初等变换与初等矩阵

§9.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.64 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

4.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算③ 掌握后可解锁矩阵的秩

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 左行右列不是口诀而是定理：为什么左乘只改变行，右乘只改变列★★ 必会

对

A

作行变换

=

左乘初等矩阵，作列变换

=

右乘初等矩阵，这两条看起来似乎只能记住，其实一算便知。为此只须把初等矩阵写成

E

加上一个小的扰动项，再按矩阵乘法的行列结构展开。理解了这一点，凡涉及初等矩阵的证明，如求逆、求秩以及化

P A Q

标准形，都可迎刃而解。

证明 / 推导

以倍加变换为例，证明左乘

=

行变换。记标准单位列向量为

e_{i}

，则倍加初等矩阵

E (i, j (k)) = E + k e_{i} e_{j}^{T}

，即在

(i, j)

位置上多出一个

k

。用它左乘

A

，得

(E + k e_{i} e_{j}^{T}) A = A + k e_{i} (e_{j}^{T} A) .

这里

e_{j}^{T} A

恰是

A

的第 $j$ 行，它是一个行向量；而

e_{i} (行向量)

把这一行放到第 $i$ 行的位置上，其余各行为零。所以右端就是

= A

的第

i

行加上

k

倍的第

j

行，这就是行变换

r_{i} + k r_{j}

。同理，右乘时有

A E (i, j (k)) = A + k (A e_{i}) e_{j}^{T}

，其中

A e_{i}

是

A

的第

i

列，因而得到的是列变换。

■

举例说明

【真题·数三 2006】 设

A

为

3

阶矩阵，将

A

的第

2

行加到第

1

行得

B

，再将

B

的第

1

列的

- 1

倍加到第

2

列得

C

，记

P = 100110001

，则（　）。
(A)

C = P^{- 1} A P

；(B)

C = P A P^{- 1}

；(C)

C = P^{T} A P

；(D)

C = P A P^{T}

。
解. 选 (B)。把第

2

行加到第

1

行是 行变换，即左乘

P

，故

B = P A

；把第

1

列的

- 1

倍加到第

2

列是 列变换，即右乘相应的初等矩阵

100 - 1 10 001 = P^{- 1}

，故

C = B P^{- 1} = P A P^{- 1}

。依左行右列，两边的因子一望而知。

2. 初等行变换是同解变换：这说明了解方程组、求逆矩阵为什么只许用行变换★ 要懂

对增广矩阵

(A ∣ b)

作初等行变换，不改变方程组

A x = b

的解集，这是因为一次行变换相当于左乘一个可逆矩阵

P

，而

A x = b

与

P A x = P b

是同解的。高斯消元法的合法性就在于此。同时这也说明，解方程组与求逆矩阵时绝不能使用列变换，因为列变换会打乱未知数的对应关系。

证明 / 推导

设

P

可逆，初等矩阵总是可逆的。
若 $x_{0}$ 满足 $A x_{0} = b$ ，两边左乘

P

，得

P A x_{0} = P b

，故

x_{0}

也满足新的方程组。
反之，若 $P A x_{0} = P b$ ，两边左乘

P^{- 1}

，得

A x_{0} = b

。
两个方程组的解集互相包含，所以它们相等。求逆矩阵同理：

(A ∣ E) 行变换 (P A ∣ P)

，当

P A = E

时，右边的

P = A^{- 1}

。这是因为这一串行变换的复合

P

满足

P A = E

，它就是所求的逆矩阵。

■

举例说明

易错对照. 解方程组

A x = b

时只能对

(A ∣ b)

作行变换。如果对系数矩阵作列变换

c_{1} \leftrightarrow c_{2}

，就相当于交换了

x_{1}, x_{2}

的位置，解的各分量会错位，除非同步记录所作的列变换并在最后换回来。所以标准的做法一律是用行变换把矩阵化为行最简形。

3. 可逆矩阵 $=$ 有限个初等矩阵的乘积：乘可逆矩阵就是作若干次初等变换★★ 必会

方阵

A

可逆

⟺

它能只用初等行变换化为

E

⟺

A

是有限个初等矩阵的乘积。这一等价关系极为有用：它把抽象的左乘或右乘可逆矩阵，转化为具体的作若干次初等变换，从而可以很快证明一批关于秩的性质，例如乘可逆矩阵不改变秩，即

r (P A Q) = r (A)

。

证明 / 推导

可逆 $\Rightarrow$ 初等矩阵的乘积. 若

A

可逆，则

r (A) = n

，故用初等行变换可把它化为

E

，即存在初等矩阵

P_{1}, \dots, P_{s}

，使

P_{s} \dots P_{1} A = E

。于是

A = P_{1}^{- 1} \dots P_{s}^{- 1},

而初等矩阵的逆仍是初等矩阵，所以

A

是初等矩阵的乘积。反过来的结论是显然的，因为初等矩阵可逆，可逆矩阵的乘积仍可逆。
应用： $r (P A Q) = r (A)$ ，其中 $P, Q$ 可逆. 把

