合同变换与惯性定理

§12.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

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4/11 年出现年份

0.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）二次型及其标准形、规范形化二次型为标准形（配方法、正交变换）③ 掌握后可解锁正定二次型

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 求负惯性指数的第三种方法：顺序主子式序列 $1, D_{1}, \dots, D_{n}$ 的变号次数

求惯性指数通常有两种方法：一是化为标准形后数系数的正负个数，二是求出特征值后数其符号。此外还有一种不必求特征值的方法，即雅可比（Jacobi）定理：如果各阶顺序主子式

D_{1}, \dots, D_{n}

全不为零，那么负惯性指数

q

等于序列

D_{0} = 1, D_{1}, D_{2}, \dots, D_{n}

中相邻两项变号的次数，正惯性指数

p

等于相邻两项同号（即不变号）的次数。因此在含参数的题目中，只需算出几个行列式并考察其符号，就能读出

(p, q)

。必须注意，本定理的前提是所有

D_{k} \neq = 0

；如果某个顺序主子式为零，此法失效，应改用特征值或标准形。

证明 / 推导

以下给出证明的要点。如果

D_{1}, \dots, D_{n}

全不为零，那么对

A

可以施行不换行的对称高斯消元，即作

L D L^{T}

分解，得

A ≃ diag (p_{1}, \dots, p_{n})

，其中第

k

个主元

p_{k} = D_{k} / D_{k - 1}

（

D_{0} = 1

）。根据合同变换下惯性指数不变，

q

等于负主元的个数

= # {k : D_{k} / D_{k - 1} < 0} = # {k : D_{k - 1}, D_{k} 异号}

，也就是序列

D_{0}, \dots, D_{n}

的变号次数；与此相类似，

p

等于同号的次数。

■

举例说明

设

A = 120210 00 - 3

。它的各阶顺序主子式为

D_{1} = 1, D_{2} = 1 \cdot 1 - 4 = - 3, D_{3} = ∣ A ∣ = (- 3) \cdot (- 3) = 9

。于是序列为

D_{0}, D_{1}, D_{2}, D_{3} = 1, 1, - 3, 9

，相邻两项的符号依次为

+, +, -, +

：变号

2

次（

1 \to - 3

、

- 3 \to 9

），故

q = 2

；同号

1

次（

1 \to 1

），故

p = 1

。这与直接求特征值

3, - 1, - 3

所得的

(p, q) = (1, 2)

完全一致。

2. 合同不变量与合同下可以改变的量，判断题的常考内容★★ 必会

合同变换

A \to C^{T} A C

保持的是符号结构，而不保持具体数值。下面分两类列出。
合同不变量（一定不变）：秩

r

、正惯性指数

p

、负惯性指数

q

、

(进而)

符号差

s = p - q

、行列式的符号

sgn ∣ A ∣

、是否正定或半正定。
合同下可以改变的量：特征值（数值）、迹

tr A

、行列式的数值

∣ A ∣

、矩阵的元素。
由此可见，合同只保持符号的个数，不保持数值；只有相似变换才保持特征值、迹与行列式的数值。

证明 / 推导

证. 秩不变：

C

可逆

\Rightarrow r (C^{T} A C) = r (A)

。

(p, q)

不变：这就是惯性定理。行列式的符号：

∣ C^{T} A C ∣ = ∣ C ∣^{2} ∣ A ∣

，而

∣ C ∣^{2} > 0

，因此它与

∣ A ∣

同号；但二者相差一个可以任意取值的正因子

∣ C ∣^{2}

，所以

∣ A ∣

的数值是可以改变的。特征值与迹也会改变：例如

diag (1, 1) ≃ diag (4, 9)

，特征值由

{1, 1}

变为

{4, 9}

，迹由

2

变为

13

。

■

举例说明

设

A, B

为合同的实对称矩阵，判断下列各量中哪些必定相等：(i)

r (A), r (B)

