古典概型与几何概型

概率论与数理统计 · 随机事件与概率

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 古典概型：有限 $+$ 等可能，于是概率就是数数

两个前提缺一不可：样本点有限，而且每个样本点等可能。

这时概率退化成一个比值：

P (A) = \frac{A 中样本点的个数}{Ω 中样本点的个数} .

全部工作量都在数数上：分母数一次、分子数一次。

要紧的是一条纪律：分子分母必须用同一种数法。
数法一换，样本空间就换了，两个数就不在一个

Ω

里了。

2. 数数的工具：分类用加法，分步用乘法

分类（做这件事有几类办法）用加法；分步（分几步完成）用乘法。

在此之上有两个计数公式：

A_{n}^{m} = \frac{n !}{( n - m )!} (有序),

C_{n}^{m} = \frac{n !}{m ! ( n - m )!} (无序) .

抽取问题有三种常见结构：

有放回、计次序 不放回、计次序 不放回、不计次序 n^{k} A_{n}^{k} C_{n}^{k}

挑哪一个，只问一句话：交换两个取出来的东西，算不算同一个结果？
算——组合；不算——排列。

3. 几何概型：等可能换成「与大小成正比」

样本点有无穷多时（在一段线、一块面积、一个体积上随机取点），数数失效。
这时的等可能换一个说法：

落在哪里的机会只与区域的大小有关，与位置、形状无关。

于是

P (A) = \frac{μ ( A )}{μ ( Ω )},

其中

μ

是长度、面积或体积。

有几个随机量，就用几维：一个随机量画在线段上，两个随机量画成平面上的点
（横坐标一个、纵坐标一个），条件就变成平面上的一块区域。

4. 两个必会模型：摸球与会面

① 摸球（不放回）.

N

件里有

M

件次品，取

n

件，恰有

k

件次品：

P = \frac{C _{M}^{k} C _{N - M}^{n - k}}{C _{N}^{n}} .

分子是「次品里挑

k

件、正品里挑

n - k

件」，分步相乘。
这就是后面超几何分布的样子，先在这里见一面。

② 会面问题. 两人在

[0, T]

内随机到达，先到者等

t

，求能见面的概率。

两个随机量

\to

平面。条件是

∣ x - y ∣ \leq t,

它在正方形里是一条对角带；带外是两个直角边为

T - t

的三角形。

P = 1 - (\frac{T - t}{T})^{2} .

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

古典概型三步

第一步：先定数法——有序还是无序、放回还是不放回，并写在草稿上。

第二步：按这个数法数

∣Ω∣

（分母）。

第三步：用同一个数法数

∣ A ∣

（分子），分步相乘、分类相加。

第四步：约分；顺手验一下答案落在

[0, 1]

里。

例例. 盒里

3

红

2

白，不放回取

2

个。求「两个都是红的」。

第一步，定数法：不放回、不计顺序（问的是取到哪两个，不是先后）——用组合。写在草稿上。

第二步，

∣Ω∣ = C_{5}^{2} = 10

。

第三步，用同一个数法数分子：

∣ A ∣ = C_{3}^{2} = 3

。

第四步，

P = \frac{3}{10}

，落在

[0, 1]

