样本空间与随机事件

§15.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

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6.1 分支撑的下游价值

前置诊断

这是地基知识点，无前置要求，可以直接学习。

③ 掌握后可解锁概率的定义与性质古典概型与几何概型条件概率与乘法公式随机变量与分布函数

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 样本空间与随机事件的定义： $Ω$ 、样本点、必然/不可能事件与互斥/对立关系★★ 必会

① 样本空间与样本点：随机试验

E

的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作

Ω

；每一个结果

ω \in Ω

称为样本点。例如掷一颗骰子，

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

。

② 随机事件：

Ω

的子集

A \subset Ω

称为随机事件，简称事件；当试验的结果

ω \in A

时，称事件 $A$ 发生。由单个样本点组成的事件称为基本事件。有两个极端的情形：

Ω

本身在每次试验中都必然发生，称为必然事件；空集

\emptyset

永远不发生，称为不可能事件。

③ 事件的关系与运算（与集合的语言逐一对应）：
- 包含

A \subset B

：

A

发生必导致

B

发生；

A = B ⟺ A \subset B

且

B \subset A

；
- 并（和）

A \cup B

：

A, B

中至少有一个发生；交（积）

A B = A \cap B

：二者同时发生；差

A - B = A \overset{ˉ}{B}

：

A

发生而

B

不发生；
- 互斥（互不相容）：

A B = \emptyset

，即

A

与

B

不能同时发生；
- 对立（互逆）：

A B = \emptyset

且

A \cup B = Ω

，此时记

B = \overset{ˉ}{A} = Ω - A

，它表示

A

不发生。

④ 互斥与对立的辨析（必考）：对立必互斥，互斥未必对立。对立要求二者不能同时发生且必居其一，互斥只要求前一半。对立只就一对事件而言，而

n (n \geq 3)

个事件可以两两互斥。由此得到关于概率的推论：互斥时有

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

；对立时还有

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

。

证明 / 推导

证先证对立 $\Rightarrow$ 互斥：对立的定义中已经包含

A B = \emptyset

，所以对立必互斥。再看互斥 $\neq \Rightarrow$ 对立，举反例如下：掷骰子，取

A = {1}, B = {2}

，则

A B = \emptyset

，二者互斥；但

A \cup B = {1, 2} \neq = Ω

，例如掷出

3

时两者都不发生，所以二者不对立。下面再证一条常用的恒等式

A - B = A \overset{ˉ}{B}

，用元素法：

ω \in A - B ⟺ ω \in A

且

ω \in / B ⟺ ω \in A

且

ω \in \overset{ˉ}{B} ⟺ ω \in A \overset{ˉ}{B}

。

■

举例说明

1994·数一填空：设随机事件

A, B

满足

P (A B) = P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B})

，且

P (A) = p

，求

P (B)

。
解：事件

\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}

表示

A, B

都不发生，用德摩根公式（见下一条）可以把它化成并事件的对立事件：

\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} = \overline{A \cup B}

，故

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) = 1 - P (A \cup B) = 1 - P (A) - P (B) + P (A B) .

代入条件

P (A B) = P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B})

，得

P (A B) = 1 - P (A) - P (B) + P (A B)

，两端消去

P (A B)

，得

P (A) + P (B) = 1

，故

P (B) = 1 - p .

本题的实质：都发生与都不发生这两个事件等概率，迫使

P (A) + P (B) = 1

，即在数量上二者互补；但

A, B

本身未必对立，因为题中并未要求

A B = \emptyset

。把都不发生

\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}

误认作不都发生

\overline{A B}

，是这类题目中最常见的错误。

2. 事件运算的基本定律：分配律与德摩根（对偶）公式，长杠变短杠，并变交、交变并★★ 必会

事件的交、并、补运算与集合运算完全一致。除交换律、结合律外，考试中真正常用的有下面两条。

① 分配律：

A (B \cup C) = A B \cup A C

；

A \cup (B C) = (A \cup B) (A \cup C)

。

② 德摩根（De Morgan）对偶公式：

\overline{A \cup B} \overline{A B} = \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} = \overset{ˉ}{A} \cup \overset{ˉ}{B}

可以记成长杠变短杠，并变交、交变并；对

n

个事件也逐字推广：

\overline{⋃_{i} A_{i}} = ⋂_{i} \overset{ˉ}{A}_{i}

，

\overline{⋂_{i} A_{i}} = ⋃_{i} \overset{ˉ}{A}_{i}

。

最常用的用法（正面难求就求反面）：至少有一个发生与全不发生互为对立事件，故

P (i = 1 ⋃ n A_{i}) P (\overset{ˉ}{A}_{1} \dots \overset{ˉ}{A}_{n}) = 1 - P (\overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} \dots \overset{ˉ}{A}_{n}) = 1 - P (i = 1 ⋃ n A_{i}) .

