

=

A B

的

(j, i)

元

= \sum_{k} a_{j k} b_{k i}

。
右边

B^{T} A^{T}

的

(i, j)

元

= \sum_{k} (B^{T})_{ik} (A^{T})_{k j} = \sum_{k} b_{k i} a_{j k}

。
二者逐项相等，故

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

。

■

推论：

(A^{T} A)^{T} = A^{T} (A^{T})^{T} = A^{T} A

，故

A^{T} A

是对称矩阵；同理

A A^{T}

也是对称矩阵。

举例说明

例. 设

A

为

n

阶方阵，证明

A + A^{T}

是对称矩阵、

A - A^{T}

是反对称矩阵，并由此说明任一方阵都可分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
解. 因

(A + A^{T})^{T} = A^{T} + A = A + A^{T}

，故它是对称的；又

(A - A^{T})^{T} = A^{T} - A = - (A - A^{T})

，故它是反对称的。于是

A = 对称 \frac{1}{2} (A + A^{T}) + 反对称 \frac{1}{2} (A - A^{T}) .

4. 迹的循环性 $tr (A B) = tr (B A)$ ：即使 $A B \neq = B A$ ，二者的迹也相等★ 要懂

迹

tr A = \sum_{i} a_{ii}

，即主对角线上各元素之和，有一条出人意料的性质： $tr (A B) = tr (B A)$ 恒成立，尽管

A B

与

B A

本身通常并不相等，甚至类型也不同。它是求迹一类题目的主要工具，也常用来证明某些矩阵方程无解（例如

A B - B A = E

是不可能的，因为两边取迹得

0 = n

，矛盾）。要注意循环性只对相邻的两个因子成立，即可以作循环移位

tr (A B C) = tr (B C A) = tr (C A B)

，但一般

\neq = tr (A C B)

。

证明 / 推导

证. 设

A

为

m \times n

，

B

为

n \times m

。则

A B

是

m

阶方阵，其

(i, i)

元为

\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k i}

，故

tr (A B) = i = 1 \sum m k = 1 \sum n a_{ik} b_{k i} .

同理

tr (B A) = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} b_{k i} a_{ik}

。这两个二重和只是求和的次序不同，各项完全相同，故二者相等。

■

举例说明

例. 证明：不存在

n

阶方阵

A, B

，使

A B - B A = E

。
解. 若这样的矩阵存在，则在两边取迹，得

tr (A B) - tr (B A) = tr (E) = n

。但由循环性

tr (A B) = tr (B A)

，故左边

= 0

，于是

0 = n

，矛盾。所以这样的

A, B

不存在。

■

💡 小知识

矩阵乘法用行乘列这条看着别扭的规则，是英国数学家凯莱在 1858 年定下的，为的是让两次线性代换的复合对应到系数表相乘。正因如此，它天然不满足交换律。而这个不交换的特性后来成了量子力学的数学骨架：海森堡的不确定性原理，根源就在于位置与动量这两个算符不对易，也就是

A B \neq = B A

。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

A = (2113)

，

B = (10 - 1 2)

。求

2 A - B

、

A B

、

B A

，并判断

A B

与

B A

是否相等。难度 1

数乘与加减是逐元素的：

2 A - B = (4226) - (10 - 1 2) = (3234) .

乘法用「左行乘右列」：结果

(i, j)

元

=

左矩阵第

i

行与右矩阵第

j

列对应相乘再求和。

A B = (2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 1 \cdot (- 1) + 3 \cdot 2) = (2105),

B A = (1 \cdot 2 + (- 1) \cdot 1 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 1 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 0 \cdot 1 + 2 \cdot 3) = (12 - 2 6) .

显然 $A B \neq = B A$ ，这体现矩阵乘法一般不满足交换律。

例 2 设

α = 21 - 2

。求

α^{T} α

与

α α^{T}

，并指出二者的本质区别。难度 1

$α^{T} α$ 是「行乘列」， $1 \times 3$ 乘 $3 \times 1$ 得一个数（即向量的内积、模长平方）：

α^{T} α = (21 - 2) 21 - 2 = 2^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2} = 9.

$α α^{T}$ 是「列乘行」， $3 \times 1$ 乘 $1 \times 3$ 得一个 $3$ 阶矩阵：

α α^{T} = 21 - 2 (21 - 2) = 42 - 4 21 - 2 - 4 - 2 4 .

结论：

α^{T} α = 9

（数），

α α^{T}

是

3

阶矩阵（秩为

1

），二者截然不同，务必分清顺序。

例 3 设

A = 100110011

，求

A^{n}

（

n

为正整数）。难度 2

技巧：把 $A$ 拆成「单位阵 $+$ 幂零阵」

A = E + N

，其中

N = 000100010

。计算

N

的方幂：

N^{2} = 000000100, N^{3} = O .

即

N

幂零，

N^{k} = O (k \geq 3)

。因

E

与

N

可交换，用二项式展开且三次以上项全为零：

A^{n} = (E + N)^{n} = E + n N + (2 n) N^{2} = 100 n 10 \frac{n ( n - 1 )}{2} n 1 .

（可用

n = 2

验证：

A^{2} = 100210121

，与公式中

\frac{n ( n - 1 )}{2} = 1

吻合。）

例 4 设

A = 121011

。求

A^{T} A

，并说明它为什么一定是对称矩阵。难度 2

A

是

3 \times 2

，故

A^{T}

是

2 \times 3

，

A^{T} A

是

2 \times 2

。

A^{T} A = (102111) 121011 = (1 + 4 + 1 0 + 2 + 1 0 + 2 + 1 0 + 1 + 1) = (6332) .

