古典概型与几何概型

§15.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

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0.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）概率的定义与性质样本空间与随机事件

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 古典概型 $P (A) = \frac{m}{n}$ 与几何概型 $P (A) = \frac{μ ( A )}{μ ( Ω )}$ 的定义★★ 必会

① 古典概型（等可能概型）：若试验满足 (i) 有限性，样本空间只含

n

个样本点；(ii) 等可能性，每个样本点发生的机会相同，则含

m

个样本点的事件

A

的概率定义为

P (A) = \frac{m}{n} = \frac{A 所含样本点数}{Ω 的样本点总数} .

计数靠排列组合：加法/乘法原理、排列数

A_{n}^{k}

、组合数

(k n)

。这两个条件缺一不可：如果样本点有无穷多个，或者各样本点并非等可能，那么

\frac{m}{n}

就不再适用（例如骰子不均匀时，就不能用数样本点的办法）。

② 几何概型：若试验相当于向可度量区域

Ω

（测度

μ

= 长度/面积/体积）均匀投点，点落在任何子区域的机会只与该区域的测度成正比、与其位置形状无关，则

P (A) = \frac{μ ( A )}{μ ( Ω )} .

它把计数样本点推广为度量测度，用来处理样本点有无穷多个的等可能问题。解题分三步：① 选定变量，把试验的结果对应为

Ω

中的点（一个随机量取区间长度，两个随机量取平面区域）；② 把事件表示成子区域，并画出图形；③ 计算测度之比。

③ 二者的共同基础都是等可能性：古典概型用计数，几何概型用测度，它们都满足概率的三条公理，是公理化概率在等可能场合下的具体实现。必须注意：使用几何概型时，一定要说清楚对哪一个量是均匀的，否则所得概率并不唯一（这就是 Bertrand 悖论，见后面一条）。

证明 / 推导

证先验证古典概型中的

\frac{m}{n}

确是概率，即它满足三条公理。非负性显然；

P (Ω) = \frac{n}{n} = 1

；互斥的事件

A, B

没有公共的样本点，它们的并含

m_{A} + m_{B}

个样本点，故

P (A \cup B) = \frac{m _{A} + m _{B}}{n} = P (A) + P (B) .

几何概型与此相类似，由测度的非负性、

μ (Ω) / μ (Ω) = 1

以及测度对不相交的并的可加性逐条得到。

■

举例说明

2007·数一填空：在区间

(0, 1)

中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小于

\frac{1}{2}

的概率。
解：第一步（化为几何概型）：设两数为

X, Y

，随机地取两个数，就是点

(X, Y)

在单位正方形

Ω = {0 < x < 1, 0 < y < 1}

上均匀分布，

μ (Ω) = 1

，这是二维几何概型。第二步（画出区域）：事件

A = {∣ x - y ∣ < \frac{1}{2}}

是正方形中夹在两条平行线

y = x \pm \frac{1}{2}

之间的带形。

第三步（计算测度）：计算补集更为方便。满足

∣ x - y ∣ \geq \frac{1}{2}

的部分是两个直角边长为

\frac{1}{2}

的等腰直角三角形（左上、右下各一个），总面积为

2 \times \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

。故

P (A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

易错之处：如果忘记补集中的三角形有两个，只减去一个，就会误得

\frac{7}{8}

。做几何概型的题目时若不画图，极易看错区域。

2. 抽签的公平性：由对称性知先抽与后抽的中奖概率相同★ 要懂

先抽签与后抽签，哪一个更有利？设

n

个人依次不放回地从

n

张签（其中含

1

张中奖签）中各抽一张，则第 $k$ 个人抽到中奖签的概率都等于 $1/ n$ ，与抽签的次序无关。

直观地看，把

n

张签抽出的先后顺序看作一个随机的全排列，中奖签等可能地落在

n

个位置中的任何一个，落在第

k

个位置的概率就是

1/ n

。抽签的公平性是古典概型中对称性的典型例子，也说明处理不放回抽样时，不必真的按次序逐步计算。

证明 / 推导

证把

n

张签的抽取结果看作

1 \sim n

号签的一个等可能全排列，样本点总数

n!

。第

k

个人抽到中奖签，意味着中奖签排在第

k

位。固定中奖签于第

k

位（

1

种），其余

n - 1

张在剩下的

n - 1

个位置上任意排列（

(n - 1)!

种），故有利情形数为

(n - 1)!

