二次型及其标准形、规范形

§12.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

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9/11 年出现年份

4.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）矩阵的运算特征值与特征向量的概念与计算③ 掌握后可解锁化二次型为标准形（配方法、正交变换）合同变换与惯性定理正定二次型

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 二次型的秩的三种等价说法：矩阵的秩 = 标准形中非零平方项的个数 = 非零特征值的个数★★ 必会

二次型的秩并不是新的概念，它就是矩阵

A

的秩

r (A)

，并且同时等于化为标准形后非零平方项的个数，也等于非零特征值的个数（按重数计）。三者相等的原因在于，化标准形所用的是合同变换

A \to C^{T} A C

，而

C

可逆，合同变换不改变秩。因此求二次型的秩并不需要先化为标准形，直接对

A

作初等变换求秩即可。

证明 / 推导

设

C

可逆。乘以可逆矩阵不改变秩，故

r (C^{T} A C) = r (A)

（先由

r (A C) = r (A)

，再由

r (C^{T} (A C)) = r (A C)

）。取

C

使

C^{T} A C = diag (d_{1}, \dots, d_{n})

，则

r (A) = r (diag (d_{1}, \dots, d_{n})) =

非零

d_{i}

的个数

=

标准形中非零平方项的个数。又正交变换是特殊的合同变换，由

Q^{T} A Q = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

知，其非零对角元就是非零特征值，故这个数也等于非零特征值的个数。

■

举例说明

求

f = x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 9 x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 6 x_{1} x_{3} + 12 x_{2} x_{3}

的秩。它的矩阵

A = 123246369

的三行成比例（都是

(1, 2, 3)

的倍数），故

r (A) = 1

。事实上

A = v v^{T}

（其中

v = (1, 2, 3)^{T}

），于是

f = (x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3})^{2}

只是一个线性型的平方，其秩为

1

，且

p = 1, q = 0

。由此直接看出结论，不必化为标准形。

2. 标准形的系数可以任意伸缩，保持不变的只有正、负、零系数的个数 $(p, q, r)$ ★★ 必会

标准形并不唯一，这一点必须注意。事实上，标准形中非零系数的数值并没有绝对的意义：任给一个标准形

\sum d_{i} y_{i}^{2}

，再作可逆的伸缩变换

y_{i} = k_{i} z_{i}

（其中

k_{i} \neq = 0

），就得到

\sum (d_{i} k_{i}^{2}) z_{i}^{2}

，系数被乘上任意正数

k_{i}^{2}

，可大可小，唯独符号不变。所以在合同变换之下能够确定的只有正系数的个数

p

、负系数的个数

q

（以及

r = p + q

）。把系数统一化为

\pm 1

，就得到唯一的规范形，

(p, q, r)

是它的完全不变量。

证明 / 推导

设

f

有标准形

\sum_{i = 1}^{n} d_{i} y_{i}^{2}

。对每个非零的

d_{i}

及任意的

k_{i} \neq = 0

，令

y_{i} = k_{i} z_{i}

（对

d_{i} = 0

的项令

y_{i} = z_{i}

）。这是可逆线性变换，代入得

f = \sum_{i} d_{i} k_{i}^{2} z_{i}^{2}

。因为

k_{i}^{2} > 0

，所以

d_{i} k_{i}^{2}

与

d_{i}

同号，故正系数与负系数的个数都不改变，而数值

d_{i} k_{i}^{2}

却随

k_{i}

任意变化。取

k_{i} = 1/ ∣ d_{i} ∣

，即把非零系数化为

\pm 1

，这就得到规范形。

■

举例说明

考虑同一个二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

。它本身的系数为

(1, 1)

；作可逆变换

x_{1} = 2 z_{1}, x_{2} = 3 z_{2}

，得

f = 4 z_{1}^{2} + 9 z_{2}^{2}

，系数变成

(4, 9)

。两个标准形的系数相差很大，但都是两个正号，

(p, q) = (2, 0)

不变。用矩阵的语言来说，

diag (1, 1) ≃ diag (4, 9)

（合同），由此可见，合同类只由符号的个数决定。

3. 二次型取值的符号由特征值决定：恒正、恒负或者变号，只需看 $(p, q)$ ★★ 必会

要判定

f = x^{T} A x

是恒正、恒负，还是有正有负，答案完全由特征值的符号（即

(p, q)

）决定。这也是下一节正定理论的基础：
- 特征值全为正（

p = n

）

\Rightarrow f > 0 (\forall x \neq = 0)

，称为正定；
- 特征值全为负（

q = n

）

\Rightarrow f < 0

，称为负定；
- 特征值有正有负（

p \geq 1

且

q \geq 1

）

\Rightarrow f

变号，称为不定；
- 含有零特征值而没有异号特征值时

\Rightarrow

半正定或半负定。
因此，要判断某个二次型能取哪些符号，先求出特征值的符号即可，不必逐点试探。

证明 / 推导

作正交变换

x = Q y

，得

f = \sum_{i} λ_{i} y_{i}^{2}

，且

x \neq = 0 ⟺ y \neq = 0

。若所有的

λ_{i} > 0

，则任取

y \neq = 0

，都有

f > 0

；若存在

λ_{j} > 0

与

λ_{k} < 0

，则取

y = e_{j}

得

f = λ_{j} > 0

，取

y = e_{k}

得

f = λ_{k} < 0

，故

f

变号。其余情形与此相类似。由此可见，二次型的符号完全由特征值的符号决定。

■

举例说明

判断

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4 x_{1} x_{2}

的取值符号。这里

A = (1 - 2 - 2 1)

