分块矩阵

§9.5 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.29 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

0.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 分块乘法为什么成立，以及必须遵守的一条规则：块的左右次序不能颠倒★ 要懂

把子块当作元素来作加法、数乘与乘法都是成立的，只是作乘法时必须保持各块的左右次序，因为矩阵的乘法不满足交换律。运算成立的前提是分块方式相容：作

M N

时，左边矩阵 $M$ 的列的分法必须与右边矩阵 $N$ 的行的分法一致，这样每一对块的乘积才在维数上匹配。只要注意这一条，就可以放心地把高阶矩阵按块运算。

证明 / 推导

为什么按块作行乘列与按元素作行乘列所得相同. 设

M = (M_{pq})

、

N = (N_{q r})

已按相容的方式分块，考察乘积

(M N)_{p r}

中某一个具体的元素

c_{ij}

，其中

i

落在第

p

个行块内，

j

落在第

r

个列块内。按元素的定义有

c_{ij} = \sum_{k} m_{ik} n_{k j}

，把求和指标

k

按列块分组，便得

c_{ij} = q \sum (k \in 块 q \sum m_{ik} n_{k j}) = q \sum (M_{pq} N_{q r})_{ij} .

右端恰是块

\sum_{q} M_{pq} N_{q r}

中相应位置的元素。可见先分组再求和所得结果不变，故按块相乘

=

按元素相乘。这里的分组要求

M

的列的分法与

N

的行的分法一致，否则

M_{pq} N_{q r}

在维数上就不匹配。

■

2. 分块三角行列式 $A O C B = ∣ A ∣ ∣ B ∣$ ：右上角的 $C$ 为什么不起作用★★ 必会

只要在对角线的一侧出现零块，行列式就可以拆成两个对角块的行列式之积，而非对角的块（这里的

C

）完全不参与运算。这是分块矩阵中最实用的行列式公式，它把一个高阶行列式化为两个低阶行列式。必须注意，公式要求 $A, B$ 都是方阵。

证明 / 推导

设

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵。只在前 $m$ 行之内作初等行变换，把

A

化为上三角矩阵

U_{A}

；这些变换对整个大矩阵的行列式的影响，与单独对

A

作变换时完全相同，因为对前

m

行的运算不牵动下方的

O

块。同理，只在后 $n$ 行之内把

B

化为上三角矩阵

U_{B}

。这时整个

(m + n)

阶矩阵成为上三角形，其行列式等于主对角元之积，而这些主对角元恰好是

U_{A}

与

U_{B}

的对角元，故

A O C B = (U_{A} 的对角元之积) (U_{B} 的对角元之积) = ∣ A ∣ ∣ B ∣.

在整个过程中，

C

块始终位于上三角部分，不进入对角元之积，所以不影响结果。

■

3. 副对角分块矩阵：行列式中的符号 $(- 1)^{mn}$ 与交叉求逆

副对角分块矩阵

(O B A O)

（其中

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵）的行列式为

(- 1)^{mn} ∣ A ∣∣ B ∣

，与主对角的情形相比多出一个符号；求逆时则要把两块交叉放置。这个

(- 1)^{mn}

是最容易遗漏的。

证明 / 推导

符号的来历. 把

(O B A O)

的上

m

行与下

n

行整体对调，就化为分块对角矩阵

(B O O A)

，其行列式为

∣ B ∣∣ A ∣

。而把上

m

行移到下方，须使其中每一行都越过下面的

n

行，共作

m \times n

次相邻两行的对换，每对换一次便产生一个因子

- 1

，故

O B A O = (- 1)^{mn} B O O A = (- 1)^{mn} ∣ A ∣ ∣ B ∣.

交叉求逆. 直接验证

(O B A O) (O A^{- 1} B^{- 1} O) = (A A^{- 1} O O B B^{- 1}) = E

，故所求的逆为

(O A^{- 1} B^{- 1} O)

，其中

A^{- 1}, B^{- 1}

交叉放置。

■

举例说明

【真题·数三 1992】 设

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵，

∣ A ∣ = a

，

∣ B ∣ = b

，

C = (O B A O)

，求

∣ C ∣

。
解. 这是副对角分块矩阵，用公式

O B A O = (- 1)^{mn} ∣ A ∣ ∣ B ∣

，得

∣ C ∣ = (- 1)^{mn} ab

。符号是怎样产生的：把

A

所在的

m

列整体移到最前面，须越过

B

所在的

n

列，共作

mn

次相邻两列的对换，每次变号，故得因子

(- 1)^{mn}

；其余的分块对角形贡献

∣ A ∣ ∣ B ∣

。这个

(- 1)^{mn}

是最容易遗漏的一分。

4. 分块上三角矩阵求逆的待定系数法：设逆为同一结构，再由 $M M^{- 1} = E$ 比较各块★ 要懂

求

M = (A O C B)

（其中

A, B

可逆）的逆矩阵，通用的做法是设它的逆为同一结构的分块矩阵

(X Z Y W)

，再由

M M^{- 1} = E

比较四个块，逐一解出。先设块、再比较，是分块求逆的基本方法，比直接计算

(m + n)

阶矩阵的逆省力得多。所得的结论应当熟记：

(A O C B)^{- 1} = (A^{- 1} O - A^{- 1} C B^{- 1} B^{- 1}) .

