伴随矩阵

§9.6 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.21 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

1.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）行列式的概念与性质矩阵的运算逆矩阵

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 基本恒等式 $A A^{} = A^{} A = ∣ A ∣ E$ 的完整证明：同行展开得 $∣ A ∣$ ，异行假展开得 $0$ ★ 要懂

伴随矩阵的一切性质都由

A A^{*} = ∣ A ∣ E

推出，因此必须会证、会用。它对任意方阵都成立，并不要求可逆。证明所依据的是行列式的两条展开定理：同一行按它自己的代数余子式展开 $= ∣ A ∣$ ；某行的元素乘以另一行的代数余子式（即异行的假展开） $= 0$ 。

证明 / 推导

记

A^{*}

的

(k, s)

元为

(A^{*})_{k s} = A_{s k}

（即代数余子式按转置排列）。乘积

A A^{*}

的

(i, s)

元为

(A A^{*})_{i s} = k = 1 \sum n a_{ik} (A^{*})_{k s} = k = 1 \sum n a_{ik} A_{s k} .

- 当 $i = s$ ：

\sum_{k} a_{ik} A_{ik} = ∣ A ∣

（这是第

i

行按它自己的代数余子式展开，所得就是行列式）。
- 当 $i \neq = s$ ：

\sum_{k} a_{ik} A_{s k}

等于把

A

的第

s

行换成第

i

行所得矩阵的行列式。该矩阵有两行相同（第

i

、

s

行都成了第

i

行），故行列式为

0

。
于是

(A A^{*})_{i s} = ∣ A ∣ δ_{i s}

，即

A A^{*} = ∣ A ∣ E

。对列作同样的论证，可得

A^{*} A = ∣ A ∣ E

。

■

2. 伴随矩阵的秩的三种情形 $r (A^{}) \in {n, 1, 0}$ 的严格证明★★ 必会*

r (A^{*}) = ⎩ ⎨ ⎧ n, 1, 0, r (A) = n r (A) = n - 1 r (A) \leq n - 2

，其中中间的一种情形 $r (A) = n - 1 \Rightarrow r (A^{*}) = 1$ 最容易遗漏。这是选择题中的常考点。它的证明把恒等式、秩的不等式与子式的定义这三种工具联系在一起，很值得仔细体会。

证明 / 推导

分三种情形讨论（设

A

为

n

阶方阵）：
(1) $r (A) = n$ ：此时

∣ A ∣ \neq = 0

，

A

可逆，

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

也可逆，故

r (A^{*}) = n

。
(2) $r (A) = n - 1$ ：此时

∣ A ∣ = 0

，由恒等式得

A A^{*} = ∣ A ∣ E = O

，这说明

A^{*}

的每一列都是

A x = 0

的解，而解空间的维数

= n - r (A) = 1

，故

r (A^{*}) \leq 1

。另一方面，

r (A) = n - 1

意味着

A

有非零的

n - 1

阶子式，即存在代数余子式

A_{ij} \neq = 0

，故

A^{*} \neq = O

，

r (A^{*}) \geq 1

。综合两方面得

r (A^{*}) = 1

。
(3) $r (A) \leq n - 2$ ：此时

A

的一切

n - 1

阶子式全为零，即所有的

A_{ij} = 0

，故

A^{*} = O

，

r (A^{*}) = 0

。

■

举例说明

【真题·数三 2019】 设

A

是

4

阶矩阵，

A^{*}

为它的伴随矩阵。若

A x = 0

的基础解系只含

2

个向量，则

r (A^{*}) =

（　）。
(A)

0

；(B)

1

；(C)

2

；(D)

