合同变换与惯性定理

线性代数 · 二次型

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 合同： $C^{T} A C = B$ ， $C$ 可逆

设

A, B

为

n

阶对称矩阵。若存在可逆矩阵

C

使

C^{T} A C = B,

就说

A

与

B

合同，记

A ≃ B

。

它就是「同一个二次型换了个元」的矩阵说法：

x = C y

把

f = x^{T} A x

变成

y^{T} B y

。

和相似摆在一起看：

式子 特征值 秩 p, q 相似 P^{- 1} A P 保 保 保 合同 C^{T} A C 不保 保 保

相似来自「线性变换换基」，合同来自「二次型换元」。

最要紧的一行是「合同不保特征值」。

diag (1, 1)

与

diag (4, 9)

合同（取

C = diag (2, 3)

），特征值完全不同。合同只保住符号，不保大小。

$C$ 正交时两者重合（

C^{T} = C^{- 1}

）——这是上一节反复用到的那条。

合同也是等价关系：自反、对称、传递三条都成立（下面证对称性，传递性留给你）。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条证明的手法是从定义式解出另一个矩阵，再把出现的逆重新命名成新的变换矩阵。请你证明合同的传递性：若

A ≃ B

、

B ≃ M

，则

A ≃ M

。

照着刚才那条证明的思路，自己写一遍。

2. 惯性定理： $p$ 和 $q$ 是合同不变量

惯性定理. 同一个二次型，无论用哪种可逆换元化成标准形，其中正项的个数 $p$ 与负项的个数 $q$ 都是确定的，与换元方法无关。

p

称正惯性指数，

q

称负惯性指数，

p + q = r (A)

。

直接推论：

① 规范形唯一。 它完全由

(p, q)

决定。

② 两个同阶实对称矩阵合同 $⟺$ 它们的 $p$ 与 $q$ 分别相同。

②是判断合同的全部依据，比相似好判得多——相似还要比几何重数，合同只看两个数。

三个数的算法（任选一条）：

① 求特征值：正的个数是

p

，负的个数是

q

，非零的个数是

r (A)

。

② 配方化标准形：数正项、负项的个数。

两条路必定给出同一组

(p, q)

——这正是惯性定理的内容，也可以拿来互相校验。

3. 判断两个矩阵是否合同

只需比 $(p, q)$ 这一对数。 流程：

① 确认两个矩阵都对称、同阶——不对称就不在合同讨论的范围里。

② 分别求出 $p$ 与 $q$ （求特征值数符号，或配方数项数）。

③ 两对数都相同则合同，有一个不同则不合同。

常用的快判：

① 秩不同 $\Rightarrow$ 不合同（因为

p + q = r

）。秩最容易算，可以先查这一条。

② 一个正定、一个不正定 $\Rightarrow$ 不合同（

p

不同）。

③ 行列式符号：

∣ A ∣

与

∣ B ∣

的符号必须相同（都非零时），因为

∣ C^{T} A C ∣ = ∣ C ∣^{2} ∣ A ∣

，而

∣ C ∣^{2} > 0

。注意只有符号必须同，大小可以差——这又是一条「合同保号不保值」。

反过来提醒：行列式符号相同推不出合同（它只用到了

q

的奇偶，信息太少）。它只能用来排除。

4. 合同标准形：对角阵是代表

每个实对称矩阵都合同于一个对角阵（就是化标准形这件事），而且可以进一步合同于规范形的矩阵

diag (p 1, \dots, 1, q - 1, \dots, - 1, n - p - q 0, \dots, 0) .

所以全体 $n$ 阶实对称矩阵，按合同分成若干类，每一类由 $(p, q)$ 唯一标定，上面那个对角阵就是这一类的代表。

类的个数：

p \geq 0

、

q \geq 0

、

p + q \leq n

，共

\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

类。

n = 2

时是

6

类，

n = 3

时是

10

类。

用处：判断合同时，可以把两边各自化到规范形，一眼对比；证明「与某某合同」时，构造

C

也往往先过渡到规范形。

与相似标准形的对照：相似的代表是对角阵（可对角化时），对角元是特征值，类别由特征值决定——那是连续的无穷多类。合同只有有限类，这正是「信息更少」的量化说法。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断两个实对称阵是否合同

第一步：确认同阶且都对称。

第二步：先比秩——不同则不合同，收工。

第三步：分别求

p

与

q

（数特征值的符号，或配方数项数）。

第四步：

(p, q)

两个数都相同才合同。可用行列式符号做一次旁证（只能排除，不能肯定）。

例例.