；(ii) 正惯性指数；(iii)

tr A, tr B

；(iv)

∣ A ∣, ∣ B ∣

。解. (i) 与 (ii) 必定相等，因为它们都是合同不变量；(iii) 未必相等，因为迹可以改变；(iv) 未必相等，但符号相同。例如取

A = diag (1, 1), B = diag (4, 9)

：秩都是

2

，

p

都是

2

，但

tr

分别为

2

与

13

，

∣ A ∣

分别为

1

与

36

，二者同为正数。

3. 利用完全判据做证明题： $A$ 与 $- A$ 合同 $⟺$ 正、负惯性指数相等（ $p = q$ ）

合同的完全判据（

A ≃ B ⟺ (p, q)

相同）不仅可以用来判断两个矩阵是否合同，而且是证明这类命题的基本工具。下面是一个典型的结论：实对称矩阵

A

与

- A

合同的充分必要条件是它的符号差为零，即

p = q

。事实上，

- A

把每个特征值都变号，于是正、负惯性指数互换

(p, q) \to (q, p)

；要使它与原来的一致，就必须

p = q

。一般地，凡是判断某个矩阵与它的某种变形是否合同的题目，都可以化归为比较

(p, q)

。

证明 / 推导

证. 设

A

的惯性指数为

(p, q)

。

- A

的特征值是

A

的特征值的相反数，故正、负特征值的个数互换，从而

- A

的惯性指数为

(q, p)

。根据完全判据，

A ≃ - A ⟺ (p, q) = (q, p) ⟺ p = q

。

■

举例说明

矩阵

A = (0110)

的特征值为

\pm 1

，故

(p, q) = (1, 1)

，满足

p = q

，因此

A ≃ - A

。还可以给出显式的合同矩阵

C = diag (1, - 1)

：

C^{T} A C = (10 0 - 1) (0110) (10 0 - 1) = (0 - 1 - 1 0) = - A

。再看一个反例：

diag (1, 1)

的

(p, q) = (2, 0)

，此时

p \neq = q

，所以它与

diag (- 1, - 1)

不合同。

4. 规范形是每个合同类的唯一代表； $n$ 阶实对称矩阵按合同关系恰分成 $\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ 类★ 要懂

惯性定理在分类上的意义如下：每个实对称矩阵都合同于唯一的规范形

diag (p 1, \dots, 1, q - 1, \dots, - 1, n - r 0, \dots, 0)

，它是整个合同类的唯一标准代表。因此合同类的个数就等于

(p, q)

的取法个数。对于

n

阶矩阵，按秩

r = p + q

从

0

到

n

逐一枚举：当秩为

r

时，

p

可取

0, 1, \dots, r

，共

r + 1

种，故合计

\sum_{r = 0}^{n} (r + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

类。

证明 / 推导

证. 任意实对称矩阵

A

经合同变换化为规范形，其形状由

(p, q)

（等价地由

(p, r)

）完全确定；根据完全判据，不同的

(p, q)

给出互不合同的规范形。因此合同类与满足

0 \leq p, 0 \leq q, p + q \leq n

的整点

(p, q)

一一对应。下面计数。固定

r = p + q \in {0, \dots, n}

，这时

p \in {0, \dots, r}

有

r + 1

个，故总数为

\sum_{r = 0}^{n} (r + 1) = 1 + 2 + \dots + (n + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

。

■

举例说明

设

n = 2

。这时共有

\frac{3 \cdot 4}{2} = 6

个合同类，其代表元为

diag (0, 0)

（零型）、

diag (1, 0)

、

diag (- 1, 0)

、

diag (1, 1)

、

diag (1, - 1)

、

diag (- 1, - 1)

，分别对应

(p, q) = (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2)

。任何

2

阶实对称矩阵都合同于其中之一。

💡 小知识

惯性定理又称西尔维斯特惯性定律，1852 年由英国数学家西尔维斯特提出。惯性一词是从物理借来的比喻：不管你用合同变换怎样去晃动一个二次型，正号和负号的个数都像物体的惯性一样纹丝不动。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{3}