3

。
解. 选 (A)。基础解系含

2

个向量，即

n - r (A) = 2

，故

r (A) = 4 - 2 = 2

。按上述三种情形判断，

r (A) = 2 < n - 1 = 3

，属于最低的一种情形，故

r (A^{*}) = 0

。（如果改为

r (A) = 3 = n - 1

，就属于中间的一种情形，

r (A^{*}) = 1

。这一种情形最容易出错。）

3. $A^{}$ 的特征值 $= \frac{∣ A ∣}{λ _{i}}$ ：不必求出 $A^{}$ 就能得到它的全部特征值★★ 必会

求

A^{*}

的特征值、迹与行列式时，不必真的把

A^{*}

算出来，所依据的仍是

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

。当 $A$ 可逆且其特征值为 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ 时， $A^{*}$ 的特征值为 $\frac{∣ A ∣}{λ _{1}}, \dots, \frac{∣ A ∣}{λ _{n}}$ ，并且与 $A$ 有相同的特征向量。由于

∣ A ∣ = \prod λ_{i}

，每个

\frac{∣ A ∣}{λ _{i}} = \prod_{j \neq = i} λ_{j}

，即等于其余特征值之积。

证明 / 推导

设

A

可逆，且

A x = λ x

（其中

x \neq = 0

，

λ \neq = 0

）。两边左乘

A^{- 1}

，得

A^{- 1} x = \frac{1}{λ} x

。于是

A^{*} x = ∣ A ∣ A^{- 1} x = ∣ A ∣ \cdot \frac{1}{λ} x = \frac{∣ A ∣}{λ} x,

即

\frac{∣ A ∣}{λ}

是

A^{*}

的特征值，而

x

是对应的特征向量。对

A

的

n

个特征值逐一这样做，即得

A^{*}

的全部特征值。

■

举例说明

【真题·数三 1991】 设

A

为

n

阶可逆矩阵，

λ

是

A

的一个特征值，则

A^{*}

必有一个特征值为（　）。
(A)

λ^{- 1} ∣ A ∣^{n}

；(B)

λ^{- 1} ∣ A ∣

；(C)

λ ∣ A ∣

；(D)

λ ∣ A ∣^{n}

。
解. 选 (B)。所用的关系是

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

：由

A x = λ x

（因

A

可逆，故

λ \neq = 0

）得

A^{- 1} x = λ^{- 1} x

，于是

A^{*} x = ∣ A ∣ A^{- 1} x = \frac{∣ A ∣}{λ} x

，其特征值即为

λ^{- 1} ∣ A ∣

，而特征向量不变。附带指出：若

A

的特征值为

1, 2, 4

，则

∣ A ∣ = 8

，

A^{*}

的特征值为

\frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{4} = 8, 4, 2

，故

tr (A^{*}) = 14

，

∣ A^{*} ∣ = 64 = ∣ A ∣^{2}

。

4. 解题的基本手法：遇到 $A^{}$ 先换成 $∣ A ∣ A^{- 1}$ ★★ 必会*

含有

A^{*}

的行列式、逆矩阵与矩阵方程问题，第一步几乎都是把 $A^{*}$ 换成 $∣ A ∣ A^{- 1}$ （这里要求

A

可逆），化成只含

A

或

A^{- 1}

的式子，再用

∣ k B ∣ = k^{n} ∣ B ∣

、

∣ A^{- 1} ∣ = 1/∣ A ∣

完成计算。如果反过来，已知

A^{*}

求

A

，那么先由

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

定出

∣ A ∣

，再用

A = ∣ A ∣ (A^{*})^{- 1}

即可。必须注意，当

n

为奇数时，

∣ A ∣

的符号可能不唯一，此时答案为

\pm A

。

举例说明

【真题·数三 1988，正向】 设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = \frac{1}{2}

，求

(3 A)^{- 1} - 2 A^{*}

。
解.（第一步：

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1} = \frac{1}{2} A^{- 1}

）

(3 A)^{- 1} - 2 A^{*} = \frac{1}{3} A^{- 1} - 2 \cdot \frac{1}{2} A^{- 1} = (\frac{1}{3} - 1) A^{- 1} = - \frac{2}{3} A^{- 1} .

故（

n = 3

）

(3 A)^{- 1} - 2 A^{*} = - \frac{2}{3} A^{- 1} = (- \frac{2}{3})^{3} ∣ A^{- 1} ∣ = - \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{∣ A ∣} = - \frac{8}{27} \cdot 2 = - \frac{16}{27} .