。于是

P (第 k 人中奖) = \frac{( n - 1 )!}{n !} = \frac{1}{n},

它与

k

无关。也可用乘法公式计算：

P = \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 2}{n - 1} \dots \frac{n - k + 1}{n - k + 2} \cdot \frac{1}{n - k + 1} = \frac{1}{n}

，逐项约分即得。

举例说明

设

5

人抓阄决定

1

个名额，其中

1

张有字、

4

张空白。无论第几个抓，抓到的概率都是

1/5

，先抓的人既不占先，也不吃亏。这就是抓阄被认为公平的数学依据。

3. 占位（分房）模型与生日问题

有一大类古典概型问题，是把

n

个球放入

N

个盒子，每个球等可能地、独立地选择盒子，样本点总数为

N^{n}

。常问的有：没有空盒，某个盒中恰有

k

个球，

n

个球落入不同的盒子，等等，都用排列组合来计算有利情形数。

其中最著名的是生日问题：设

n

个人的生日等可能地落在

365

天中的任何一天，求至少有两人生日相同的概率。它的对立事件是

n

个人的生日互不相同，用占位模型即可算出。

证明 / 推导

证

n

个人生日互不相同的有利情形数，是从

365

天中有序地取

n

个不同的天，共

365 \cdot 364 \dots (365 - n + 1)

种；样本点总数为

36 5^{n}

。故

P (全不同) = \frac{365 \cdot 364 \dots ( 365 - n + 1 )}{36 5 ^{n}} = i = 0 \prod n - 1 (1 - \frac{i}{365}),

P (至少两人同生日) = 1 - i = 0 \prod n - 1 (1 - \frac{i}{365}) .

举例说明

取

n = 23

，得

P (至少两人同生日) \approx 0.507 > \frac{1}{2}

。也就是说，只要有

23

个人，生日相同的概率就超过一半，远少于直觉所估计的上百人。其原因在于，可以配对的对数

(2 n)

随

n

按平方增长，

23

个人已有

(2 23) = 253

对，机会甚多。这是概率论中与直觉不符的经典例子。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 4. 几何概型中随机的含义必须事先指定：Bertrand 悖论

几何概型以均匀分布为前提，但是随机地取一个几何对象，可以有几种同样自然的解释，从而得到不同的答案，这就是著名的 Bertrand 悖论。

问题是：在半径为

r

的圆内随机地作一条弦，求它的长度超过该圆内接等边三角形边长

3 r

的概率。对随机一词的三种不同理解，给出三种不同的答案：

① 若弦的中点在圆内均匀分布

\Rightarrow

有利区域是半径

r /2

的同心圆盘，

P = \frac{( r /2 ) ^{2}}{r ^{2}} = \frac{1}{4}

；
② 若固定一个端点，另一端点在圆周上均匀分布

\Rightarrow

有利的弧占

1/3

，

P = \frac{1}{3}

；
③ 若弦的方向固定，中点沿直径均匀分布

\Rightarrow P = \frac{1}{2}

。

由此可见，几何概型中的均匀，取决于对哪一个量作均匀假设，即取决于如何参数化。因此使用几何概型之前，必须把随机的机制说清楚，否则问题就没有确定的含义。

举例说明

上述三个答案

\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}

都是正确的，只是所作的假设不同。做题时的准则是：题目通常已经隐含指明了哪一个量是均匀的（例如在直径上均匀地取中点，或端点在圆周上均匀分布），应当认定这个量，把事件表示成该量的区域，再计算测度之比。如果题目本身含糊，答案就不唯一。这也是几何概型比古典概型更需仔细审题的原因。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 5. 蒲丰投针问题：用几何概型估计圆周率

π

在平面上画一族间距为

a

的平行线，把一根长为

l \leq a

的针随机地投下，求针与其中某条直线相交的概率。设针的中点到最近一条直线的距离为

x \in [0, a /2]

，针与平行线所成的角为

φ \in [0, π]

，二者相互独立且都服从均匀分布。这是一个二维几何概型，样本空间为矩形

[0, π] \times [0, a /2]

，其面积为

π \cdot \frac{a}{2}

。

证明 / 推导

证针与直线相交

⟺

中点到该直线的距离不超过针在垂直方向上投影的一半，即

x \leq \frac{l}{2} sin φ

。于是有利区域的面积为

S = \int_{0}^{π} \frac{l}{2} sin φ d φ = \frac{l}{2} [- cos φ]_{0}^{π} = \frac{l}{2} \cdot 2 = l .

故

P (相交) = \frac{S}{π \cdot a /2} = \frac{l}{π a /2} = \frac{2 l}{π a} .

