正定二次型

线性代数 · 二次型

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 定义：除了原点，取值永远为正

二次型

f (x) = x^{T} A x

若对一切

x \neq = 0

都有

f (x) > 0,

称

f

正定，称它的（对称）矩阵

A

为正定矩阵。

三处要害：

① 「一切 $x \neq = 0$ 」 —— 不是某几个

x

。举一个例子说明

f > 0

是不够的；要否定它却只需举一个反例。

② 不包括 $x = 0$ ——

f (0) = 0

永远成立，把它算进去就没有正定的二次型了。

③ 是 $> 0$ ，不是 $\geq 0$ —— 允许等号的那个叫半正定。

配套的四个词（都对

x \neq = 0

而言）：

f > 0 f \geq 0 f < 0 f \leq 0 正定 半正定 负定 半负定

都不满足的叫不定。

$f$ 负定 $⟺ - f$ 正定，所以负定的全部判据都可以把

A

换成

- A

后套正定的那一套，不必另记。

2. 判据一：特征值全为正

定理.

A

（实对称）正定

⟺

A

的全部特征值都大于零。

为什么：用正交变换化标准形，

f = λ_{1} y_{1}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2}

。

往一边：若全部

λ_{i} > 0

，则

y \neq = 0

时每项非负、至少一项为正，故

f > 0

；而

x = Q y

可逆，

x \neq = 0 ⟺ y \neq = 0

。

往另一边：若某个

λ_{j} \leq 0

，取

y

为第

j

个坐标向量，则

f = λ_{j} \leq 0

，不正定。

用惯性指数说同一件事：正定

⟺ p = n

（全是正项）

⟺

规范形是

y_{1}^{2} + \dots + y_{n}^{2}

⟺

A

与

E

合同。

顺带得到一串必要条件（都由「特征值全正」推出，可用来快速排除）：

∣ A ∣ a_{ii} r (A) tr A = \prod λ_{i} > 0 > 0 (对角元全正) = n (满秩、可逆) > 0

它们都只是必要条件，不能反过来断定正定——

diag (- 1, - 1)

的行列式是

1 > 0

，但它负定。

3. 判据二：顺序主子式全为正

A

的 $k$ 阶顺序主子式指取左上角

k \times k

那一块算出的行列式，记

D_{k}

：

D_{1} = a_{11}, D_{2} = a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}, \dots, D_{n} = ∣ A ∣.

定理（霍尔维茨）.

A

正定

⟺

D_{1} > 0, D_{2} > 0, \dots, D_{n} > 0,

即全部 $n$ 个顺序主子式都大于零。

这是手算时的首选：不用解特征方程，只算

n

个行列式，而且二、三阶时很快。

负定的判据：

A

负定

⟺ - A

正定

⟺

顺序主子式正负交错：

D_{1} < 0, D_{2} > 0, D_{3} < 0, \dots 即 (- 1)^{k} D_{k} > 0.

两条红线：

① 「顺序」二字不能丢 —— 必须从左上角连续地取，不能跳着取（跳着取的叫主子式，那是半正定判据用的，要求全部主子式

\geq 0

，个数多得多）。

② 必须全部 $n$ 个都查 —— 只查

D_{n} = ∣ A ∣

不行，上一条已说明理由。

4. 正定矩阵的性质与常见构造

设

A

正定，则：

A^{- 1}, A^{k}, A^{*} k A (k > 0) A + B (B 正定) 正定 正定 正定

最后一条的理由很直接：

x^{T} (A + B) x = x^{T} A x + x^{T} B x > 0 + 0

。这类「按定义直接验」的证法在正定这一节特别好使，比绕特征值快。

两个常考的构造：

① $C^{T} A C$ （ $C$ 可逆）正定。 因为它与

A

合同，

p

不变仍等于

n

。

② $B^{T} B$ 半正定； $B$ 列满秩时正定。 因为

x^{T} B^{T} B x = (B x)^{T} (B x) = ∥ B x ∥^{2} \geq 0,

等号成立当且仅当

B x = 0

。

B

列满秩时

B x = 0

只有零解，于是

x \neq = 0

时

∥ B x ∥^{2} > 0

，正定。

注意 $A B$ 一般不正定（甚至不对称），

A + B

才行。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断一个矩阵是否正定（手算首选）

第一步：先确认

A

对称——不对称就不在讨论范围内。

第二步：扫一眼对角元，有

\leq 0

的直接否定（必要条件）。

第三步：逐阶算顺序主子式

D_{1}, D_{2}, \dots, D_{n}

。

第四步：全部大于零则正定；出现

\leq 0

立刻停，判不正定。

例例. 判断

A = 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 2

是否正定。

第一步，

A^{T} = A

✓ 对称。

第二步，扫对角元

2, 2, 2

全大于零 ✓（有一个

\leq 0

就能直接否定。）

第三步，逐阶算顺序主子式：

D_{1} = 2, D_{2} = 2 - 1 - 1 2 = 3, D_{3} = ∣ A ∣ = 4.

