条件概率与乘法公式

概率论与数理统计 · 随机事件与概率

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 条件概率：样本空间缩小了

设

P (B) > 0

，定义

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} .

读法：已知 $B$ 发生了，再问 $A$ 发生的概率。

它的几何意思是换了一个样本空间：既然

B

发生了，所有不在

B

里的结果都出局，
剩下的「全集」就是

B

。

于是分子只留

A

落在

B

里的那部分（就是

A B

），分母换成

P (B)

——
除以它是为了让新全集的概率重新等于

1

。

验一下就懂了：

P (B ∣ B) = \frac{P ( B )}{P ( B )} = 1

，新的全集确实是

B

。

2. 乘法公式：顺着时间一步一步写

把定义式反过来乘，就是乘法公式：

P (A B) = P (B) P (A ∣ B), P (A B) = P (A) P (B ∣ A) .

两种写法都对，用哪个取决于题目给了哪个条件概率。

三个事件的形式要按顺序往下接：

P (A B C) = P (A) P (B ∣ A) P (C ∣ A B) .

它最适合「有先后」的题：依次取球、逐件检验、分批抽样。
顺着时间写下去，每一步只需要盯住「到这一步为止，还剩什么」。

3. 条件概率也是概率，但竖线右边不能动

把

B

固定住，

P (\cdot ∣ B)

本身满足三条公理。所以竖线左边的性质全部照搬：

P (\overset{ˉ}{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B),

P (A_{1} \cup A_{2} ∣ B) = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B) - P (A_{1} A_{2} ∣ B) .

但竖线右边一换，就是换了一个样本空间，两边没有这类恒等式：

P (A ∣ B) + P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) \neq = 1 (一般) .

一条竖线，把「能照搬的」和「不能照搬的」分得清清楚楚：
左边随便动，右边动不得。

4. 认题：哪些话在说条件概率

题面里的信号词：

「已知…求…」「在…的条件下」

\to

直接套定义；

「依次取出、不放回」

\to

乘法公式顺着写；

「如果第一次…，那么第二次…」

\to

条件概率。

还有一种更隐蔽的：题目给你

P (A)

、

P (B)

、

P (A B)

，问

P (A ∣ B)

——
这只是代一次公式，但很多人会卡在「哪个除以哪个」。

分母永远是「已知发生的那个」，也就是竖线右边那个。

P (A ∣ B)

与

P (B ∣ A)

是两个不同的数，混用是现实中最常见的概率错误。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用定义算条件概率

第一步：读出谁是「已知发生的」（竖线右边），它的概率就是分母。

第二步：算

P (A B)

——两件事同时发生的概率，作分子。

第三步：相除。答案应当落在

[0, 1]

里。

第四步：古典概型里可以更快——直接在缩小后的样本空间里数点。

例例. 掷一颗骰子，已知点数是偶数，求它大于

3

的概率。

第一步，「已知点数是偶数」在竖线右边：

B = {2, 4, 6}

，

P (B) = \frac{1}{2}

，这是分母。

第二步，

A = {4, 5, 6}

，

A B = {4, 6}

，

P (A B) = \frac{1}{3}

。

第三步，

P (A ∣ B) = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} .

第四步，古典概型里更快：直接在缩小后的样本空间里数点——

B

里

3

个点，其中大于

3

的是

4, 6

两个，

\frac{2}{3}

✓ 一行完事。

注意

P (A ∣ B) = \frac{2}{3}

而

P (A) = \frac{1}{2}

——已知的信息把概率改了，这正是条件概率的意思。

不放回抽取：顺着时间写

第一步：给每一次抽取设一个事件

A_{i}

。

第二步：写

P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) \dots

，一步一个因子。

第三步：每个因子都问一句「到这一步，盒里还剩几个、其中几个是要的」。

第四步：相乘、约分。分母应当逐次减一——这是不放回的标志。

例例. 盒里

3

红

2

白，不放回逐个取，求「前两个都是红」。

第一步，设

A_{1} =

「第一个红」、

A_{2} =

「第二个红」。

第二步，

P (A_{1} A_{2}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1})

，一步一个因子。

第三步，每个因子问一句「到这一步，盒里还剩几个、其中几个是红」：

第一次

5

个球、

3

个红

\to \frac{3}{5}

；第二次（已知第一个是红）还剩

4

个、

2

个红

\to \frac{2}{4}

。

第四步，相乘：

\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}

。

分母

5 \to 4

逐次减一，这是不放回的标志；有放回的话两个因子都是

\frac{3}{5}

。和上一节用组合算的

\frac{3}{10}

一致 ✓

条件概率的性质怎么用

第一步：先看要动的是竖线左边还是右边。

第二步：左边动——把

P (\cdot ∣ B)

