初等变换与初等矩阵

§8.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

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前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算③ 掌握后可解锁矩阵的秩

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 左乘只改行、右乘只改列：这一法则可由矩阵乘法直接证明★★ 必会

对

A

作行变换

=

左乘初等矩阵，作列变换

=

右乘初等矩阵，这两条结论不必强记，直接计算便可得到。其要点在于把初等矩阵写成

E

与一个结构简单的矩阵之和，再按矩阵乘法的行列结构展开。掌握了这一点，凡是涉及初等矩阵的证明，例如求逆、求秩以及

P A Q

标准形，都能顺利完成。

证明 / 推导

以倍加变换为例，证明左乘

=

行变换。记

e_{i}

为标准单位列向量，则倍加初等矩阵

E (i, j (k)) = E + k e_{i} e_{j}^{T}

，即在

(i, j)

位置上多一个

k

。用它左乘

A

，得

(E + k e_{i} e_{j}^{T}) A = A + k e_{i} (e_{j}^{T} A) .

其中

e_{j}^{T} A

就是

A

的第 $j$ 行这一行向量，而

e_{i} (行向量)

把这一行放到第 $i$ 行的位置上，其余各行为零。因此右端

= A

的第

i

行加上

k

倍的第

j

行，这就是行变换

r_{i} + k r_{j}

。与此相类似，右乘时

A E (i, j (k)) = A + k (A e_{i}) e_{j}^{T}

，其中

A e_{i}

是

A

的第

i

列，于是得到列变换。

■

2. 初等行变换是同解变换：解方程组与求逆只能用行变换的原因★ 要懂

对增广矩阵

(A ∣ b)

作初等行变换，不改变方程组

A x = b

的解集。这是因为作一次行变换相当于左乘一个可逆矩阵

P

，而

A x = b

与

P A x = P b

是同解的。高斯消元法的合法性就建立在这一点上。由此也可见，解方程组和求逆时不能使用列变换，因为列变换会打乱未知数之间的对应关系。

证明 / 推导

设

P

可逆，初等矩阵都是可逆的。
若 $x_{0}$ 满足 $A x_{0} = b$ ，两边左乘

P

，得

P A x_{0} = P b

，故

x_{0}

也满足新的方程组。
反之，若 $P A x_{0} = P b$ ，两边左乘

P^{- 1}

，得

A x_{0} = b

。
两个方程组的解集互相包含，因而相等。求逆的道理与此相同：

(A ∣ E) 行变换 (P A ∣ P)

，当

P A = E

时，右半部分的

P = A^{- 1}

。这是因为这一串行变换所对应的矩阵

P

满足

P A = E

，按定义它就是逆矩阵。

■

举例说明

易错对照. 解

A x = b

时，只能对

(A ∣ b)

作行变换。如果对系数矩阵作列变换

c_{1} \leftrightarrow c_{2}

，就相当于交换了

x_{1}, x_{2}

的位置，解的各个分量将随之错位，除非同步记录所作的列变换并在最后换回。因此，标准做法是一律用行变换把矩阵化为行最简形。

3. 可逆矩阵 $=$ 有限个初等矩阵之积：乘可逆矩阵即作若干次初等变换

方阵

A

可逆

⟺

它只用初等行变换就能化为

E

⟺

A

是有限个初等矩阵的乘积。这一等价关系很有用，它把抽象的左乘或右乘可逆矩阵化为具体的作若干次初等变换，从而使一批关于秩的性质容易证明，例如乘可逆矩阵不改变秩

r (P A Q) = r (A)

。

证明 / 推导

可逆 $\Rightarrow$ 初等矩阵之积. 若

A

可逆，则

r (A) = n

，因而用初等行变换可将它化为

E

，即存在初等矩阵

P_{1}, \dots, P_{s}

，使

P_{s} \dots P_{1} A = E

。于是

A = P_{1}^{- 1} \dots P_{s}^{- 1},

而初等矩阵的逆仍是初等矩阵，故

A

是初等矩阵的乘积。反之是显然的，因为初等矩阵可逆，可逆矩阵的乘积也可逆。
应用： $r (P A Q) = r (A)$ （ $P, Q$ 可逆）. 把

P, Q

写成初等矩阵的乘积，则

P A Q

就是对

A

作了若干次初等行变换与列变换的结果。由于初等变换不改变矩阵的秩，所以

r (P A Q) = r (A)

