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样本空间与随机事件

概率论与数理统计 · 随机事件与概率

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 样本空间：先把「所有可能的结果」写下来

随机试验要满足三条：可以在相同条件下重复做；所有可能的结果事先就知道；
每次做出来是哪个结果，事先不确定。

所有可能结果组成的集合叫样本空间，记作 ；其中每一个结果叫样本点 。

三种常见形状：



三行分别是：掷骰子的点数、掷到出正面为止的次数、元件的寿命。

写样本空间是解题的第一步，也是最常被跳过的一步。
后面「事件是 的子集」「古典概型要数 里有几个点」全压在它上面。

2. 事件就是 的子集，「发生」就是「属于」

事件是样本空间的一个子集 。

「 发生」的意思是：这次试验的结果 落在 里面。

于是三个特殊的事件立刻有了名字： 是必然事件， 是不可能事件，
只含一个样本点的叫基本事件。

事件之间的关系，也都是集合关系：

： 发生则 一定发生；

互斥（互不相容）：，两个不能同时发生；

对立： 的对立事件 满足 且 。

互斥不等于对立：对立一定互斥，互斥却不一定对立；而且「对立」只在两个事件之间说。

3. 运算与德摩根律：「至少一个」的对立是「一个都没有」

三个运算，和集合完全一样：

：至少一个发生；：同时发生；： 发生而 不发生。

差可以写成交：



交换律、结合律、分配律照搬集合，不必另记。真正要背下来的是德摩根律：



用人话读一遍就不会记反：

「至少一个发生」的对立是「一个都不发生」；「都发生」的对立是「至少一个不发生」。

三个以上事件同理，横线进去、符号翻个个儿。

4. 把中文翻译成事件表达式

这一节真正的难点不是概念，是翻译。设 是三个事件：



「恰好一个发生」要写成三项的并（三种情况互不相容）：



「至多一个发生」 恰好一个 都不发生，也等于 。

动笔前把题面里的每个词对一遍这张表，再往下算。翻译错了，后面算得再对也是别的题。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

写样本空间：定粒度、列点、数个数

第一步：问自己这个试验「一次做完之后，我能观察到什么」——那就是样本点。

第二步：定粒度。拿不准就选细的（两枚硬币分先后，别只记正面个数）。

第三步：把样本点列出来或写出通式，注意是有限、可列还是连续。

第四步：数一数 里有几个点——古典概型的分母就是它。
例例. 抛两枚硬币，写出样本空间。

第一步，一次做完能观察到什么？两枚各自的正反。

第二步，定粒度——拿不准选细的，区分第一枚与第二枚：



第三步，有限，共 个样本点。

第四步，——古典概型的分母就是它。

粗粒度会出事：若只记「正面个数」， 只有 个点，而这三个点不等可能（ 的概率是 ，另两个各 ），古典概型就用不了了。细粒度的四个点才是等可能的。

把题面翻译成事件表达式

第一步：给每个基本说法设一个字母（：第一次中靶，：第二次中靶…）。

第二步：逐词翻译——「不」给横线，「且／但」给交，「或／至少一个」给并。

第三步：遇到「恰好」「至多」先拆成几种互斥的情况，再写成并。

第四步：回读一遍表达式，用「发生 属于」把它念成中文，看是不是原话。
例例. 甲、乙各射一次。设 「甲中」、「乙中」，翻译四句话。

第一步，字母已设好。

第二步，逐词翻译：

「两人都中」（「且」给交）；

「甲中乙不中」（「不」给横线）；

「至少一人中」（「至少一个」给并）。

第三步，「恰好一人中」要先拆成两种互斥情况再并：



第四步，回读一遍：念成「甲中乙不中，或者甲不中乙中」——正是「恰好一人中」 ✓

把 当成「恰好一人」是最常见的错译： 里包含两人都中的情形。

化简事件表达式

第一步：把所有的差写成交：。

第二步：横线在外面的用德摩根律推进去（符号翻个个儿）。

第三步：用分配律把公因子提出来，如 。

第四步：化到「并的各项两两互斥」为止——下一节算概率时正好能直接相加。
例例. 化简 。

第一步，差写成交：。

第二步，德摩根律把横线推进去（符号翻个个儿）：，得



第三步，分配律展开，、：



第四步，化到了「并的各项两两互斥」—— 与 不可能同时发生 ✓ 下一节算概率时正好直接相加：



结果正是「恰好一人中」，和上一条对上了。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

掷两枚硬币把样本空间写成 个点

与 是两个不同的结果， 有 个样本点。

并成一个之后「等可能」就不成立了（正一反一的机会是另外两种的两倍），
古典概型的分母会从 错成 。

两个对象有先后之分时，样本点就要分先后。

把互斥当成对立

互斥只要求 ；对立还要求 。

掷骰子时 与 互斥，但掷出 时两个都没发生，所以不对立。

后果：把 当成 来算。「对立」只在两个事件之间说，
三个以上没有这个词。

「不同时发生」写成「都不发生」

「不同时发生」是 ；「都不发生」是 。

后者比前者窄得多（它还排除了「只有一个发生」）。

德摩根律一用就不会错：横线推进去， 与 要翻个个儿。

翻译时丢括号

「 不发生，但 、 至少一个发生」是 ，
不是 ——后者在 发生时不管 死活。

交的优先级高于并，所以「并」要加括号。

写完回读一遍：把表达式念成中文，看是不是题面那句话。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 样本空间与事件

练 1

掷一枚骰子，样本空间 ________。

练 2

「事件 发生」的准确含义是（ ）。
  • A这次试验的结果
  • B 是 的子集
  • C
  • D

练 3

掷两枚硬币（分先后），样本空间共有 ________ 个样本点。

练 4

下列一定是不可能事件的是（ ）。
  • A
  • B
  • C
  • D

第二组 · 运算与翻译

练 5

由德摩根律， ________。

练 6

「、、 都不发生」写成事件表达式是 ________。

练 7

事件差 等于（ ）。
  • A
  • B
  • C
  • D

练 8

「 与 都发生，而 不发生」写成 ________。

第三组 · 辨析

练 9

关于互斥与对立，正确的是（ ）。
  • A互斥必对立
  • B对立必互斥
  • C两者等价
  • D两者毫无关系

练 10

三个事件中「恰好有一个发生」的表达式是 ________。

练 11

「 至少有一个发生」的对立事件是（ ）。
  • A三个都发生
  • B恰好有一个发生
  • C三个都不发生
  • D至多有一个发生

练 12

「 不发生，但 、 中至少有一个发生」写成 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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