伴随矩阵

线性代数 · 矩阵

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 伴随矩阵：代数余子式排成的那张表，而且要转置

设

A

是

n

阶方阵，

A_{ij}

是元素

a_{ij}

的代数余子式。把这些

A_{ij}

排成矩阵再转置，得到的就是

A

的伴随矩阵，记作

A^{*}

：

A^{*} = A_{11} A_{12} ⋮ A_{1 n} A_{21} A_{22} ⋮ A_{2 n} \dots \dots \dots A_{n 1} A_{n 2} ⋮ A_{nn} .

注意下标：第

1

行是

A_{11}, A_{21}, \dots

——行标与列标是反的，这就是「要转置」的意思。

这是本节头号易错点：直接把

A_{ij}

放在第

i

行第

j

列是错的，必须放在第

j

行第

i

列。

二阶的伴随有个好记的形状：

A = (a c b d) \Rightarrow A^{*} = (d - c - b a),

正是主对角线对调、副对角线变号——和二阶求逆公式里那个矩阵一模一样（求逆公式就是它除以

∣ A ∣

）。

2. 核心公式： $A A^{} = A^{} A = ∣ A ∣ E$

这是伴随矩阵存在的全部理由：

A A^{*} = A^{*} A = ∣ A ∣ E .

它为什么成立：乘积的第

(i, i)

个元素是

a_{i 1} A_{i 1} + \dots + a_{in} A_{in} = ∣ A ∣

（展开定理，同一行的元素乘自己的代数余子式）；第

(i, j)

个（

i \neq = j

）元素是

a_{i 1} A_{j 1} + \dots + a_{in} A_{j n} = 0

（异乘变零，某行乘另一行的代数余子式）。于是对角线全是

∣ A ∣

、其余全是零，正好是

∣ A ∣ E

。

行列式那一章的两条结论，在这里合成了一个公式——这也解释了伴随矩阵为什么非要转置：不转置的话凑不出「异乘变零」那个形状。

由它立刻得到求逆公式（

∣ A ∣ \neq = 0

时）：

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*} .

这是三阶求逆的第二条路（另一条是初等变换）。二阶用它最快；三阶要算九个代数余子式，不如初等变换；四阶以上基本不用。

3. 几条关于 $A^{*}$ 的常考公式

设

A

是

n

阶方阵（

n \geq 2

）：

∣ A^{*} ∣ (A^{*})^{*} (k A)^{*} (A^{*})^{- 1} = ∣ A ∣^{n - 1}, = ∣ A ∣^{n - 2} A (n \geq 3), = k^{n - 1} A^{*}, = \frac{1}{∣ A ∣} A (∣ A ∣ \neq = 0) .

第一条最常考，而且能自己推：对

A A^{*} = ∣ A ∣ E

两边取行列式，

∣ A ∣ ∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣ E = ∣ A ∣^{n},

∣ A ∣ \neq = 0

时两边除以

∣ A ∣

即得。

（右端那一步用了

∣ k E ∣ = k^{n}

——那个 $n$ 次方正是上一章「 $∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣$ 」的老问题，别写成

∣ A ∣

。）

还有一条关于秩的，考得很多：

r (A^{*}) = ⎩ ⎨ ⎧ n, 1, 0, r (A) = n, r (A) = n - 1, r (A) < n - 1.