，由

(1 - λ)^{2} - 4 = 0 \Rightarrow λ = 3, - 1

知特征值一正一负，故

f

变号。验证如下：取

x = (1, 0)

，得

f = 1 > 0

；取

x = (1, 1)

，得

f = 1 + 1 - 4 = - 2 < 0

，可见它确实既能取正值又能取负值。

4. 配方法所得的系数不是特征值：只有正交变换所得标准形的系数才是特征值★ 要懂

这是最常见的概念混淆。配方法给出的标准形，其系数由配方的过程决定，一般不是

A

的特征值；只有正交变换法因为

Q^{T} A Q = Q^{- 1} A Q = Λ

，所得标准形的系数才就是特征值。两者的共同之处仅在于符号的个数

(p, q)

相同，这由惯性定理保证。因此，凡是要用到特征值本身的数值的问题（例如判别曲面的类型，或者求条件极值中的

λ_{m a x} / λ_{m i n}

），必须用正交变换；如果只需要

(p, q, r)

，或者只需判定正定性，用配方法即可。

证明 / 推导

对同一个

f = x^{T} A x

：作正交变换

x = Q y

，得

f = y^{T} (Q^{T} A Q) y = y^{T} Λ y = \sum_{i} λ_{i} y_{i}^{2}

，其系数就是特征值。配方法所用的是可逆但一般不正交的变换

x = C z

，此时

f = z^{T} (C^{T} A C) z

，其对角元

d_{i}

满足

C^{T} A C = diag (d_{i})

，它与

A

合同而不是相似，故

d_{i}

与

λ_{i}

只是符号相同，数值一般并不相同。

■

举例说明

考察

f = 2 x_{1} x_{2}

。用配方法，作变换

x_{1} = y_{1} + y_{2}, x_{2} = y_{1} - y_{2}

，得

f = 2 y_{1}^{2} - 2 y_{2}^{2}

，其系数为

\pm 2

；用正交变换法，先求

A = (0110)

的特征值

\pm 1

，标准形为

z_{1}^{2} - z_{2}^{2}

，其系数为

\pm 1

。可见系数

\pm 2

并不是特征值

\pm 1

；但两种方法都给出

(p, q) = (1, 1)

，符号的统计是一致的。

💡 小知识

消去交叉项，把二次型摆正，从几何上看就是替二次曲面找到它自己的对称轴。同样的操作在物理里称为主轴变换：把刚体的转动惯量张量对角化以后，三个对角元就是绕三条主轴的转动惯量。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 写出二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - 6 x_{1} x_{3} + 8 x_{2} x_{3}

的矩阵

A

，并回代验证。难度 1

规则： 平方项

x_{i}^{2}

的系数放在对角元

a_{ii}

；交叉项

x_{i} x_{j}

的系数对半均分给

a_{ij} = a_{j i}

。

- 对角元：

a_{11} = 3, a_{22} = 2, a_{33} = - 1

；
-

x_{1} x_{2}

系数

4

，均分得

a_{12} = a_{21} = 2

；
-

x_{1} x_{3}

系数

- 6

，均分得

a_{13} = a_{31} = - 3

；
-

x_{2} x_{3}

系数

8

，均分得

a_{23} = a_{32} = 4

。

A = 32 - 3 224 - 3 4 - 1 .

回代验证： 展开

x^{T} A x

，对角给出

3 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} - x_{3}^{2}

；

a_{12}, a_{21}

合起来给

2 \times 2 x_{1} x_{2} = 4 x_{1} x_{2}

，

a_{13}, a_{31}

给

2 \times (- 3) x_{1} x_{3} = - 6 x_{1} x_{3}

，

a_{23}, a_{32}

给

2 \times 4 x_{2} x_{3} = 8 x_{2} x_{3}

，与原式完全一致。

例 2 已知二次型

f = x^{T} A x

的矩阵

A = 1 - 2 0 - 2 03 034

，写出二次型

f

的表达式，并求其秩

r

。难度 1

由矩阵反写二次型： 对角元给平方项，非对角元

a_{ij}

对应交叉项系数

2 a_{ij}

。

- 对角

(1, 0, 4)

给出

x_{1}^{2} + 0 \cdot x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2}

；
-

a_{12} = - 2 \Rightarrow x_{1} x_{2}

系数

2 \times (- 2) = - 4

；
-

a_{13} = 0 \Rightarrow

无

x_{1} x_{3}

项；
-

a_{23} = 3 \Rightarrow x_{2} x_{3}

系数

2 \times 3 = 6

。

f = x_{1}^{2} + 4 x_{3}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 6 x_{2} x_{3} .