凡是题中出现至少、全不、都不这类说法，就应当首先想到用对偶公式转化。

差事件也一并列出：

A - B = A \overset{ˉ}{B} = A - A B

，因此

P (A - B) = P (A) - P (A B)

，这里并不要求

B \subset A

。

证明 / 推导

证下面证明

\overline{A \cup B} = \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}

，用元素法证两边互相包含：

ω \in \overline{A \cup B} ⟺ ω \in / A \cup B ⟺ ω \in / A

且

ω \in / B ⟺ ω \in \overset{ˉ}{A}

且

ω \in \overset{ˉ}{B} ⟺ ω \in \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}

。因此这两个集合相等。至于第二条对偶式，只要把

A, B

换成

\overset{ˉ}{A}, \overset{ˉ}{B}

，再对整个等式取补即得。

n

个事件的情形同法可证：不属于它们的并

⟺

一个都不属于

⟺

属于各个补集的交。

■

举例说明

1992·数一填空：已知

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}

，

P (A B) = 0

，

P (A C) = P (B C) = \frac{1}{12}

，求

A, B, C

全不发生的概率。
解：先用德摩根公式把全不发生化成对立事件：

\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C} = \overline{A \cup B \cup C}

，故

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}) = 1 - P (A \cup B \cup C) .

再用三个事件的加法公式（见 §15.2），得

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (A C) - P (B C) + P (A B C) = \frac{3}{4} - (0 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}) + P (A B C)

。此处容易出错：

P (A B C)

既不能遗漏，也不能随意假定；由

A B C \subset A B

得

0 \leq P (A B C) \leq P (A B) = 0

，因此

P (A B C) = 0

。于是

P (A \cup B \cup C) = \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{7}{12}

，

P (全不发生) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} .

（如果不用德摩根公式，而直接对

\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}

硬算，几乎无从下手。由此可见对偶公式的作用。）

3. 样本空间的选取不唯一：等可能来自建模时的假设，而不是事件本身的属性★ 要懂

对于同一个随机试验，样本空间可以有多种取法，这取决于把基本结果定义得多细。例如掷两颗骰子：如果只关心点数之和，可取

Ω_{1} = {2, 3, \dots, 12}

，它有

11

个样本点；如果要使各样本点等可能，就必须取有序数对

Ω_{2} = {(i, j) : 1 \leq i, j \leq 6}

，它有

36

个样本点。同一个事件，例如和为

7

，在

Ω_{1}

中是

1

个样本点，在

Ω_{2}

中却是

6

个样本点。

由此得到一条重要的结论：等可能并不是事件本身固有的属性，而是选取样本空间时所附加的假设。古典概型中的

m / n

，只有在等可能的样本空间上才成立。选取样本空间的准则是：① 足够细，能表达所关心的每一个事件；② 若要用古典概型，还要细到使各样本点等可能。

举例说明

求

P (两骰子点数之和 = 7)

。

错误的做法：在

Ω_{1}

中共有

11

种和，以为每一种的概率都是

1/11

，于是得

1/11

。错在

Ω_{1}

的样本点并不等可能：和为

2

的只有

(1, 1)

，而和为

7

的有

6

种。

正确的做法：改用等可能的

Ω_{2}

，其中共有

36

个有序数对，和为

7

的包含

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

共

6

个，故

P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} .

可见对同一个事件，只有选对样本空间才能数得正确。这是初学者在建立模型时最容易出错的地方。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 4. 示性函数：把事件的交、并、补与计数化为算术运算

给事件

A

配一个示性函数（它是随机变量）：

1_{A} (ω) = 1

，当

ω \in A

；否则

= 0

。于是事件的运算全部化为算术运算：

1_{\overset{ˉ}{A}} 1_{A B} 1_{A \cup B} = 1 - 1_{A} = 1_{A} 1_{B} = 1 - (1 - 1_{A}) (1 - 1_{B}) .

特别地，这

n

个事件中发生的个数就是随机变量

N = \sum_{i = 1}^{n} 1_{A_{i}}

，从而恰好

k

个发生这一事件就

= {N = k}

，至少

k

个发生这一事件就

= {N \geq k}

。

示性函数把冗长的文字叙述与集合关系化成可以运算的代数式，它把事件与随机变量、数学期望联系了起来，后面的

E N = \sum_{i} P (A_{i})

就由此而来。

证明 / 推导

证现在证明

1_{A \cup B} = 1_{A} + 1_{B} - 1_{A B}

。逐点验证下列四种情形：

- 若

ω \in / A \cup B

，则三项皆为

0

，左端

=

右端

= 0

；
- 若

ω \in A, ω \in / B

，则左端

= 1

，右端

= 1 + 0 - 0 = 1

；
- 若

ω \in / A, ω \in B

，由对称性，右端

= 0 + 1 - 0 = 1

；
- 若

ω \in A B

，则左端

= 1

，右端

= 1 + 1 - 1 = 1

。

四种情形全部相符，所以恒等式成立。对两端取数学期望，并注意

E 1_{E} = P (E)

