逆矩阵

§9.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.26 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

2.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算行列式的概念与性质③ 掌握后可解锁伴随矩阵相似矩阵

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 五个可逆判据的证明主线：为什么由 $∣ A ∣ \neq = 0$ 就能造出逆矩阵★★ 必会

对

n

阶方阵，

A

可逆

⟺ ∣ A ∣ \neq = 0 ⟺ r (A) = n ⟺ A x = 0

只有零解

⟺

列（行）向量线性无关。在这一串等价条件中， $∣ A ∣ \neq = 0 ⟺$ 可逆 是最基本的一条，其余各条都是满秩的不同说法。掌握了它的证明，也就明白了为什么算一个行列式就能判定可逆。所用的基本恒等式是

A A^{*} = A^{*} A = ∣ A ∣ E

。

证明 / 推导

( $\Leftarrow$ ) $∣ A ∣ \neq = 0 \Rightarrow$ 可逆. 由伴随矩阵的恒等式

A A^{*} = ∣ A ∣ E

，两边同除以非零数

∣ A ∣

，得

A (\frac{1}{∣ A ∣} A^{*}) (\frac{1}{∣ A ∣} A^{*}) A = E = E .

因此

B = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*}

就是

A

的逆矩阵，

A

可逆。
( $\Rightarrow$ ) 可逆 $\Rightarrow ∣ A ∣ \neq = 0$ . 若

A A^{- 1} = E

，两边取行列式，得

∣ A ∣ ∣ A^{- 1} ∣ = ∣ E ∣ = 1

，故

∣ A ∣ \neq = 0

，并且

∣ A^{- 1} ∣ = 1/∣ A ∣

。
于是

A

可逆

⟺ ∣ A ∣ \neq = 0

。再由

∣ A ∣ \neq = 0 ⟺ r (A) = n

与

r (A) = n ⟺ A x = 0

只有零解

⟺

列向量线性无关，即可把整条等价链连接起来。

■

2. 为什么验证逆矩阵只需验一边：对同阶方阵， $A B = E$ 自动推出 $B A = E$

按定义要验证

A B = B A = E

这两条，但对同阶方阵，只要验证

A B = E

这一条，另一条

B A = E

就自动成立，于是

B

便是

A^{- 1}

。这样在解题时可以省去一半工夫：要证

A

可逆，只需凑出

A M = E

即可。但前提必须是同阶方阵，长方形矩阵的单边等式并不能推出可逆。

证明 / 推导

设

A, B

都是

n

阶方阵，且

A B = E

。两边取行列式，得

∣ A ∣ ∣ B ∣ = 1

，故

∣ A ∣ \neq = 0

，可见

A

可逆，

A^{- 1}

存在。用

A^{- 1}

左乘

A B = E

的两边，得

A^{- 1} (A B) = A^{- 1} E \Rightarrow (A^{- 1} A) B = A^{- 1} \Rightarrow B = A^{- 1} .

于是

B A = A^{- 1} A = E

。可见只要

A B = E

这一条成立，就能保证

B = A^{- 1}

与

B A = E

。

■

3. 关于消去律：只有可逆矩阵才能约去★ 要懂

在数的运算中，

ab = a c, a \neq = 0 \Rightarrow b = c

；但在矩阵的运算中，由

A B = A C

不能随便约去

A

，除非

A

可逆。这是矩阵不满足无零因子律的直接后果，也是证明题中最常见的失误：见到

A B = A C

或

A B = O

就想消去

A

，必须先确认

A

可逆。

证明 / 推导

可逆时可以约去. 若

A

可逆，则在

A B = A C

两边左乘

A^{- 1}

，即得

B = C

。必须左乘，因为矩阵乘法不可交换；又只有逆矩阵存在时才有

A^{- 1} A = E

。

举例说明

不可逆时的反例. 取

A = (1000)

，这里

∣ A ∣ = 0

，故它不可逆；再取

B = (0001)

，

C = (0002)

。于是

A B = (0000) = A C, 但 B \neq = C .