【反向例】 设

3

阶

A^{*} = diag (1, 1, 4)

，求

A

。由

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{2} = 4

得

∣ A ∣ = \pm 2

，

A = ∣ A ∣ (A^{*})^{- 1} = \pm 2 diag (1, 1, \frac{1}{4}) = \pm diag (2, 2, \frac{1}{2})

。因

3

阶时

(- A)^{*} = A^{*}

，两符号都成立，须都写。

💡 小知识

伴随矩阵给出的求逆公式

A^{- 1} = A^{*} /∣ A ∣

在理论上有个突出的好处：整个式子只做一次除法，逆矩阵的每个元素都是原矩阵元素的多项式，再除以同一个

∣ A ∣

。正因如此，它在抽象证明和符号运算里无可替代；至于数值计算，人们还是更愿意用又快又稳的高斯消元。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

A = (1324)

的伴随矩阵

A^{*}

，并验证

A A^{*} = ∣ A ∣ E

。难度 1

二阶伴随的速记法：主对角对调、副对角变号（即

(a c b d)^{*} = (d - c - b a)

）。故

A^{*} = (4 - 3 - 2 1) .

验证核心恒等式（

∣ A ∣ = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = - 2

）：

A A^{*} = (1324) (4 - 3 - 2 1) = (4 - 6 12 - 12 - 2 + 2 - 6 + 4) = (- 2 0 0 - 2) = - 2 E = ∣ A ∣ E .

与

A A^{*} = ∣ A ∣ E

完全吻合。

例 2 设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = 2

，求

∣ A^{*} ∣

。难度 2

用核心恒等式 $A A^{*} = ∣ A ∣ E$ 两边取行列式（

n = 3

）：

∣ A ∣ ∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣ E = ∣ A ∣^{n} = ∣ A ∣^{3} .

因

∣ A ∣ = 2 \neq = 0

，两边约去

∣ A ∣

：

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1} = ∣ A ∣^{2} = 2^{2} = 4.

通用结论：

n

阶方阵

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

（本题

n = 3

，故是

∣ A ∣^{2}

，不是

∣ A ∣^{3}

，指数别记错）。

例 3 设

A

为

4

阶方阵，

∣ A ∣ = - 1

，求

∣ A^{*} ∣

与

(A^{*})^{*}

。难度 2

n = 4

。第一问由公式

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

：

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{3} = (- 1)^{3} = - 1.

第二问用「伴随的伴随」公式

(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n - 2} A

（

n \geq 2

）：

(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{4 - 2} A = ∣ A ∣^{2} A = (- 1)^{2} A = A,

故

(A^{*})^{*} = ∣ A ∣ = - 1

。
（也可直接用

∣ (A^{*})^{*} ∣ = ∣ A ∣^{(n - 1)^{2}} = (- 1)^{9} = - 1

，两法一致。）

例 4 设

A

为

3

阶方阵，且

r (A) = 2

，求

r (A^{*})

。难度 2

用伴随矩阵的秩「三分法」：

n

阶方阵

r (A^{*}) = ⎩ ⎨ ⎧ n, 1, 0, r (A) = n, r (A) = n - 1, r (A) \leq n - 2.

本题

n = 3

，

r (A) = 2 = n - 1

，恰落在中间档，故

r (A^{*}) = 1

。
直观理由：

r (A) = 2 < 3

说明

∣ A ∣ = 0

，由

A A^{*} = ∣ A ∣ E = O

知

A^{*}

的列都是

A x = 0

的解，故

r (A^{*}) \leq n - r (A) = 1

；又

r (A) = 2

保证

A

有非零的

2

阶子式，即某个代数余子式

A_{ij} \neq = 0

，故

A^{*} \neq = O

，于是

r (A^{*}) = 1

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为

3

阶非零矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，若

A^{*} = - 2 A

，则

A^{2} =

（　　）。

A $- 4 00 0 - 4 0 00 - 4$
B $- 4 00 0 - 4 0 004$
C $- 4 00 040004$
D $400040004$

2024 年 · 数三 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

设

A

为 3 阶矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，

E

为 3 阶单位矩阵。若

r (2 E - A) = 1

，

r (E + A) = 2

，则

∣ A^{*} ∣ =

______。

2023 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶可逆矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，