内 ✓

换成有序的数法：

∣Ω∣ = A_{5}^{2} = 20

、

∣ A ∣ = A_{3}^{2} = 6

，

P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

——同一个答案。两种数法都行，但分子分母必须用同一种，混着用才会错。

排列还是组合

第一步：问「交换取出的两件，算不算同一结果」。

第二步：算同一结果用

C

，不算用

A

。

第三步：有放回时用乘法原理（

n^{k}

），不要套

A

、

C

。

第四步：拿不准就两种各算一遍，答案应当相同。

例例. 从

5

个人里选

2

个，两种问法。

第一步，问自己：「交换这两人，算不算同一结果？」

第二步，「选两人去开会」——算同一结果，用

C_{5}^{2} = 10

；

「选一正一副」——不算（正副对调是另一种安排），用

A_{5}^{2} = 20

。

第三步，有放回时两种都不套：「从

5

个数字里有放回地取

2

次」用乘法原理

5^{2} = 25

，既不是

C

也不是

A

。

第四步，拿不准就两种各算一遍——上一条已经示范过，只要分子分母同法，答案必然相同。

几何概型：画成区域，算测度比

第一步：数一数有几个随机量——一个用线段，两个用平面。

第二步：把

Ω

画出来，算它的长度／面积。

第三步：把条件翻译成区域（不等式），画在同一张图上。

第四步：取比值。区域形状复杂时，先算对立事件往往更快。

例例. 在

(0, 1)

上随机取两个数

x, y

，求「两数之和小于

1

」的概率。

第一步，两个随机量

\Rightarrow

用平面。

第二步，

Ω

是单位正方形，面积

1

。

第三步，条件

x + y < 1

是直线

x + y = 1

下方那一侧，与正方形交出一个直角边为

1

的三角形，面积

\frac{1}{2}

。

第四步，

P = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}

。

区域复杂时先算对立：若问

x + y < 1.5

，直接画是个五边形；而对立事件

x + y \geq 1.5

是个小三角形，面积

\frac{1}{8}

，故

P = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

——快得多。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

分子分母数法不一致

分母按有序数、分子按无序数（或反过来），两个数不在同一个样本空间里。

症状：算出来的概率莫名其妙地大一倍或小一半。

动笔前把数法写在草稿纸上，数完分母再照抄那句话去数分子。

不放回却按放回算

不放回时第二次的可选个数少了一个，分母是

A_{n}^{k}

或

C_{n}^{k}

，不是

n^{k}

。

题面里的信号词：「任取

2

件」「依次取出不放回」是不放回；
「每次取后放回」「掷

n

次」是有放回。

读题时把这句话圈出来。

几何概型里把「等可能」当成「点数一样多」

无穷多个点没法比个数（线段上点的个数和平面上一样多）。

几何概型的等可能指的是与测度成正比：同样长的两段机会相同。

所以这类题要算的是长度、面积、体积，不是「点数」。

由 $P (A) = 0$ 断定 $A$ 不会发生

在

[0, 1]

上取点，取到

0.5

的概率是

0

，但这件事完全可能发生。

「概率为零」与「不可能」只在古典概型（有限等可能）里才是一回事。

同理，

P (A) = 1

也不等于「必然发生」。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认模型

练 1

掷一枚骰子，出现偶数点的概率为 ________。

练 2

古典概型的两个前提是（）。

A样本点有限 $+$ 等可能
B样本点无限 $+$ 等可能
C样本点有限 $+$ 相互独立
D等可能 $+$ 相互独立

练 3

在

[0, 1]

上随机取一点，它落在

[0.2, 0.5]

内的概率为 ________。

练 4

从

5

个不同的球中任取

2

个（不计次序），取法共有（）种。

A $20$
B $25$
C $5$
D $10$

第二组 · 数数

练 5

掷两枚骰子，点数之和为

7

的概率为 ________。

练 6

10

件产品中有

3

件次品，任取

2

件，恰有

1

件次品的概率为 ________。

练 7

抽取问题中该用组合而不是排列，判据是（）。

A取球是有放回的
B交换取出的两件，算同一个结果
C样本点有无穷多
D每个结果概率相等

练 8

x, y

各自在

[0, 1]

上随机取值，则

P (x + y < 1) =

________。

第三组 · 综合

练 9

两人在

7

点到

8

点之间随机到达，先到者等

20

分钟，则能见面的概率为 ________。

练 10

在几何概型中

P (A) = 0

意味着（）。

A $A$ 是不可能事件
B $A$ 一定不会发生
C $A$ 的测度为 $0$ ，但仍可能发生
D一定是算错了

练 11

10