举例说明

取

l = a

，则

P = \frac{2}{π} \approx 0.6366

。反过来，投针

N

次，数出相交的次数为

m

，用频率

\frac{m}{N} \approx \frac{2 l}{π a}

估计概率，即可解出

π \approx \frac{2 l N}{a m} .

这是历史上第一个用随机试验估计常数

π

的例子，也是蒙特卡罗方法的思想来源。

💡 小知识

1777 年布丰把一根针随机丢向一组等距的平行线，再由针与线相交的几何概率反解出圆周率

π

，这就是后来所说的布丰投针。它是人类第一次用随机实验去估计一个确定的常数，也是今天蒙特卡洛方法的源头。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 袋中有

3

个红球、

2

个白球，从中一次任取

2

个。求取到的两个球都是红球的概率。难度 1

古典概型： $P = \frac{有利组合数}{总组合数}$ ，用组合数计数。

从

5

个球中任取

2

个，总取法

C_{5}^{2} = 10

种，且每种等可能。
两个都是红球，即从

3

个红球中取

2

个，有

C_{3}^{2} = 3

种。
故

P = \frac{C _{3}^{2}}{C _{5}^{2}} = \frac{3}{10} .

例 2 掷两颗均匀的骰子，观察它们的点数。求点数之和等于

5

的概率。难度 1

关键：把两骰子看成有序对 $(i, j)$ ，样本点才等可能。

两颗骰子的结果记为有序对

(i, j)

，

i, j \in {1, \dots, 6}

，共

6 \times 6 = 36

个等可能样本点。
和为

5

的情形有

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

共

4

个。
故

P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} .

（切勿按「和为

2 \sim 12

共

11

种」当等可能，那是错的。）

例 3 向边长为

2

的正方形内均匀随机地投一点，正方形中心为

O

。求所投点到中心

O

的距离小于

1

的概率。难度 2

几何概型： $P = \frac{有利区域面积}{总区域面积}$ 。

样本空间是边长

2

的正方形，面积

μ (Ω) = 2^{2} = 4

。
「到中心距离小于

1

」的点构成以

O

为心、半径

1

的圆盘，它完全落在正方形内，面积

μ (A) = π \cdot 1^{2} = π .

故

P = \frac{μ ( A )}{μ ( Ω )} = \frac{π}{4} .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2007 年 · 数一 · 第 16 题 · 填空题 · 4 分

在区间

(0, 1)

中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于

\frac{1}{2}

的概率为 ______.

1991 年 · 数一 · 第 21 题 · 填空题 · 3 分

随机地向半圆

0 < y < 2 a x - x^{2} (a > 0)

内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则原点与该点的连线与

x

轴的夹角小于

\frac{π}{4}

的概率为 ___.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

掷两颗均匀骰子，则点数之和为

7

的概率为（　）。

A $\frac{1}{6}$
B $\frac{1}{9}$
C $\frac{1}{11}$
D $\frac{5}{36}$

练习 2 · 填空题

袋中有

4

个白球、

3

个黑球，一次任取

2

个，则取到的两球颜色不同的概率为 ____。

练习 3 · 选择题

在区间

[0, 1]

上随机取两个数

x, y

，则

x + y < 1

的概率为（　）。

A $\frac{1}{2}$
B $\frac{1}{4}$
C $\frac{1}{3}$
D $\frac{3}{4}$

练习 4 · 填空题

从

1, 2, \dots, 10

这

10

个数中任取一个，则取到的数能被

3

整除的概率为 ____。

练习 5 · 选择题

在区间

[0, 1]

上随机取两个数

x, y

，则

∣ x - y ∣ < \frac{1}{2}

的概率为（　）。

A $\frac{3}{4}$
B $\frac{1}{4}$
C $\frac{1}{2}$
D $\frac{1}{3}$

1988 年 · 数一 · 第 20 题 · 填空题 · 2 分

在区间

(0, 1)

中随机地取两个数，则事件“两数之和小于

\frac{6}{5}

”的概率为 ___.

古典概型与几何概型

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 古典概型 P(A)=nm​ 与几何概型 P(A)=μ(Ω)μ(A)​ 的定义★★ 必会

2. 抽签的公平性：由对称性知先抽与后抽的中奖概率相同★ 要懂

3. 占位（分房）模型与生日问题

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 古典概型 $P (A) = \frac{m}{n}$ 与几何概型 $P (A) = \frac{μ ( A )}{μ ( Ω )}$ 的定义★★ 必会