证明 / 推导

推导. 设所求的逆为

(X Z Y W)

，则

(A O C B) (X Z Y W) = (A X + C Z B Z A Y + C W B W) = (E O O E) .

由

B Z = O

且

B

可逆，得

Z = O

；由

B W = E

得

W = B^{- 1}

；代入

A X + C Z = E

，得

A X = E

，即

X = A^{- 1}

；再代入

A Y + C W = O

，得

A Y = - C B^{- 1}

，即

Y = - A^{- 1} C B^{- 1}

。

■

举例说明

例. 求

M = (A O C B)

的逆，其中

A = (1011), B = E_{2}, C = (2301)

。
解. 此时

A^{- 1} = (10 - 1 1)

，

B^{- 1} = E

，而

- A^{- 1} C B^{- 1} = - A^{- 1} C = - (10 - 1 1) (2301) = - (- 1 3 - 1 1) = (1 - 3 1 - 1)

。故

M^{- 1} = 1000 - 1 100 1 - 3 10 1 - 1 01 .

💡 小知识

分块矩阵是分而治之的想法在线性代数里的体现。现代的超大规模矩阵计算，比如训练神经网络、模拟天气，几乎都要靠分块：把一个装不进内存的巨型矩阵切成小块，分发给成百上千个处理器并行运算。你手算时眯起眼睛把矩阵看成几个大格子，依据的和超级计算机加速时用的是同一个原理。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

A = (1123)

，

B = (2312)

，

M = (A O O B)

为

4

阶分块对角矩阵。求

∣ M ∣

与

M^{- 1}

。难度 1

分块对角阵「按块各管各」：行列式是各块之积，逆是各块分别求逆。

∣ M ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = 1 \cdot 1 = 1.

因

∣ A ∣ = 1 \neq = 0, ∣ B ∣ = 1 \neq = 0

，

M

可逆。二阶公式得

A^{- 1} = (3 - 1 - 2 1)

，

B^{- 1} = (2 - 3 - 1 2)

，故

M^{- 1} = (A^{- 1} O O B^{- 1}) = 3 - 1 00 - 2 100 002 - 3 00 - 1 2 .

例 2 设

A = (1213)

，

B = (3121)

，

M = (O B A O)

为

4

阶矩阵。求

∣ M ∣

与

M^{- 1}

。难度 2

这是副对角分块，

A, B

均为

2

阶，故

m = n = 2

。
行列式（记牢符号

(- 1)^{mn}

）：

∣ M ∣ = (- 1)^{mn} ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (- 1)^{4} (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2) (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.

∣ A ∣ = ∣ B ∣ = 1 \neq = 0

，

M

可逆。副对角求逆用「交叉」公式

(O B A O)^{- 1} = (O A^{- 1} B^{- 1} O)

，其中

A^{- 1} = (3 - 2 - 1 1)

，

B^{- 1} = (1 - 1 - 2 3)

。故

M^{- 1} = (O A^{- 1} B^{- 1} O) = 003 - 2 00 - 1 1 1 - 1 00 - 2 300 .

（可验

M M^{- 1} = E_{4}

；注意逆是交叉放置，别原位求逆。）

例 3 计算分块三角矩阵的行列式

D = 210011004712 0 - 2 35

。难度 2

识别分块结构：左下角是

2 \times 2

零块，故这是分块上三角

(A O C B)

，其中

A = (2111), B = (1235), C = (47 0 - 2) .

分块三角行列式公式

A O C B = ∣ A ∣ ∣ B ∣

（右上角的 $C$ 不影响结果）：

D = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) (1 \cdot 5 - 3 \cdot 2) = (1) (- 1) = - 1.