可见当

A

不可逆时，由

A B = A C

决不能推出

B = C

。同样，由

A B = O

也不能推出

B = O

。

4. 幂零矩阵与满足多项式的矩阵求逆：几何级数与因式分解两种方法★★ 必会

抽象地求逆矩阵，常见的有两类题：
(1) 几何级数型：若

A^{k} = O

，即矩阵幂零，则

E - A

可逆，且

(E - A)^{- 1} = E + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}

。这与

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots

完全类似，只是由于

A^{k} = O

而只取有限项。
(2) 因式分解型：给出

A

的一个多项式等于

O

，把它整理成

A \cdot M = c E

的形状，其中

c \neq = 0

，即得

A^{- 1} = M / c

。两种方法的共同之处，都在于设法凑出 $E$ 。

证明 / 推导

几何级数公式的证明（逐项相消）. 设

A^{k} = O

，记

S = E + A + \dots + A^{k - 1}

。直接乘开，得

(E - A) S = (E + A + \dots + A^{k - 1}) - (A + A^{2} + \dots + A^{k}) = E - A^{k} = E - O = E .

同理

S (E - A) = E

。因此

E - A

可逆，且

(E - A)^{- 1} = S

。

■

举例说明

【真题·数三 2008】 设

A

为

n

阶非零矩阵，

E

为单位矩阵，若

A^{3} = O

，则（　）。
(A)

E - A, E + A

均不可逆；(B)

E - A

不可逆、

E + A

可逆；(C)

E - A, E + A

均可逆；(D)

E - A

可逆、

E + A

不可逆。
解. 选 (C)。用几何级数凑出单位阵：由

A^{3} = O

，得

E E = E - A^{3} = (E - A) (E + A + A^{2}) = E + A^{3} = (E + A) (E - A + A^{2})

故

E - A

与

E + A

都可逆，且

(E - A)^{- 1} = E + A + A^{2}

、

(E + A)^{- 1} = E - A + A^{2}

。凡遇

A^{k} = O

，

E \pm A

必可逆，其逆就是只取有限项的几何级数。

💡 小知识

先穿袜子后穿鞋，脱的时候先脱鞋后脱袜。逆矩阵的反序公式

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

就是这条生活常识的数学版本：要撤销一串操作，必须逆着顺序一步步倒回去。这种反序在线性代数的逆运算里几乎处处出现，转置和伴随也是一样。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

A = (2312)

的逆矩阵。难度 1

二阶用速记法「主对角对调、副对角变号，再除以行列式」。
先算

∣ A ∣ = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 1 \neq = 0

，故可逆。

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (2 - 3 - 1 2) = (2 - 3 - 1 2) .

验证：

A A^{- 1} = (2312) (2 - 3 - 1 2) = (1001) = E

，正确。

例 2 求

A = (1324)

的逆矩阵。难度 1

∣ A ∣ = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = - 2 \neq = 0

，可逆。用二阶公式：

A^{- 1} = \frac{1}{- 2} (4 - 3 - 2 1) = (- 2 \frac{3}{2} 1 - \frac{1}{2}) .

注意：行列式为负也照常处理，不要漏掉负号；每个元素都要除以

∣ A ∣ = - 2

。可验

A A^{- 1} = E

。

例 3 设方阵

A

满足

A^{2} - 2 A - 3 E = O

，证明

A

可逆，并求

A^{- 1}

。难度 2

思路：把已知式凑成「 $A \cdot (某矩阵) = k E$ 」， $k \neq = 0$ 即证可逆并读出逆。
由

A^{2} - 2 A - 3 E = O

得

A^{2} - 2 A = 3 E

，左边提取公因子

A

：

A (A - 2 E) = 3 E ⟹ A \cdot \frac{1}{3} (A - 2 E) = E .

因存在矩阵

B = \frac{1}{3} (A - 2 E)

使

A B = E

（同阶方阵），故

A

可逆，且

A^{- 1} = \frac{1}{3} (A - 2 E) .

全程不需 $A$ 的具体元素，这正是抽象逆矩阵题的通法：整理成

A \cdot M = k E

，则

A^{- 1} = M / k

。

例 4 用伴随矩阵法求

A = 120011101

的逆矩阵。难度 2

第一步：算行列式（沿第

1

行展开）：

∣ A ∣ = 1 \cdot 1101 - 0 + 1 \cdot 2011 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3 \neq = 0.