中间那一行最容易忘：

A

只差一点点满秩时，

A^{*}

的秩恰好是

1

。

4. 三条求逆的路，什么时候用哪一条

到这里求逆有三条路：

二阶 三阶及以上 抽象、证明题 公式 初等变换 A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*}

伴随法在具体计算上并不快：三阶要算九个代数余子式，每个都是二阶行列式，还容易把符号弄错。

但它在抽象题里不可替代：题目给出

A^{*}

的信息、或者要证某个含

A^{*}

的等式时，靠的全是

A A^{*} = ∣ A ∣ E

这个公式。

抽象题的通用办法：把题目里的

A^{*}

用

∣ A ∣ A^{- 1}

换掉（当

∣ A ∣ \neq = 0

时），整个式子就只剩

A

与

A^{- 1}

，好办多了。

反过来，已知的是

A^{*}

而要求

A

时，先用

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

求出

∣ A ∣

，再由

A = ∣ A ∣ (A^{*})^{- 1}

得到。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求伴随矩阵：算余子式，排进去时行列反过来

第一步：按棋盘图标出每个位置的符号

(- 1)^{i + j}

。

第二步：逐个算代数余子式

A_{ij}

（划掉第

i

行第

j

列）。

第三步：把

A_{ij}

放到第 $j$ 行第 $i$ 列——下标是反的。

第四步：验算

A A^{*} = ∣ A ∣ E

，这是唯一可靠的自查。

例例. 求

A = (1324)

的伴随矩阵。

第一步，棋盘符号

(+ - - +)

。

第二步，逐个算代数余子式（划掉所在行列，二阶时余子式就是剩下那个数）：

A_{11} = 4, A_{12} = - 3, A_{21} = - 2, A_{22} = 1.

第三步，排进去时下标反过来：

A_{ij}

放到第

j

行第

i

列。所以

A_{12} = - 3

放在第

2

行第

1

列：

A^{*} = (4 - 3 - 2 1) .

第四步，验算

A A^{*} = (- 2 0 0 - 2) = ∣ A ∣ E

✓ 这是唯一可靠的自查。

二阶时「下标反过来」看起来就是主对角线对调、副对角线变号——正是前面二阶求逆公式的来源。

抽象题：先把 $A^{*}$ 换掉

第一步：确认

∣ A ∣ \neq = 0

。

第二步：把所有

A^{*}

换成

∣ A ∣ A^{- 1}

。

第三步：用

A

与

A^{- 1}

的熟规律化简（注意反序、注意不能对加法用）。

第四步：

∣ A ∣ = 0

时换不了，回到

A A^{*} = O

做。

例例. 化简

A^{*} A^{- 1}

（

A

是

n

阶）。

第一步，确认

∣ A ∣ \neq = 0

，否则

A^{- 1}

不存在。

第二步，把所有

A^{*}

换成

∣ A ∣ A^{- 1}

：

A^{*} A^{- 1} = ∣ A ∣ A^{- 1} A^{- 1} = ∣ A ∣ A^{- 2} .

第三步，用

A

与

A^{- 1}

的熟规律化简。注意两条：反序

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

；不能对加法用，

(A + B)^{*} \neq = A^{*} + B^{*}

。

第四步，

∣ A ∣ = 0

时这一招用不了，要回到

A A^{*} = O

做——那时能推出

r (A^{*}) \leq 1

这类结论。

把 $A^{*}$ 换成 $∣ A ∣ A^{- 1}$ 是这类题唯一的开局，不换就只能对着一堆余子式发呆。

指数类公式：现推比背稳

第一步：从

A A^{*} = ∣ A ∣ E

出发。

第二步：两边取行列式，右端用

∣ k E ∣ = k^{n}

。

第三步：得

∣ A ∣∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n}

，除一下就是

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

。

第四步：写之前把 $n$ 是几标在旁边，指数错是这类题唯一的失分点。

例例. 推出

∣ A^{*} ∣

的公式（

A

是

n

阶，

∣ A ∣ \neq = 0

）。

第一步，从

A A^{*} = ∣ A ∣ E

出发。

第二步，两边取行列式，右端用

∣ k E ∣ = k^{n}

：

∣ A ∣ ∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣ E = ∣ A ∣^{n} .

第三步，两边除以

∣ A ∣

：

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1} .