第四步，全部大于零

\Rightarrow

正定。

中途出现

\leq 0

就立刻停，不必算完——顺序主子式全正是充要条件，有一个不满足就已经定了。

注意是顺序主子式（左上角的

1 \times 1

、

2 \times 2

、……），不是任意主子式。

用特征值判断（含参数时常用）

第一步：确认对称，写出

A

。

第二步：求全部特征值（含参数时解出带参数的表达式）。

第三步：全正则正定；全负则负定；有正有负则不定；含零则至多是半定。

第四步：含参数时把「全部

λ_{i} > 0

」写成关于参数的不等式组并解出。

例例.

t

取何值时

A = (1 t t 1)

正定？

第一步，对称 ✓

第二步，

∣ A - λ E ∣ = (1 - λ)^{2} - t^{2} = 0

给出

λ = 1 \pm t

。

第三步，正定要全正：

1 + t > 0

且

1 - t > 0

。

第四步，解得

- 1 < t < 1

。

顺序主子式那条路同样走得通：

D_{1} = 1 > 0

、

D_{2} = 1 - t^{2} > 0

\Rightarrow

同一个答案 ✓

另外两档：

∣ t ∣ > 1

时一正一负

\Rightarrow

不定；

t = \pm 1

时含一个零

\Rightarrow

只能是半正定，不是正定。含参数的题常考这三档的分界。

证明某个构造出来的矩阵正定

第一步：先验对称性（

M^{T} = M

），这一句不能省。

第二步：优先试按定义直接验——把

x^{T} M x

写开，看能否化成平方和或已知正定项之和。

第三步：定义走不通时转特征值：由

A

的特征值推出

M

的特征值，证其全正。

第四步：涉及

C^{T} A C

的，直接用合同保惯性指数，一句话结案。

例例. 设

A

是

n

阶实矩阵且

r (A) = n

，证明

A^{T} A

正定。

第一步，先验对称性：

(A^{T} A)^{T} = A^{T} A

✓ 这一句不能省。

第二步，按定义直接验。对任意

x \neq = 0

，

x^{T} (A^{T} A) x = (A x)^{T} (A x) = ∣ A x ∣^{2} \geq 0.

要取到零只能

A x = 0

；而

r (A) = n

说明

A x = 0

只有零解，与

x \neq = 0

矛盾。故恒大于零，正定

■

第三步，定义走不通时才转特征值。

第四步，涉及

C^{T} A C

的，用「合同保惯性指数」一句话结案。

这道题两个要害：对称性那一句，和「

r (A) = n \Rightarrow A x = 0

只有零解」那一步——少了后者只能证到半正定。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

只验 $∣ A ∣ > 0$ 就断定正定

行列式是特征值之积，负号会成对抵消。

diag (- 1, - 1)

的

∣ A ∣ = 1 > 0

，却是负定的。

必须把 $n$ 个顺序主子式全查一遍，或者直接看特征值。

∣ A ∣ > 0

只能用来排除。

把主子式当成顺序主子式

顺序主子式必须从左上角连续取：

1

阶、

2

阶、……、

n

阶，各一个。

跳着取的（如只取第

2, 3

行列）是一般的主子式，那是半正定判据用的（要求全部主子式

\geq 0

，数量多得多）。

正定判据只认顺序的那

n

个。

忘了先验对称

正定是对对称矩阵定义的，所有判据都以对称为前提。

(10 - 3 1)

的顺序主子式都是

1 > 0

，但它不对称，谈不上正定。

题目直接给矩阵时，第一件事是看对不对称。

把「恒 $\geq 0$ 」当成正定

f = (x_{1} + x_{2})^{2}

恒

\geq 0

，但在

x = (1, - 1)^{T} \neq = 0

处取到

0

。

它是半正定，不是正定。

分界就在等号能不能达到；对应到特征值上，就是有没有零特征值。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

二次型

f

正定是指（）。

A对一切 $x$ 有 $f (x) > 0$
B对一切 $x \neq = 0$ 有 $f (x) > 0$
C对一切 $x$ 有 $f (x) \geq 0$
D存在 $x$ 使 $f (x) > 0$

练 2

f = (x_{1} + x_{2})^{2}

是 ________ 定的（填「正」或「半正」）。

练 3

A

正定的充要条件是其特征值（）。

A全为正
B全非负
C乘积为正
D和为正

练 4

正定二次型的正惯性指数

p =

________（用

n

表示）。

第二组 · 顺序主子式

练 5

A = (2112)

的

D_{1} =

________，

D_{2} =

________。

练 6

判断正定时，必须检查的是（）。

A只需 $∣ A ∣ > 0$
B全部 $n$ 个顺序主子式都大于零
C全部主子式都大于零
D对角元全大于零

练 7

A

负定时，

D_{1}

的符号为 ________。

练 8

A = (1221)

（）。

A正定
B负定
C半正定
D不定

第三组 · 性质与构造

练 9

设

A

正定，则下列不一定正定的是（）。

A $A^{- 1}$
B $2 A$
C $A B$ （ $B$ 正定）
D $A + B$ （ $B$ 正定）

练 10

设

B

为列满秩矩阵，则

B^{T} B

________（填「正定」或「半正定」）。

练 11

设

A

正定、

C

可逆，则

C^{T} A C

（）。

A正定
B半正定但未必正定
C不定
D与 $C$ 有关，无法确定

练 12

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + t x_{3}^{2}

正定时

t

的取值范围是 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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