。

■

4. 等价标准形 $P A Q = (E_{r} O O O)$ ：秩是唯一的等价不变量

任一

m \times n

矩阵

A

，如果同时允许作初等行变换与初等列变换，那么必能化为等价标准形

(E_{r} O O O)

，其中

r = r (A)

；也就是说，存在可逆矩阵

P, Q

，使

P A Q = (E_{r} O O O)

。由此得到一条判别法：两个同型矩阵等价，即可经初等变换互化 $⟺$ 它们的秩相等。可见秩是矩阵在等价关系下唯一的、完全的不变量。

证明 / 推导

存在性（构造）. 若

A \neq = O

，则其中必有非零元素。用行对换与列对换把这个元素移到

(1, 1)

位置，再作倍乘变换把它化为

1

，然后用它把第

1

行与第

1

列的其余元素全部消为

0

，便得

(1 O O A_{1})

。对子块

A_{1}

重复上述步骤，直到剩下的部分为零块，即得

(E_{r} O O O)

。由于每一步都是可逆的初等变换，所以

P A Q

具有这一形状，且

r = r (A)

，因为初等变换不改变矩阵的秩。

■

举例说明

例. 化

A = (122413)

为等价标准形。
解.

r_{2} - 2 r_{1} (102011) c_{2} - 2 c_{1}, c_{3} - c_{1} (100001) c_{2} \leftrightarrow c_{3} (100100) = (E_{2} O)

。故

r (A) = 2

，它与矩阵的列数无关。

💡 小知识

用初等行变换把

(A ∣ E)

化成

(E ∣ A^{- 1})

，这套求逆算法就是高斯—若尔当消元法。它不只是考研里的标准动作，也是今天几乎所有科学计算软件求逆、解线性方程组时所用的底层算法。在 MATLAB 里敲下的 inv(A)，跑的就是这套十九世纪的消元术。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设初等矩阵

P = 100210001

，

A = 102210311

。分别求

P A

与

A P

，并说明各自对应对

A

的什么初等变换。难度 1

P

是把单位阵作「第

2

行的

2

倍加到第

1

行」得到的初等矩阵。由「左行右列」：
左乘 $=$ 行变换（把

A

第

2

行的

2

倍加到第

1

行

r_{1} + 2 r_{2}

）：

P A = 1 + 2 \cdot 0 02 2 + 2 \cdot 1 10 3 + 2 \cdot 1 11 = 102410511 .

右乘 $=$ 列变换（把

A

第

1

列的

2

倍加到第

2

列

c_{2} + 2 c_{1}

）：

A P = 102 2 + 2 \cdot 1 1 + 2 \cdot 0 0 + 2 \cdot 2 311 = 102414311 .

可见左乘只搅动行、右乘只搅动列，

P A \neq = A P

。

例 2 用初等行变换把

A = 121242130103

化为行阶梯形，并求

r (A)

。难度 1

以第

1

行主元消去第

1

列下方：

r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - r_{1} 100200 11 - 1 1 - 2 2 r_{3} + r_{2} 100200110 1 - 2 0 .

这是行阶梯形，非零行有 $2$ 行，故

r (A) = 2

。（第

2

列没有主元，说明它可由第

1

列线性表示，不贡献秩。）

例 3 用初等行变换（

(A ∣ E) \to (E ∣ A^{- 1})

）求

A = 211111112

的逆矩阵。难度 2

构造

(A ∣ E)

，全程只用行变换，把左半化为

E

：

211111112100010001 r_{1} \leftrightarrow r_{2} 121111112010100001

r_{2} - 2 r_{1}, r_{3} - r_{1} 100 1 - 1 0 1 - 1 1 010 1 - 2 - 1 001 - r_{2} 100110111 0 - 1 0 12 - 1 001

r_{1} - r_{2}, r_{2} - r_{3} 100010001 1 - 1 0 - 1 3 - 1 0 - 1 1 .