为什么必对称：由转置的反序公式

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

，有

(A^{T} A)^{T} = A^{T} (A^{T})^{T} = A^{T} A,

即

A^{T} A

等于自身的转置，故对任意矩阵

A

，

A^{T} A

恒为对称方阵（本例结果

(6332)

确实对称）。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设

3

阶矩阵

A

，

B

满足

A B + B A = A^{2} + B^{2}

，且

A \neq = B

，则下列结论错误的是（　　）。

A $(A - B)^{3} = O$
B $A - B$ 只有零特征值
C $A$ ， $B$ 不能都是对角矩阵
D $A - B$ 只有一个线性无关的特征向量

2026 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

已知向量组

α_{1} = 10 - 1 - 1

，

α_{2} = 1 - 1 0 - 2

，

α_{3} = 0 - 1 1 - 1

，

α_{4} = 01 - 1 1

，记

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

，

G = (α_{1}, α_{2})

。

（1）证明：

α_{1}, α_{2}

是

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

的极大线性无关组；

（2）求矩阵

H

使得

A = G H

，并求

A^{10}

。

2024 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为 3 阶矩阵，

P = 101010001

。若

P^{T} A P^{2} = a + 2 c 0 2 c 0 b 0 c 0 c

，则

A =

（　　）。

A $c 00 0 a 0 00 b$
B $b 00 0 c 0 00 a$
C $a 00 0 b 0 00 c$
D $c 00 0 b 0 00 a$

2021 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

已知矩阵

A = 12 - 1 0 - 1 2 - 1 1 - 5

，若存在下三角可逆矩阵

P

与上三角可逆矩阵

Q

，使

P A Q

为对角矩阵，则

P, Q

可分别为（　　）。

A $100010001, 100010131$ 。
B $12 - 3 0 - 1 2 001, 100010001$ 。
C $12 - 3 0 - 1 2 001, 100010131$ 。
D $101013001, 100 2 - 1 0 - 3 21$ 。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A = (1031)

，则

A^{2} =

（　）

A $(1061)$
B $(1031)$
C $(1091)$
D $(1062)$

练习 2 · 填空题

(23) (1 - 2) =

____。

练习 3 · 选择题

设

A, B

为

n

阶方阵，则

(A + B) (A - B) =

（　）

A $A^{2} - B^{2}$
B $A^{2} - A B + B A - B^{2}$
C $A^{2} + A B - B A - B^{2}$
D $A^{2} - 2 A B + B^{2}$

练习 4 · 填空题

设

α = 112

，

β = 121

，

A = α β^{T}

，且

A^{2} = k A

，则常数

k =

____。

练习 5 · 填空题

设

A = (10 - 1 1)

，则

A^{100}

的第

1

行第

2

列元素为 ____。

练习 6 · 选择题

设

A, B

均为

n

阶矩阵，且满足

A B = A + B

，

E

为

n

阶单位矩阵。则下列结论中正确的是（　）

A $A$ 必可逆
B $A + B$ 必可逆
C必有 $A B \neq = B A$
D $A - E$ 必可逆，且 $(A - E)^{- 1} = B - E$

练习 7 · 填空题

设

α = (1, 2, - 1)^{T}

，

E

为

3

阶单位矩阵，

A = E - \frac{1}{3} α α^{T}

，则

A^{2025} =

____。

练习 8 · 解答题

设

α = (1, 2, 3)^{T}

，

β = (1, 1, 1)^{T}

，

A = α β^{T}

，

E

为

3

阶单位矩阵。

(1) 求

A^{n}

（

n

为正整数）；

(2) 证明

E + A

可逆，并求

(E + A)^{- 1}

；

(3) 求

∣ E + A ∣

与

∣ E - A ∣

。

2018 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

设

A

为

3

阶矩阵，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是线性无关的向量组。若

A α_{1} = α_{1} + α_{2}, A α_{2} = α_{2} + α_{3}, A α_{3} = α_{1} + α_{3}

，则

∣ A ∣ =

______。

2009 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设

A, P

均为

3

阶矩阵，

P^{T}

为

P

的转置矩阵，且

P^{T} A P = 100010002

。若

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

，则

Q^{T} A Q

为（　　）。

A $210110002$ .
B $110120002$ .
C $200010002$ .
D $100020002$ .

矩阵的运算

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 矩阵运算与数的运算的三条重要差别：不可交换、无零因子律、存在幂零矩阵★★ 必会

2. 求 An 的三种方法：归纳找规律、分解为 E+ 幂零后用二项式、秩为 1 时提出标量★★ 必会

3. 转置的反序公式 (AB)T=BTAT：凡是对乘积作整体变换，都要反序★★ 必会

4. 迹的循环性 tr(AB)=tr(BA)：即使 AB=BA，二者的迹也相等★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 求 $A^{n}$ 的三种方法：归纳找规律、分解为 $E +$ 幂零后用二项式、秩为 $1$ 时提出标量★★ 必会

3. 转置的反序公式 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ：凡是对乘积作整体变换，都要反序★★ 必会

4. 迹的循环性 $tr (A B) = tr (B A)$ ：即使 $A B \neq = B A$ ，二者的迹也相等★ 要懂