，求其矩阵的正、负惯性指数、秩与规范形。难度 1

思路：惯性指数看特征值的符号即可，不必真化标准形。

写矩阵：

4 x_{1} x_{3}

均分得

a_{13} = a_{31} = 2

，

A = 102010201

。

求特征值：

x_{2}

单独给特征值

1

；块

(1221)

的特征值为

3, - 1

。故特征值为

3, 1, - 1

。

数符号： 正特征值

2

个（

3, 1

）

\Rightarrow p = 2

；负特征值

1

个（

- 1

）

\Rightarrow q = 1

；秩

r = p + q = 3

。

规范形： 把系数归一为

\pm 1

、正项排前，得

f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} - z_{3}^{2}

。

例 2 设

A = (1221)

，

B = (20 0 - 5)

。判断

A

与

B

是否合同、是否相似，并说明理由。难度 2

求两者的惯性指数。
-

A

：特征值由

(1 - λ)^{2} - 4 = 0

得

3, - 1

，故

(p, q) = (1, 1)

，

r = 2

；
-

B

：对角阵，特征值

2, - 5

，故

(p^{'}, q^{'}) = (1, 1)

，

r^{'} = 2

。

判合同： 二者都是

2

阶实对称矩阵，且

(p, q) = (p^{'}, q^{'}) = (1, 1)

，由合同的完全判据（惯性定理）知

A

与

B

合同。（也可用行列式符号快速印证：

∣ A ∣ = - 3 < 0

，

∣ B ∣ = - 10 < 0

，同号，与合同相容。）

判相似：

A

的特征值

{3, - 1}

与

B

的特征值

{2, - 5}

不同，而相似矩阵必有相同特征值，故

A

与

B

不相似。

小结： 这是「合同却不相似」的典型——合同只保特征值的符号个数

(p, q)

，不保其数值。

例 3 设实对称矩阵

A = 1 - 1 0 - 1 21 01 t

，讨论参数

t

取不同值时，二次型

f = x^{T} A x

的正、负惯性指数。难度 2

方法：用顺序主子式的符号来读惯性指数。

D_{1} = 1 > 0, D_{2} = 1 - 1 - 1 2 = 2 - 1 = 1 > 0, D_{3} = ∣ A ∣.

对

∣ A ∣

按第一行展开：

∣ A ∣ = 1 \cdot (2 t - 1) - (- 1) \cdot (- t - 0) + 0 = (2 t - 1) - t = t - 1

。

情形一： $t > 1$ 。

D_{1}, D_{2}, D_{3}

全正

\Rightarrow A

正定，三个特征值全正，

(p, q) = (3, 0)

，

r = 3

。

情形二： $t = 1$ 。

D_{3} = ∣ A ∣ = 0

，秩降；因

D_{2} \neq = 0

故

r = 2

。此时前两个顺序主子式为正、无负号引入，第三个特征值为

0

，

(p, q) = (2, 0)

，

r = 2

。

情形三： $t < 1$ 。

D_{3} = ∣ A ∣ < 0

，即三个特征值之积为负，故负特征值个数为奇数；又

D_{1}, D_{2} > 0

排除了「三个全负」，只能恰有一个负特征值，

(p, q) = (2, 1)

，

r = 3

。

归纳：

t > 1

时

(p, q) = (3, 0)

；

t = 1

时

(2, 0)

；

t < 1

时

(2, 1)

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

已知矩阵

A = 41 - 2 111 - 2 1 a

，

B = k 00 060000

合同。

（Ⅰ）求

a

的值及

k

的取值范围；

（Ⅱ）若存在正交矩阵

Q

，使得

Q^{T} A Q = B

，求

k

及

Q

。

2023 年 · 数二 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{1} + x_{3})^{2} - 4 (x_{2} - x_{3})^{2}