P, Q

写成初等矩阵的乘积，则

P A Q

就是对

A

作了若干次初等行变换与列变换的结果，而初等变换不改变秩，所以

r (P A Q) = r (A)

。

■

4. 等价标准形 $P A Q = (E_{r} O O O)$ ：秩是等价关系下唯一的不变量

任一

m \times n

矩阵

A

，若同时允许作行变换与列变换，必能化为等价标准形

(E_{r} O O O)

，其中

r = r (A)

；也就是说，存在可逆矩阵

P, Q

，使

P A Q = (E_{r} O O O)

。由此得到一条判别法：两个同型矩阵等价，即可经初等变换互化， $⟺$ 它们的秩相等。可见秩就是矩阵在等价这一关系下唯一的、完全的不变量。

证明 / 推导

存在性的构造证明. 若

A \neq = O

，则它必有非零元素，用行对换与列对换把这个元素移到

(1, 1)

位置，再用倍乘变换把它化为

1

，然后用它把第

1

行与第

1

列的其余元素全部消为

0

，得到

(1 O O A_{1})

。对子块

A_{1}

重复上述做法，直到剩下零块为止，即得

(E_{r} O O O)

。因为每一步都是初等变换，都可逆，所以

P A Q

就是这种形状，且

r = r (A)

，这是由于初等变换不改变秩。

■

举例说明

【真题·数三 2004】 设

n

阶矩阵

A

与

B

等价，则必有（　）。
(A)

∣ A ∣ = a (a \neq = 0)

时

∣ B ∣ = a

；(B)

∣ A ∣ = a (a \neq = 0)

时

∣ B ∣ = - a

；(C)

∣ A ∣ \neq = 0

时

∣ B ∣ = 0

；(D)

∣ A ∣ = 0

时

∣ B ∣ = 0

。
解. 选 (D)。两矩阵等价

⟺ r (A) = r (B)

。由

∣ A ∣ = 0

知

r (A) < n

，故

r (B) = r (A) < n

，从而

∣ B ∣ = 0

。而等价只保持秩，并不保持行列式的具体值，因为

∣ B ∣ = ∣ P ∣ ∣ A ∣ ∣ Q ∣

，其中

∣ P ∣, ∣ Q ∣

可以是任意非零数，所以 (A)(B) 都不对；又当

∣ A ∣ \neq = 0

时

r (A) = n

，这就迫使

r (B) = n

，即

∣ B ∣ \neq = 0

，所以 (C) 也不对。可见秩是等价关系下唯一的完全不变量。

💡 小知识

用初等行变换把

(A ∣ E)

化成

(E ∣ A^{- 1})

，这套求逆算法就是高斯—若尔当消元法。它不只是考研的标准动作，也是今天几乎所有科学计算软件求逆、解线性方程组时所用的底层算法。你在 MATLAB 里敲下的 inv(A)，跑的就是这套十九世纪的消元术。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设初等矩阵

P = 100210001

，

A = 102210311

。分别求

P A

与

A P

，并说明各自对应对

A

的什么初等变换。难度 1

P

是把单位阵作「第

2

行的

2

倍加到第

1

行」得到的初等矩阵。由「左行右列」：
左乘 $=$ 行变换（把

A

第

2

行的

2

倍加到第

1

行

r_{1} + 2 r_{2}

）：

P A = 1 + 2 \cdot 0 02 2 + 2 \cdot 1 10 3 + 2 \cdot 1 11 = 102410511 .

右乘 $=$ 列变换（把

A

第

1

列的

2

倍加到第

2

列

c_{2} + 2 c_{1}

）：

A P = 102 2 + 2 \cdot 1 1 + 2 \cdot 0 0 + 2 \cdot 2 311 = 102414311 .

可见左乘只搅动行、右乘只搅动列，

P A \neq = A P

。

例 2 用初等行变换把

A = 121242130103

化为行阶梯形，并求

r (A)

。难度 1

以第

1

行主元消去第

1

列下方：

r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - r_{1} 100200 11 - 1 1 - 2 2 r_{3} + r_{2} 100200110 1 - 2 0 .

这是行阶梯形，非零行有 $2$ 行，故

r (A) = 2

。（第

2

列没有主元，说明它可由第

1

列线性表示，不贡献秩。）

例 3 用初等行变换（

(A ∣ E) \to (E ∣ A^{- 1})

）求

A = 211111112

的逆矩阵。难度 2

构造

(A ∣ E)

，全程只用行变换，把左半化为

E

：

211111112100010001 r_{1} \leftrightarrow r_{2} 121111112010100001

r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - r_{1} 100 1 - 1 0 1 - 1 1 010 1 - 2 - 1 001 - r_{2} 100110111 0 - 1 0 12 - 1 001

r_{1} - r_{2}, r_{2} - r_{3} 100010001 1 - 1 0 - 1 3 - 1 0 - 1 1 .