第四步，先把 $n$ 是几标在旁边。

A

三阶、

∣ A ∣ = 2

时

∣ A^{*} ∣ = 2^{2} = 4

；误当成四阶就会答

8

。

指数错是这类题唯一的失分点，而现推只要三行——比背一堆形状相近的公式稳得多。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

伴随矩阵忘了转置

(A^{*})_{ij} = A_{j i}

，下标是反的。直接把

A_{ij}

放在第

i

行第

j

列是错的。

这是本节头号易错点。拿二阶验一次只要五秒。

$∣ A^{*} ∣$ 的指数写成 $n$

正确的是

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

——推导时有一个

∣ A ∣

被除掉了。

记不住就现推：

A A^{*} = ∣ A ∣ E

两边取行列式，两行就出来。

$∣ ∣ A ∣ E ∣$ 算成 $∣ A ∣$

∣ A ∣ E = ∣ A ∣^{n}

——数乘要提 $n$ 次方。

这是上一章

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣

的老问题，在伴随这里又出现一次。写之前把

n

标出来。

$r (A^{*})$ 漏掉中间那一档

r (A) = n - 1

时

r (A^{*}) = 1

，这一档最容易忘。

三档是：满秩对满秩、差一级对

1

、差两级以上对

0

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 怎么排

练 1

伴随矩阵

A^{*}

的第

i

行第

j

列元素是（）。

A $a_{ij}$
B $A_{ij}$
C $A_{j i}$
D $M_{ij}$

练 2

(a c b d)^{*} = (d - c - b)

，横线上填 ________。

练 3

核心公式

A A^{*} = A^{*} A = ∣ A ∣ E

中，等号右端是单位矩阵的 ________ 倍（填一个记号，用

A

表示）。

练 4

由

A A^{*} = ∣ A ∣ E

可得（

∣ A ∣ \neq = 0

）（）。

A $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*}$
B $A^{- 1} = ∣ A ∣ A^{*}$
C $A^{*} = A^{- 1}$
D $A^{*} = ∣ A ∣ E$

第二组 · 算与推

练 5

A = (1324)

的伴随矩阵第

1

行是

(4,

________

)

。

练 6

设

A

为

n

阶方阵，则

∣ A^{*} ∣ =

（）。

A $∣ A ∣^{n}$
B $∣ A ∣^{n - 1}$
C $∣ A ∣$
D $n ∣ A ∣$

练 7

设

A

是

3

阶方阵且

∣ A ∣ = 2

，则

∣ A^{*} ∣ =

________。

练 8

设

E

为

3

阶单位矩阵，则

∣2 E ∣ =

________。

第三组 · 抽象题

练 9

抽象题里出现

A^{*}

，

∣ A ∣ \neq = 0

时第一步应当（）。

A把 $A^{*}$ 换成 $∣ A ∣ A^{- 1}$
B把 $A^{*}$ 换成 $A^{T}$
C逐个算代数余子式
D把 $A^{*}$ 换成 $A^{- 1}$

练 10

设

A

是

3

阶方阵且

∣ A ∣ = 2

，则

∣ 2 A^{*} ∣ =

________。

练 11

设

A

是

4

阶方阵且

r (A) = 3

，则

r (A^{*}) =

（）。

A $4$
B $3$
C $0$
D $1$

练 12

求三阶矩阵的逆，通常最省事的办法是（）。

A伴随矩阵法
B初等行变换 $(A ∣ E) \to (E ∣ A^{- 1})$
C二阶公式
D直接解方程

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

伴随矩阵

先打基础

1. 伴随矩阵：代数余子式排成的那张表，而且要转置

2. 核心公式：AA∗=A∗A=∣A∣E

3. 几条关于 A∗ 的常考公式

4. 三条求逆的路，什么时候用哪一条

常用结构

求伴随矩阵：算余子式，排进去时行列反过来

抽象题：先把 A∗ 换掉

指数类公式：现推比背稳

基础易错

伴随矩阵忘了转置

∣A∗∣ 的指数写成 n

∣∣A∣E∣ 算成 ∣A∣

r(A∗) 漏掉中间那一档

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 核心公式： $A A^{} = A^{} A = ∣ A ∣ E$

3. 几条关于 $A^{*}$ 的常考公式

抽象题：先把 $A^{*}$ 换掉

$∣ A^{*} ∣$ 的指数写成 $n$

$∣ ∣ A ∣ E ∣$ 算成 $∣ A ∣$

$r (A^{*})$ 漏掉中间那一档