的规范形为（　　）

A $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$
B $y_{1}^{2} - y_{2}^{2}$
C $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - 4 y_{3}^{2}$
D $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$

2021 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} - (x_{3} - x_{1})^{2}

的正惯性指数与负惯性指数依次为（　　）

A $2, 0$
B $1, 1$
C $2, 1$
D $1, 2$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设实对称矩阵

A

与

B

合同，则下列一定成立的是（　）。

A $∣ A ∣ = ∣ B ∣$
B $∣ A ∣$ 与 $∣ B ∣$ 同号（或同为 $0$ ）
C $A$ 与 $B$ 有相同的特征值
D $A = B$

练习 2 · 填空题

已知

4

阶实对称矩阵

A

的特征值为

2, - 3, 0, 5

，矩阵

B

与

A

合同，则

r (B) =

____。

练习 3 · 选择题

下列矩阵中，与

A = (0330)

合同的是（　）。

A $diag (1, 1)$
B $diag (1, - 1)$
C $diag (- 1, - 1)$
D $diag (0, 1)$

练习 4 · 填空题

二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 a x_{1} x_{2}

的秩为

2

，则

a =

____。

练习 5 · 选择题

设

A, B

均为

n

阶实对称矩阵，则下列命题中正确的是（　　）。

A若 $r (A) = r (B)$ ，则 $A$ 与 $B$ 合同
B若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $A$ 与 $B$ 相似
C若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 合同
D若 $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ ，则 $A$ 与 $B$ 合同

练习 6 · 填空题

设

A = 120210 00 - 2

，

B = a 00 0 - 1 0 001

。若

A

与

B

合同，则

a

的取值范围是 ____。

练习 7 · 解答题

设

A

为

3

阶实对称矩阵，满足

A^{3} - 3 A^{2} - 4 A = O, r (A) = 2, tr (A) = 3.

(1) 求

A

的全部特征值；

(2) 求二次型

f = x^{T} A x

的正、负惯性指数与规范形；

(3) 在下列四个矩阵中指出哪些与

A

合同，并说明理由：

diag (1, 1, 0), diag (1, - 1, 0), diag (2, - 3, 0), diag (1, 1, - 1) .

2020 年 · 数二 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 a x_{1} x_{2} + 2 a x_{1} x_{3} + 2 a x_{2} x_{3}

经可逆线性变换

x_{1} x_{2} x_{3} = P y_{1} y_{2} y_{3}

化为二次型

g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + 4 y_{3}^{2} + 2 y_{1} y_{2}

。
（Ⅰ）求

a

的值；
（Ⅱ）求可逆矩阵

P

。

2014 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 2 a x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

的负惯性指数为

1

，则

a

的取值范围是 ___。

2009 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

A, P

均为

3

阶矩阵，

P^{T}

为

P

的转置矩阵，且

P^{T} A P = 100010002

。若

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

，则

Q^{T} A Q

为（　　）

A $210110002$ .
B $110120002$ .
C $200010002$ .
D $100020002$ .

合同变换与惯性定理

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 求负惯性指数的第三种方法：顺序主子式序列 1,D1​,…,Dn​ 的变号次数

2. 合同不变量与合同下可以改变的量，判断题的常考内容★★ 必会

3. 利用完全判据做证明题：A 与 −A 合同 ⟺ 正、负惯性指数相等（p=q）

4. 规范形是每个合同类的唯一代表；n 阶实对称矩阵按合同关系恰分成 2(n+1)(n+2)​ 类★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 求负惯性指数的第三种方法：顺序主子式序列 $1, D_{1}, \dots, D_{n}$ 的变号次数

3. 利用完全判据做证明题： $A$ 与 $- A$ 合同 $⟺$ 正、负惯性指数相等（ $p = q$ ）

4. 规范形是每个合同类的唯一代表； $n$ 阶实对称矩阵按合同关系恰分成 $\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ 类★ 要懂