，即得概率的加法公式

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)

。这就是加法公式的代数证法。

举例说明

三人射击，记

A_{i} = {第 i 人命中}

。用示性函数表示恰好两人命中这一事件，它就是

{N = 2}

，其中

N = 1_{A_{1}} + 1_{A_{2}} + 1_{A_{3}}

。展开成集合，它是三个互斥项之并

A_{1} A_{2} \overset{ˉ}{A}_{3} \cup A_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} A_{3} \cup \overset{ˉ}{A}_{1} A_{2} A_{3} .

命中人数为偶数这一事件则是

{N \in {0, 2}} = \overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} \overset{ˉ}{A}_{3} \cup (A_{1} A_{2} \overset{ˉ}{A}_{3} \cup A_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} A_{3} \cup \overset{ˉ}{A}_{1} A_{2} A_{3})

。用

N

来计数，就不会漏项。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 5. 事件也能取极限：单调事件列与事件域（σ-代数）

概率论要处理无穷多次试验，因此必须使事件对可列运算封闭：可列并

⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}

与可列交

⋂_{i = 1}^{\infty} A_{i}

仍须是事件。凡含

Ω

、对取补封闭、对可列并封闭的事件全体，称为事件域（ $σ$ -代数）。由此可以说明，为什么不能简单地把任意子集都当作事件，而要有这样一层结构，这在不可数的样本空间上尤为重要。

对单调事件列可以定义极限：当

A_{1} \subset A_{2} \subset \dots

递增时，

lim_{n} A_{n} = ⋃_{n} A_{n}

；当

A_{1} \supset A_{2} \supset \dots

递减时，

lim_{n} A_{n} = ⋂_{n} A_{n}

。这就为下一节的概率连续性，即

P (lim_{n} A_{n}) = lim_{n} P (A_{n})

，作了准备。

举例说明

不断抛掷硬币，令

A_{n} = {前 n 次至少有一次正面}

。显然

A_{1} \subset A_{2} \subset \dots

递增，于是

n ⋃ A_{n} n ⋂ \overset{ˉ}{A}_{n} = {终将出现正面} = {永不出现正面} .

几何上的情形与此相类似：

B_{n} = [0, 1 - \frac{1}{n}]

递增，而

⋃_{n} B_{n} = [0, 1)

，可列并把始终达不到的端点

1

留在了外面。正是因为有这种细致的现象，才需要区分区间的开闭，并引入可列运算。

6. 恰好发生 $m$ 个的通用集合表达与对偶化简★★ 必会

设有

n

个事件

A_{1}, \dots, A_{n}

，考试中常要把恰好

m

个发生、至少

m

个发生写成规范的集合表达式。

- 恰好 $m$ 个发生：从

n

个事件中选出

m

个取原事件，其余

n - m

个取对立事件，再把

(m n)

种选法所得的项并起来，这些项两两互斥；
- 至少 $m$ 个

= ⋃_{j \geq m} {恰好 j 个}

。

善用对偶（德摩根）公式常能化简：至少一个发生的事件

⋃_{i} A_{i} = \overline{⋂_{i} \overset{ˉ}{A}_{i}}

，至多

m - 1

个发生的事件

= \overline{{至少 m 个}}

。稳妥的做法是：先归结到恰好

j

个发生这一组互斥的基本情形上，再按需要把它们并起来或者取对立。

举例说明

设

n = 3

，

B_{i} = {第 i 只元件失效}

。

恰好一只失效的事件

= B_{1} \overset{ˉ}{B}_{2} \overset{ˉ}{B}_{3} \cup \overset{ˉ}{B}_{1} B_{2} \overset{ˉ}{B}_{3} \cup \overset{ˉ}{B}_{1} \overset{ˉ}{B}_{2} B_{3}

，共

(1 3) = 3

项。

至少两只失效的事件

= B_{1} B_{2} \cup B_{1} B_{3} \cup B_{2} B_{3}

，它也等于恰好两只失效

\cup

恰好三只失效。

至多一只失效的事件

= \overline{至少两只} = \overline{B_{1} B_{2} \cup B_{1} B_{3} \cup B_{2} B_{3}}

，取对立事件要比正面并起

4

个互斥项来得省事。这三种写法可以互相检验，从而避免漏项或者重复。

💡 小知识

把随机事件严格定义成样本空间的子集，是苏联数学家柯尔莫哥洛夫 1933 年在《概率论基础》中确立的。有了事件即集合这一步转写，概率论才接上了集合论与测度论，从赌桌上的经验之谈变成严密的现代数学分支。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 掷一颗骰子，观察出现的点数。

(1)

写出样本空间

Ω

；

(2)

设

A = {

点数为偶数

}

，

B = {

点数大于

3}

，用集合列出

A

、

B

、

A B

、

A \cup B

、

\overset{ˉ}{A}

。难度 1

思路：把每个中文事件翻译成 $Ω$ 的子集，再按交、并、补运算。

(1)

掷骰子的基本结果是点数

1

到

6

，故

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .

(2)

逐一翻译：

A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} .

积事件

A B

（同时发生，即偶数且大于

3

）：

A B = {4, 6}

。
和事件

A \cup B

（至少一个发生）：

A \cup B = {2, 4, 5, 6}

。
对立事件

\overset{ˉ}{A}

（

A

不发生，即点数为奇数）：

\overset{ˉ}{A} = {1, 3, 5}

。

例 2 甲、乙两人各向目标射击一次，记

A = {

甲命中

}

，

B = {

乙命中

}

。用

A, B

及其运算表示下列事件：

(1)

两人都命中；

(2)

至少一人命中；

(3)

恰好一人命中；

(4)

两人都没命中。难度 1

口诀：「都」译成积，「至少一个」译成并，「恰好一个」译成互斥情形之并，「都不」用对立。

(1)

两人都命中：

A B

。

(2)

至少一人命中：

A \cup B

。

(3)

恰好一人命中 = 「甲中乙不中」或「甲不中乙中」，两种互斥情形之并：

A \overset{ˉ}{B} \cup \overset{ˉ}{A} B

。

(4)

两人都没命中：

\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}

（由德摩根律也等于

\overline{A \cup B}

）。

例 3 设

A, B, C

为三个随机事件，用它们的运算表示：

(1)

A, B, C

中恰好有一个发生；

(2)

A, B, C

中至少有两个发生。难度 2

思路：「恰好一个」列出三种互斥情形之并；「至少两个」把「两两都发生」并起来。

(1)

恰好一个发生 = 「只有

A

」或「只有

B

」或「只有

C

」，三者互斥：

A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C} \cup \overset{ˉ}{A} B \overset{ˉ}{C} \cup \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} C .

(2)

至少两个发生 = 「

A, B

都发生」或「

A, C

都发生」或「

B, C

都发生」（这三者可以重叠，用并即可，不必互斥）：

A B \cup A C \cup B C .

注：此式已自动包含「三个都发生」

A B C

的情形。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2020 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B, C

为三个随机事件，且

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}

，

P (A B) = 0

，

P (A C) = P (B C) = \frac{1}{12}

，则

A, B, C

中恰有一个事件发生的概率为（　　）

A $\frac{3}{4}$ .
B $\frac{2}{3}$ .
C $\frac{1}{2}$ .
D $\frac{5}{12}$ .

1994 年 · 数一 · 第 20 题 · 填空题 · 3 分

设随机事件

A, B

满足条件

P (A B) = P (\overline{A} \overline{B})

，且

P (A) = p

，则

P (B) =

___.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A, B

为两个事件，则事件「

A

发生而

B

不发生」可表示为（　）。

A $A \cup B$
B $A B$
C $A - B$
D $\overset{ˉ}{A} B$

练习 2 · 选择题

下列各式中，与

\overline{A \cup B}

恒相等的是（　）。

A $\overset{ˉ}{A} \cup \overset{ˉ}{B}$
B $\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}$
C $\overset{ˉ}{A} B$
D $A \overset{ˉ}{B}$

练习 3 · 选择题

关于事件的「互斥」与「对立」，下列说法正确的是（　）。

A互斥必对立
B对立必互斥
C互斥与对立是同一概念
D对立不一定互斥

练习 4 · 填空题

掷一颗骰子，设

A = {

点数为偶数

}

，

B = {

点数不超过

3}

，则事件

A \cup B

所含的样本点为 ____。

练习 5 · 填空题

设事件

A \subset B

，则

A \cup B =

____（用

A

或

B

表示）。

样本空间与随机事件

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 样本空间与随机事件的定义：Ω、样本点、必然/不可能事件与互斥/对立关系★★ 必会

2. 事件运算的基本定律：分配律与德摩根（对偶）公式，长杠变短杠，并变交、交变并★★ 必会

3. 样本空间的选取不唯一：等可能来自建模时的假设，而不是事件本身的属性★ 要懂

6. 恰好发生 m 个的通用集合表达与对偶化简★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 样本空间与随机事件的定义： $Ω$ 、样本点、必然/不可能事件与互斥/对立关系★★ 必会

6. 恰好发生 $m$ 个的通用集合表达与对偶化简★★ 必会