A = diag (1, - 1)

、

B = (0110)

、

C = diag (1, 1)

，两两是否合同？

第一步，三个都是二阶实对称 ✓

第二步，比秩：都是

2

，这一关都过。

第三步，求

(p, q)

：

A

的特征值

1, - 1

\Rightarrow

(1, 1)

；

B

的由

λ^{2} - 1 = 0

得

\pm 1

\Rightarrow

(1, 1)

；

C

\Rightarrow

(2, 0)

。

第四步，

A

与

B

合同；

C

与两者都不合同。

合同比相似「粗」：

diag (1, 2)

与

diag (1, 1)

的

(p, q)

都是

(2, 0)

，合同；但特征值

{1, 2} \neq = {1, 1}

，不相似。合同只记符号的个数，不记大小。

行列式符号可做旁证：

∣ A ∣ < 0

、

∣ C ∣ > 0

，符号不同一定不合同；但符号相同推不出合同。

求合同标准形（规范形的矩阵）

第一步：写出对称矩阵

A

。

第二步：求特征值，数出

p

（正）、

q

（负）、

n - p - q

（零）。

第三步：写出

diag (1, \dots, 1, - 1, \dots, - 1, 0, \dots, 0)

，正、负、零依次排列。

第四步：核对非零个数等于

r (A)

。

例例. 求

A = diag (2, - 3, 0)

的合同标准形。

第一步，它已是对角阵，对应二次型

f = 2 y_{1}^{2} - 3 y_{2}^{2}

。

第二步，特征值就是对角元：

2 > 0

、

- 3 < 0

、

0

。于是

p = 1

、

q = 1

、零

1

个。

第三步，规范形矩阵按「正、负、零」依次排：

diag (1, - 1, 0) .

第四步，核对非零个数

2 = r (A)

✓

顺序是约定好的：先全部

1

，再全部

- 1

，最后

0

。写成

diag (1, 0, - 1)

虽然也与

A

合同，但不是标准写法，答题要按约定排。

证明两个矩阵合同

第一步：若能直接造出

C

，验

C^{T} A C = B

并说明

C

可逆，最干脆。

第二步：否则走「同一个代表」的路——证两者都合同于同一个规范形矩阵。

第三步：用合同的传递性与对称性把两条合同拼起来。

第四步：全程别忘了「变换矩阵可逆」这一句，它是定义的一部分。

例例. 设

A

实对称、

C

可逆，证明

C^{T} A C

与

A

合同。

第一步，直接造出变换矩阵——取的就是题目给的

C

。按定义

C^{T} A C

正是

A

经

C

的合同变换，且

C

可逆 ✓ 一句话结案，最干脆。

第二步，造不出

C

时才走「同一个代表」的路：证两者都合同于同一个规范形矩阵

diag (1, \dots, - 1, \dots, 0)

。

第三步，再用合同的传递性与对称性把两条拼起来。

第四步，全程别忘「变换矩阵可逆」这一句——它是合同定义的一部分，漏了就只证明了

C^{T} A C

对称，没证明合同。

顺带：这道题也正说明合同保惯性指数，

C^{T} A C

与

A

的

(p, q)

必然相同。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

以为合同保特征值

不保。

diag (1, 1)

与

diag (4, 9)

合同，特征值完全不同。

合同只保住特征值的符号分布（

p

、

q

），不保大小。

记住那个样板例子，判断题里一问就是它。

把 $C^{T} A C$ 与 $P^{- 1} A P$ 混用

合同是

C^{T} A C

（来自二次型换元），相似是

P^{- 1} A P

（来自线性变换换基）。

只有

C

正交时两者才重合。

写错一个，保不保特征值这件事就全反了。

用行列式符号相同断定合同

∣ C^{T} A C ∣ = ∣ C ∣^{2} ∣ A ∣

只保证符号相同，所以符号不同一定不合同——但符号相同推不出合同。

diag (1, 1)

与

diag (- 1, - 1)

行列式都是

1

，而

(p, q)

分别是

(2, 0)

与

(0, 2)

，并不合同。

行列式符号只能用来排除。

忘了交代变换矩阵可逆

合同的定义要求

C

可逆，相似要求

P

可逆。

证明题里自己构造出

C

之后，必须补一句「

C

可逆」（通常用

∣ C ∣ \neq = 0

或「它是若干可逆矩阵之积」）。

少这一句，整个论证不成立。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

A

与

B

合同是指（）。

A存在可逆 $C$ 使 $C^{T} A C = B$
B存在可逆 $P$ 使 $P^{- 1} A P = B$
C $A$ 与 $B$ 特征值相同
D $∣ A ∣ = ∣ B ∣$

练 2

合同变换中的矩阵

C

必须 ________。

练 3

合同变换不保下列哪一项（）。

A秩
B正惯性指数
C特征值
D负惯性指数

练 4

惯性定理说：二次型标准形中正项与负项的个数与所用的换元方法 ________。

第二组 · 判合同

练 5

A

的特征值为

2, - 3, 0

，则

p =

________，

q =

________。

练 6

两个同阶实对称阵合同的充要条件是（）。

A秩相同
B行列式相同
C特征值相同
D $p$ 与 $q$ 分别相同

练 7

diag (1, - 1)

与

diag (5, - 7)

________（填「合同」或「不合同」）。

练 8

diag (1, 1)

与

diag (- 1, - 1)

（）。

A合同，因为行列式都是 $1$
B不合同
C相似
D既合同又相似

第三组 · 综合

练 9

对实对称矩阵，下列蕴含关系正确的是（）。

A合同 $\Rightarrow$ 相似
B相似 $\Rightarrow$ 合同
C两者互相等价
D两者互不蕴含

练 10

若

p = 2

、

q = 1

、

n = 4

，则合同标准形为

diag (

________

)

。

练 11

已知

C

可逆，则

∣ C^{T} A C ∣

与

∣ A ∣

（）。

A必相等
B符号相同，大小可以不同
C毫无关系
D互为相反数

练 12

2

阶实对称矩阵按合同关系共分为 ________ 类。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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