当成普通概率，对立、加法公式全能用。

第三步：右边动——停下，这类换算要用全概率或贝叶斯公式。

第四步：写完检查一遍：竖线右边从头到尾是不是同一个事件。

例例. 下面两个式子，哪个成立？

①

P (\overset{ˉ}{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)

　　②

P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = 1 - P (A ∣ B)

第一步，看动的是哪边：① 动左边，② 动右边。

第二步，左边动

\Rightarrow

把

P (\cdot ∣ B)

整体当成一个普通概率（它确实满足全部公理），对立、加法公式全能用，① 成立 ✓

第三步，右边动

\Rightarrow

停。

P (A ∣ \overset{ˉ}{B})

与

P (A ∣ B)

是在两个不同的样本空间里算的，② 不成立。要在它们之间换算，得用全概率公式：

P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\overset{ˉ}{B}) P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) .

第四步，写完检查：竖线右边从头到尾是不是同一个事件。是，就放心用普通概率的全套规则；变了，就该换公式。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$P (A ∣ B)$ 与 $P (B ∣ A)$ 混用

两者分子相同、分母不同，一般不相等。

分母永远是竖线右边那个——「已知发生」的那个事件。

这类题往往两问都考（求

P (A ∣ B)

又求

P (B ∣ A)

），写之前把分母圈出来。

忘了 $P (B) > 0$ 这个前提

P (B) = 0

时条件概率没有定义——分母为零，而且「已知

B

发生」这句话本身讲不通。

解答题里写一句「因

P (B) > 0

」是一分。

带参数的题更要当心：

P (B)

可能在某些参数值下为零，那时要单独讨论。

在竖线右边用对立公式

P (A ∣ B) + P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = 1

是错的——这两个数在两个不同的样本空间里。

对的是

P (A ∣ B) + P (\overset{ˉ}{A} ∣ B) = 1

（左边动）。

判断题里这两式轮流出现，看清变的是哪一边。

不放回却每次用同一个分母

第二次抽取时盒里少了一个球，分母要减一，成分也变了。

症状：

\frac{3}{5} \times \frac{3}{5}

这种写法——那是有放回的算法。

读题时把「放回／不放回」圈出来，再决定第二个因子怎么写。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

条件概率的定义式：

P (A ∣ B) =

________（设

P (B) > 0

）。

练 2

条件概率

P (A ∣ B)

有意义，要求（）。

A $P (A) > 0$
B $P (B) > 0$
C $P (A B) > 0$
D没有任何要求

练 3

已知

P (A) = 0.4

、

P (B) = 0.5

、

P (A B) = 0.2

，则

P (A ∣ B) =

________。

练 4

承上题，

P (B ∣ A) =

________。

第二组 · 缩小样本空间

练 5

掷一枚骰子，已知点数为偶数，则点数大于

3

的概率为（）。

A $\frac{1}{2}$
B $\frac{1}{3}$
C $\frac{2}{3}$
D $\frac{1}{6}$

练 6

盒中

3

白

2

黑，不放回地取两次，两次都取到白球的概率为 ________。

练 7

已知

P (A ∣ B) = 0.6

，则

P (\overset{ˉ}{A} ∣ B) =

________。

练 8

下列一定成立的是（）。

A $P (A ∣ B) + P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = 1$
B $P (A ∣ B) = P (B ∣ A)$
C $P (A ∣ B) \geq P (A)$
D $P (A ∣ B) + P (\overset{ˉ}{A} ∣ B) = 1$

第三组 · 乘法公式

练 9

盒中

3

白

2

黑，不放回地取两次，第二次取到白球的概率为 ________。

练 10

三事件的乘法公式：

P (A B C) = P (A) P (B ∣ A) \cdot

________。

练 11

已知

P (B) = 0.5

、

P (A ∣ B) = 0.4

，则

P (A B) =

（）。

A $0.2$
B $0.9$
C $0.8$
D $0.1$

练 12

「下雨时带伞的比例」与「带伞时下雨的比例」（）。

A一定相等
B一般不等，因为分母不同
C互为对立事件
D两者之和为 $1$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

条件概率与乘法公式

先打基础

1. 条件概率：样本空间缩小了

2. 乘法公式：顺着时间一步一步写

3. 条件概率也是概率，但竖线右边不能动

4. 认题：哪些话在说条件概率

常用结构

用定义算条件概率

不放回抽取：顺着时间写

条件概率的性质怎么用

基础易错

P(A∣B) 与 P(B∣A) 混用

忘了 P(B)>0 这个前提

在竖线右边用对立公式

不放回却每次用同一个分母

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

$P (A ∣ B)$ 与 $P (B ∣ A)$ 混用

忘了 $P (B) > 0$ 这个前提