要点：只要有一个对角方向的零块，行列式就退化成两个对角块行列式之积，

C

块可完全忽略。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为

n

阶可逆矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，

M^{*}

为矩阵

M

的伴随矩阵，则

(A O E B)^{*} =

（　　）。

A $(∣ A ∣ B^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ B ∣ A^{*})$
B $(∣ B ∣ A^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ A ∣ B^{*})$
C $(∣ B ∣ A^{*} O - B^{*} A^{*} ∣ A ∣ B^{*})$
D $(∣ A ∣ B^{*} O - A^{*} B^{*} ∣ B ∣ A^{*})$

2020 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

行列式

a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a =

______.

2018 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B

为

n

阶矩阵，记

r (X)

为矩阵

X

的秩，

(X, Y)

表示分块矩阵，则（　　）

A $r (A, A B) = r (A)$
B $r (A, B A) = r (A)$
C $r (A, B) = max {r (A), r (B)}$
D $r (A, B) = r (A^{T}, B^{T})$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

A = (3211)

，

B = (1124)

，则

A O O B =

____。

练习 2 · 填空题

设

A = (1324)

，

B = (2101)

，则

O B A O =

____。

练习 3 · 选择题

设

A, B

为可逆方阵，

M = (O B A O)

，则

M^{- 1} =

（　）

A $(O B^{- 1} A^{- 1} O)$
B $(O A^{- 1} B^{- 1} O)$
C $(A^{- 1} O O B^{- 1})$
D $(B^{- 1} O O A^{- 1})$

练习 4 · 选择题

设

A

为

2

阶方阵、

B

为

3

阶方阵，

M = (A O O B)

为

5

阶矩阵，则

∣ M ∣ =

（　）

A $∣ A ∣ ∣ B ∣$
B $∣ A ∣ + ∣ B ∣$
C $∣ A ∣^{3} ∣ B ∣^{2}$
D $- ∣ A ∣ ∣ B ∣$

练习 5 · 选择题

设

A

为

m

阶可逆矩阵，

B

为

n

阶可逆矩阵（

m, n \geq 2

），

M = (A O O B)

为

m + n

阶矩阵。则下列结论中错误的是（　）。

A $r (M) = r (A) + r (B)$
B $M$ 的特征值恰由 $A$ 的特征值与 $B$ 的特征值合并而成
C若 $A, B$ 都可相似对角化，则 $M$ 可相似对角化
D $M^{*} = (A^{*} O O B^{*})$

练习 6 · 填空题

设

A = (1123)

，

B = (2312)

，

M = (A O E_{2} B)

为

4

阶矩阵（

E_{2}

为

2

阶单位矩阵）。则

M^{- 1}

的右上角 $2$ 阶子块为 ____。

练习 7 · 解答题

设

A = (3212)

，

B = (2012)

，

M = (A O E_{2} B)

为

4

阶矩阵（

E_{2}

为

2

阶单位矩阵）。

(1) 用分块的方法求

∣ M ∣

与

M^{- 1}

；

(2) 求

M

的全部特征值；

(3) 判断

M

能否相似对角化，并说明理由。

1997 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 6 分

设

A

为

n

阶非奇异矩阵，

α

为

n

维列向量，

b

为常数。记分块矩阵

P = (E - α^{T} A^{*} O ∣ A ∣), Q = (A α^{T} α b),

其中

A^{*}

是矩阵

A

的伴随矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵。

（1）计算并化简

P Q

；
（2）证明：矩阵

Q

可逆的充分必要条件是

α^{T} A^{- 1} α \neq = b

。

1994 年 · 数三 · 第 4 题 · 填空题 · 3 分

设

A = 00 ⋮ 0 a_{n} a_{1} 0 ⋮ 00 0 a_{2} ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ a_{n - 1} 0

，其中

a_{i} \neq = 0, i = 1, 2, \dots, n

，则

A^{- 1} =

______.

1992 年 · 数三 · 第 4 题 · 填空题 · 3 分

设

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵，且

∣ A ∣ = a

，

∣ B ∣ = b

，

C = (O B A O)

，则

∣ C ∣ =

______。

分块矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 分块乘法为什么成立，以及必须遵守的一条规则：块的左右次序不能颠倒★ 要懂

2. 分块三角行列式 ​AO​CB​​=∣A∣∣B∣：右上角的 C 为什么不起作用★★ 必会

3. 副对角分块矩阵：行列式中的符号 (−1)mn 与交叉求逆

4. 分块上三角矩阵求逆的待定系数法：设逆为同一结构，再由 MM−1=E 比较各块★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 分块三角行列式 $A O C B = ∣ A ∣ ∣ B ∣$ ：右上角的 $C$ 为什么不起作用★★ 必会

3. 副对角分块矩阵：行列式中的符号 $(- 1)^{mn}$ 与交叉求逆

4. 分块上三角矩阵求逆的待定系数法：设逆为同一结构，再由 $M M^{- 1} = E$ 比较各块★ 要懂