故

A^{- 1} = 1 - 1 0 - 1 3 - 1 0 - 1 1

。切记只用行变换，掺入列变换会算错；可用

A A^{- 1} = E

抽验。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A = 1 - 1 1 - 1 01 3 - 2 a 0 - a 2 - 1 - 1 3

的秩为

2

。

（Ⅰ）求

a

的值；

（Ⅱ）求

A

的列向量组的一个极大线性无关组

α, β

，并求矩阵

H

，使得

A = G H

，其中

G = (α, β)

。

2024 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为 3 阶矩阵，

P = 101010001

。若

P^{T} A P^{2} = a + 2 c 0 2 c 0 b 0 c 0 c

，则

A =

（　　）。

A $c 00 0 a 0 00 b$
B $b 00 0 c 0 00 a$
C $a 00 0 b 0 00 c$
D $c 00 0 b 0 00 a$

2022 年 · 数三 · 第 15 题 · 填空题 · 5 分

设

A

为

3

阶矩阵，交换

A

的第

2

行和第

3

行，再将第

2

列的

- 1

倍加到第

1

列，得到矩阵

- 2 1 - 1 1 - 1 0 - 1 00

，则

A^{- 1}

的迹

tr (A^{- 1}) =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

初等矩阵

P = 102010001

的逆矩阵

P^{- 1} =

____。

练习 2 · 选择题

对矩阵

A

作一次初等列变换，相当于（　）

A用对应初等矩阵左乘 $A$
B用对应初等矩阵右乘 $A$
C对 $A^{T}$ 作行变换
D改变 $A$ 的秩

练习 3 · 选择题

下列关于初等变换的说法，正确的是（　）

A初等行变换不改变矩阵的秩
B初等行变换不改变行列式的值
C把某行乘以 $0$ 是一种初等变换
D求逆时行、列变换可以混用

练习 4 · 填空题

矩阵

A = 123 - 1 10 213

的秩

r (A) =

____。

练习 5 · 选择题

下列不是初等变换的是（　）

A互换两行
B某行乘以 $- 3$
C某行乘以 $0$
D把第 $2$ 行的 $3$ 倍加到第 $1$ 行

练习 6 · 选择题

设

A

为

3

阶矩阵。把

A

的第

3

行的

2

倍加到第

1

行得到

B

，再把

B

的第

2

列的

3

倍加到第

3

列得到

C

。记

P = 100010201, Q = 100010031,

则（　）。

A $C = P A Q$
B $C = Q A P$
C $C = P^{- 1} A Q$
D $C = P A Q^{- 1}$

练习 7 · 填空题

设

A = 120 20 - 4 - 1 t 5 10 - 2,

若

r (A) = 2

，则

t =

____。

练习 8 · 解答题

设

A = 101120 - 1 1 - 2, B = - 1 2 - 3 212 .

(1) 用初等行变换把

(A ∣ B)

化为

(E ∣ X)

，由此求矩阵方程

A X = B

的解

X

；

(2) 用初等矩阵说明这一算法为什么成立；

(3) 若先把

(A ∣ B)

的第

1

行与第

3

行互换，再执行同样的算法，所得的

X

会不会改变？说明理由。

2021 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

已知矩阵

A = 12 - 1 0 - 1 2 - 1 1 - 5

，若存在下三角可逆矩阵

P

与上三角可逆矩阵

Q

，使

P A Q

为对角矩阵，则

P, Q

可分别为（　　）。

A $100010001, 100010131$ 。
B $12 - 3 0 - 1 2 001, 100010001$ 。
C $12 - 3 0 - 1 2 001, 100010131$ 。
D $101013001, 100 2 - 1 0 - 3 21$ 。

2018 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

已知

a

是常数，且矩阵

A = 112237 a 0 - a

可经初等列变换化为矩阵

B = 10 - 1 a 11 211

。

（

I

）求

a

；

（

II

）求满足

A P = B

的可逆矩阵

P

。

2011 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设

A

为 3 阶矩阵，将

A

的第 2 列加到第 1 列得矩阵

B

，再交换

B

的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记

P_{1} = 110010001

，

P_{2} = 100001010

，则

A =

（　　）

A $P_{1} P_{2}$
B $P_{1}^{- 1} P_{2}$
C $P_{2} P_{1}$
D $P_{2} P_{1}^{- 1}$

初等变换与初等矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 左行右列不是口诀而是定理：为什么左乘只改变行，右乘只改变列★★ 必会

2. 初等行变换是同解变换：这说明了解方程组、求逆矩阵为什么只许用行变换★ 要懂

3. 可逆矩阵 = 有限个初等矩阵的乘积：乘可逆矩阵就是作若干次初等变换★★ 必会

4. 等价标准形 PAQ=(Er​O​OO​)：秩是等价关系下唯一的不变量

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 可逆矩阵 $=$ 有限个初等矩阵的乘积：乘可逆矩阵就是作若干次初等变换★★ 必会

4. 等价标准形 $P A Q = (E_{r} O O O)$ ：秩是等价关系下唯一的不变量