求秩： 二次型的秩就是矩阵的秩。计算

∣ A ∣ = 1 \cdot (0 \cdot 4 - 3 \cdot 3) - (- 2) \cdot (- 2 \cdot 4 - 3 \cdot 0) + 0 = - 9 - 16 = - 25 \neq = 0

，故

A

满秩，

r = 3

。

例 3 设二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 3 x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2}

，写出其矩阵、用正交变换法求标准形，并给出正、负惯性指数、秩与规范形。难度 2

第一步：写矩阵。 交叉项

4 x_{1} x_{2}

均分，

a_{12} = a_{21} = 2

，其余交叉项为零：

A = 120210 00 - 3 .

第二步：求特征值（正交变换法下标准形系数即特征值）。

A

是分块对角阵。左上块

(1221)

的特征多项式

(1 - λ)^{2} - 4 = (λ - 3) (λ + 1)

，特征值

3, - 1

；第三块给出

- 3

。故

A

的特征值为

3, - 1, - 3

。

第三步：标准形。 存在正交变换

x = Q y

使

f = 3 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - 3 y_{3}^{2} .

第四步：惯性指数、秩、规范形。 正系数

1

个

\Rightarrow p = 1

；负系数

2

个

\Rightarrow q = 2

；非零系数

3

个

\Rightarrow r = p + q = 3

。把系数归一化得规范形

f = z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2} .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设矩阵

A = (1 a + 2 b 3 - 1 - 3 a)

。若二次型

x^{T} (A A^{T}) x

的规范形为

y_{1}^{2}

，则

a + b =

___。

2025 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

120 2 a 0 00 b

有一个正特征值和两个负特征值，则（　　）

A $a > 4, b > 0$
B $a < 4, b > 0$
C $a > 4, b < 0$
D $a < 4, b < 0$

2023 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{1} + x_{3})^{2} - 4 (x_{2} - x_{3})^{2}

的规范形为（　　）

A $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$
B $y_{1}^{2} - y_{2}^{2}$
C $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - 4 y_{3}^{2}$
D $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$

2022 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3 x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{3}

。
（I）求正交变换

x = Q y

将

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

化为标准形；
（II）证明：

x \neq = 0 min \frac{f ( x )}{x ^{T} x} = 2

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

二次型

f = 4 x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 6 x_{1} x_{2}

的矩阵为（　）。

A $(43 3 - 1)$
B $(46 6 - 1)$
C $(4331)$
D $(46 0 - 1)$

练习 2 · 填空题

设二次型

f = x^{T} A x

的矩阵

A = 3 - 2 1 - 2 04 145

，则

f

中

x_{2} x_{3}

的系数为 ____。

练习 3 · 选择题

已知二次型矩阵

A

的特征值为

5, 0, - 2

，则其（正惯性指数

p

，负惯性指数

q

，秩

r

）为（　）。

A $(1, 1, 2)$
B $(1, 1, 3)$
C $(2, 1, 3)$
D $(1, 2, 2)$

练习 4 · 填空题

二次型

f = x_{1}^{2} - 2 x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 4 x_{2} x_{3}

的负惯性指数

q =

____。

练习 5 · 选择题

已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} + 2 a x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

的秩为

2

，则

a =

（　）。

A $1$
B $- 2$
C $1$ 或 $- 2$
D不存在这样的 $a$

练习 6 · 填空题

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}

的规范形为 ____。

练习 7 · 解答题

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x

，其中

A = a 11 1 a 1 11 a (a 为实数) .

(1) 求

A

的全部特征值（用

a

表示）；

(2) 若

f

的规范形为

z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2}

，求

a

的取值范围；

(3) 当

a = 1

时，求

f

的秩与规范形，并把

f

写成一个一次齐次式的平方。

2021 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} - (x_{3} - x_{1})^{2}

的正惯性指数与负惯性指数依次为（　　）

A $2, 0$
B $1, 1$
C $2, 1$
D $1, 2$

2019 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

A

是

3

阶实对称矩阵，

E

是

3

阶单位矩阵。若

A^{2} + A = 2 E

，且

∣ A ∣ = 4

，则二次型

x^{T} A x

的规范形为（　　）

A $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$
B $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$
C $y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$
D $- y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$

二次型及其标准形、规范形

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 二次型的秩的三种等价说法：矩阵的秩 = 标准形中非零平方项的个数 = 非零特征值的个数★★ 必会

2. 标准形的系数可以任意伸缩，保持不变的只有正、负、零系数的个数 (p,q,r)★★ 必会

3. 二次型取值的符号由特征值决定：恒正、恒负或者变号，只需看 (p,q)★★ 必会

4. 配方法所得的系数不是特征值：只有正交变换所得标准形的系数才是特征值★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 标准形的系数可以任意伸缩，保持不变的只有正、负、零系数的个数 $(p, q, r)$ ★★ 必会

3. 二次型取值的符号由特征值决定：恒正、恒负或者变号，只需看 $(p, q)$ ★★ 必会