故

A^{- 1} = 1 - 1 0 - 1 3 - 1 0 - 1 1

。切记只用行变换，掺入列变换会算错；可用

A A^{- 1} = E

抽验。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵

100100010120

的是（　　）

A $112123011134$
B $111111021153$
C $100011000130$
D $112123224336$

2024 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设

A

为

3

阶矩阵，

P = 101010001

。若

P^{T} A P^{2} = a + 2 c 0 2 c 0 b 0 c 0 c

，则

A =

（　　）

A $c 00 0 a 0 00 b$
B $b 00 0 c 0 00 a$
C $a 00 0 b 0 00 c$
D $c 00 0 b 0 00 a$

2022 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设

A

为

3

阶矩阵，交换

A

的第

2

行和第

3

行，再将第

2

列的

- 1

倍加到第

1

列，得到矩阵

- 2 1 - 1 1 - 1 0 - 1 00

，则

A^{- 1}

的迹

tr (A^{- 1}) =

___。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

初等矩阵

P = 102010001

的逆矩阵

P^{- 1} =

____。

练习 2 · 选择题

对矩阵

A

作一次初等列变换，相当于（　）

A用对应初等矩阵左乘 $A$
B用对应初等矩阵右乘 $A$
C对 $A^{T}$ 作行变换
D改变 $A$ 的秩

练习 3 · 选择题

下列关于初等变换的说法，正确的是（　）

A初等行变换不改变矩阵的秩
B初等行变换不改变行列式的值
C把某行乘以 $0$ 是一种初等变换
D求逆时行、列变换可以混用

练习 4 · 填空题

矩阵

A = 123 - 1 10 213

的秩

r (A) =

____。

练习 5 · 选择题

下列不是初等变换的是（　）

A互换两行
B某行乘以 $- 3$
C某行乘以 $0$
D把第 $2$ 行的 $3$ 倍加到第 $1$ 行

2021 年 · 数二 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

已知矩阵

A = 12 - 1 0 - 1 2 - 1 1 - 5

，若存在下三角可逆矩阵

P

与上三角可逆矩阵

Q

，使

P A Q

为对角矩阵，则

P, Q

可分别为（　　）

A $100010001, 100010131$
B $12 - 3 0 - 1 2 001, 100010001$
C $12 - 3 0 - 1 2 001, 100010131$
D $101013001, 100 2 - 1 0 - 3 21$

2018 年 · 数二 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

已知

a

是常数，且矩阵

A = 112237 a 0 - a

可经初等列变换化为矩阵

B = 10 - 1 a 11 211

。
（Ⅰ）求

a

；
（Ⅱ）求满足

A P = B

的可逆矩阵

P

。

2011 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

A

为

3

阶矩阵，将

A

的第

2

列加到第

1

列得矩阵

B

，再交换

B

的第

2

行与第

3

行得单位矩阵。记

P_{1} = 110010001, P_{2} = 100001010

，则

A =

（　　）

A $P_{1} P_{2}$
B $P_{1}^{- 1} P_{2}$
C $P_{2} P_{1}$
D $P_{2} P_{1}^{- 1}$

初等变换与初等矩阵

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 左乘只改行、右乘只改列：这一法则可由矩阵乘法直接证明★★ 必会

2. 初等行变换是同解变换：解方程组与求逆只能用行变换的原因★ 要懂

3. 可逆矩阵 = 有限个初等矩阵之积：乘可逆矩阵即作若干次初等变换

4. 等价标准形 PAQ=(Er​O​OO​)：秩是唯一的等价不变量

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 可逆矩阵 $=$ 有限个初等矩阵之积：乘可逆矩阵即作若干次初等变换

4. 等价标准形 $P A Q = (E_{r} O O O)$ ：秩是唯一的等价不变量