M^{*}

为矩阵

M

的伴随矩阵，则

(A O E B)^{*} =

（　　）。

A $(∣ A ∣ B^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ B ∣ A^{*})$
B $(∣ B ∣ A^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ A ∣ B^{*})$
C $(∣ B ∣ A^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ A ∣ B^{*})$
D $(∣ A ∣ B^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ B ∣ A^{*})$

2020 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设 4 阶矩阵

A = (a_{ij})

不可逆，

a_{12}

的代数余子式

A_{12} \neq = 0

，

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

为矩阵

A

的列向量组，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则方程组

A^{*} x = 0

的通解为（　　）

A $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
B $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
C $x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
D $x = k_{1} α_{2} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

A

为

4

阶方阵，

∣ A ∣ = 2

，则

∣ A^{*} ∣ =

____。

练习 2 · 选择题

设

A

为

3

阶方阵，

r (A) = 1

，则

r (A^{*}) =

（　）

A $3$
B $1$
C $0$
D $2$

练习 3 · 填空题

设

A = (2153)

，则

A^{*} =

____。

练习 4 · 填空题

设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = - 2

，则

∣ A A^{*} ∣ =

____。

练习 5 · 选择题

设

A

为

n

阶可逆矩阵（

n \geq 2

），则

(A^{*})^{*} =

（　）

A $∣ A ∣^{n - 2} A$
B $∣ A ∣^{n - 1} A$
C $∣ A ∣ A$
D $∣ A ∣^{n} A^{- 1}$

练习 6 · 选择题

设

A

为

3

阶矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，且

∣ A ∣ = 2

，则

(\frac{1}{2} A)^{- 1} - 2 A^{*} =

（　）。

A $- \frac{1}{2}$
B $4$
C $- 8$
D $- 4$

练习 7 · 填空题

设

A = 132 0 - 1 1 210

，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则

A^{*}

的第 $3$ 行为 ____。

练习 8 · 解答题

设

A = 123246 36 a

，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵。

(1) 求

a

的值，使

A^{*} = O

；

(2) 当

a \neq = 9

时，求

A^{*}

（用

a

表示）与

r (A^{*})

；

(3) 当

a \neq = 9

时，求齐次线性方程组

A^{*} x = 0

的基础解系所含向量的个数；并验证

A^{*}

的每一个列向量都是

A x = 0

的解。

2019 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

A

是

4

阶矩阵，

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，若线性方程组

A x = 0

的基础解系中只有

2

个向量，则

r (A^{*}) =

（　　）

A $0$
B $1$
C $2$
D $3$

2013 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

设

A = (a_{ij})

是

3

阶非零矩阵，

∣ A ∣

为

A

的行列式，

A_{ij}

为

a_{ij}

的代数余子式。若

a_{ij} + A_{ij} = 0

（

i, j = 1, 2, 3

），则

∣ A ∣ =

______.

伴随矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 基本恒等式 AA∗=A∗A=∣A∣E 的完整证明：同行展开得 ∣A∣，异行假展开得 0★ 要懂

2. 伴随矩阵的秩的三种情形 r(A∗)∈{n,1,0} 的严格证明★★ 必会

3. A∗ 的特征值 =λi​∣A∣​：不必求出 A∗ 就能得到它的全部特征值★★ 必会

4. 解题的基本手法：遇到 A∗ 先换成 ∣A∣A−1★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 基本恒等式 $A A^{} = A^{} A = ∣ A ∣ E$ 的完整证明：同行展开得 $∣ A ∣$ ，异行假展开得 $0$ ★ 要懂

2. 伴随矩阵的秩的三种情形 $r (A^{}) \in {n, 1, 0}$ 的严格证明★★ 必会*

3. $A^{}$ 的特征值 $= \frac{∣ A ∣}{λ _{i}}$ ：不必求出 $A^{}$ 就能得到它的全部特征值★★ 必会

4. 解题的基本手法：遇到 $A^{}$ 先换成 $∣ A ∣ A^{- 1}$ ★★ 必会*