第二步：算 $9$ 个代数余子式

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}

：

A_{11} = 1, A_{12} = - 2, A_{13} = 2; A_{21} = 1, A_{22} = 1, A_{23} = - 1; A_{31} = - 1, A_{32} = 2, A_{33} = 1.

第三步：转置排列成伴随矩阵

A^{*} = (A_{j i})

（把代数余子式转置）：

A^{*} = A_{11} A_{12} A_{13} A_{21} A_{22} A_{23} A_{31} A_{32} A_{33} = 1 - 2 2 11 - 1 - 1 21 .

第四步：

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*} = \frac{1}{3} 1 - 2 2 11 - 1 - 1 21

。（可抽验

A A^{- 1} = E

。三阶以上则改用

(A ∣ E)

初等行变换更省力。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶可逆矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，

M^{*}

为矩阵

M

的伴随矩阵，则

(A O E B)^{*} =

（　　）。

A $(∣ A ∣ B^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ B ∣ A^{*})$
B $(∣ B ∣ A^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ A ∣ B^{*})$
C $(∣ B ∣ A^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ A ∣ B^{*})$
D $(∣ A ∣ B^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ B ∣ A^{*})$

2022 年 · 数三 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

设

A

为

3

阶矩阵，交换

A

的第

2

行和第

3

行，再将第

2

列的

- 1

倍加到第

1

列，得到矩阵

- 2 1 - 1 1 - 1 0 - 1 00

，则

A^{- 1}

的迹

tr (A^{- 1}) =

______.

2017 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

α

为

n

维单位列向量，

E

为

n

阶单位矩阵，则（　　）。

A $E - α α^{T}$ 不可逆
B $E + α α^{T}$ 不可逆
C $E + 2 α α^{T}$ 不可逆
D $E - 2 α α^{T}$ 不可逆

2015 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设矩阵

A = a 10 1 a 1 0 - 1 a

，且

A^{3} = O

。

（Ⅰ）求

a

的值；

（Ⅱ）若矩阵

X

满足

X - X A^{2} - A X + A X A^{2} = E

，其中

E

为

3

阶单位矩阵，求

X

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A = (3512)

，则

A^{- 1} =

（　）

A $(2 - 5 - 1 3)$
B $(2 - 1 - 5 3)$
C $(3 - 5 - 1 2)$
D $(- 2 5 1 - 3)$

练习 2 · 填空题

设

A

为

3

阶可逆矩阵，

∣ A ∣ = 3

，则

∣ A^{- 1} ∣ =

____。

练习 3 · 选择题

设

A, B

均为

n

阶可逆矩阵，则下列等式恒成立的是（　）

A $(A B)^{- 1} = A^{- 1} B^{- 1}$
B $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$
C $(A + B)^{- 1} = A^{- 1} + B^{- 1}$
D $(2 A)^{- 1} = 2 A^{- 1}$

练习 4 · 填空题

设

A

为

3

阶方阵，

∣ A ∣ = 2

，则

(2 A)^{- 1} =

____。

练习 5 · 选择题

下列矩阵中不可逆的是（　）

A $(1327)$
B $(2413)$
C $(1224)$
D $(1213)$

2010 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

设

A, B

为

3

阶矩阵，且

∣ A ∣ = 3, ∣ B ∣ = 2, ∣ A^{- 1} + B ∣ = 2

，则

∣ A + B^{- 1} ∣ =

______.

2008 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

A

为

n

阶非零矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，若

A^{3} = O

，则（　　）

A $E - A$ 不可逆， $E + A$ 不可逆.
B $E - A$ 不可逆， $E + A$ 可逆.
C $E - A$ 可逆， $E + A$ 可逆.
D $E - A$ 可逆， $E + A$ 不可逆.

逆矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 五个可逆判据的证明主线：为什么由 ∣A∣=0 就能造出逆矩阵★★ 必会

2. 为什么验证逆矩阵只需验一边：对同阶方阵，AB=E 自动推出 BA=E

3. 关于消去律：只有可逆矩阵才能约去★ 要懂

4. 幂零矩阵与满足多项式的矩阵求逆：几何级数与因式分解两种方法★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 五个可逆判据的证明主线：为什么由 $∣ A ∣ \neq = 0$ 就能造出逆矩阵★★ 必会

2. 为什么验证逆矩阵只需验一边：对同阶方阵， $A B = E$ 自动推出 $B A = E$