条件概率与乘法公式

§14.4 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.89 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

3.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）概率的定义与性质样本空间与随机事件③ 掌握后可解锁全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性边缘分布与条件分布

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 条件概率的定义： $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ （ $P (B) > 0$ ），即把样本空间缩小到 $B$ ★★ 必会

定义：设

P (B) > 0

，则称

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )},

为在

B

已发生的条件下

A

发生的概率。就直观意义而言，样本空间由

Ω

缩小为 $B$ ，所求的是在

B

中

A B

所占的比例（

B

以外的

A

已不可能发生，所以分子是

P (A B)

而不是

P (A)

）。

两种求法：① 公式法，分别求出

P (A B)

与

P (B)

，再作商，此法普遍适用；② 缩小样本空间法，在古典概型中直接把

B

当作新的样本空间来计数，往往更快。

条件概率本身也是概率：

P (\cdot ∣ B)

满足概率的全部公理，因此普通概率的公式都可以照搬，例如

P (\overset{ˉ}{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)

，

P (A_{1} \cup A_{2} ∣ B) = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B) - P (A_{1} A_{2} ∣ B)

，等等。但这些公式只能对结论使用，不能对条件使用：

P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) \neq = 1 - P (A ∣ B)

（见下一条）。

把定义式移项即得乘法公式：

P (A B) = P (B) P (A ∣ B) = P (A) P (B ∣ A)

，它是链式乘法公式的起点。

下面三个记号必须分清：

P (A ∣ B)

是

A B

在

B

中所占的比例，

P (A B)

是它在

Ω

中所占的比例，

P (B ∣ A)

的条件与结论恰好相反，三者一般互不相等。

证明 / 推导

为什么这样定义（可由古典概型推出）：已知

B

发生，就是说试验的结果落在

B

内，而其中各样本点仍是等可能的，故

P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )} = \frac{n ( A B ) / n ( Ω )}{n ( B ) / n ( Ω )} = \frac{P ( A B )}{P ( B )},

对一般的概率空间，便以此式作为定义。下面验证

P (\cdot ∣ B)

确实是概率：非负性显然；

P (Ω ∣ B) = P (Ω B) / P (B) = 1

；对两两互斥的

A_{1}, A_{2}, \dots

有

P (⋃_{i} A_{i} ∣ B) = \frac{P ( ⋃ _{i} A _{i} B )}{P ( B )} = \sum_{i} \frac{P ( A _{i} B )}{P ( B )} = \sum_{i} P (A_{i} ∣ B)

（因

A_{i} B

也两两互斥）。三条公理都满足，所以条件概率确是一个概率测度。

■

举例说明

数三 2024 填空：每次成功的概率为

p

的独立重复试验做

3

次，已知在至少成功 $1$ 次的条件下，

3

次全部成功的概率为

\frac{4}{13}

，求

p

。
解：记

A =

全部成功，

B =

至少成功一次。第一处易错：

A \subset B \Rightarrow A B = A

，故分子就是

P (A) = p^{3}

，不能写成其他乘积；第二处易错：求

P (B)

时要用对立事件（德摩根律），

P (B) = 1 - (1 - p)^{3}

。代入定义，得

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{p ^{3}}{1 - ( 1 - p ) ^{3}} = \frac{4}{13} .

交叉相乘，并把

1 - (1 - p)^{3} = 3 p - 3 p^{2} + p^{3}

展开，得

13 p^{3} = 4 (3 p - 3 p^{2} + p^{3}) \Rightarrow 3 p^{2} + 4 p - 4 = 0 \Rightarrow p = \frac{2}{3} 或 p = - 2 （舍）

，故

p = \frac{2}{3}

。验算：

\frac{( 2/3 ) ^{3}}{1 - ( 1/3 ) ^{3}} = \frac{8/27}{26/27} = \frac{4}{13}

✓。

2. 对条件不能照搬对结论的公式： $P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) \neq = 1 - P (A ∣ B)$ ★ 要懂

条件概率

P (\cdot ∣ B)

本身是概率，因而对处于结论位置的事件满足一切概率法则：

P (\overset{ˉ}{A} ∣ B) P (A_{1} \cup A_{2} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B) = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B) - P (A_{1} A_{2} ∣ B) .

但这些法则只对竖线左边的结论成立，对竖线右边的条件并不成立。常见的错误是写成

P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = 1 - P (A ∣ B)

，这是不对的。改变条件就等于改换了样本空间，联系两者的正确途径是全概率公式

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) P (\overset{ˉ}{B}) .

一般地，对结论可以直接使用概率公式，对条件则只能借助全概率公式或乘法公式来过渡。

证明 / 推导

举一反例即可。掷一颗均匀骰子，设

A = {\leq 2} = {1, 2}

，

B = {偶数} = {2, 4, 6}

。则

P (A ∣ B) P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = \frac{P ({ 2 })}{P ( B )} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3} = \frac{P ({ 1 })}{P ( B ˉ )} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3} .

两者相等，且

P (A ∣ B) + P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = \frac{2}{3} \neq = 1

，由此可见

P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) \neq = 1 - P (A ∣ B)

。至于对结论使用公式所得的

P (\overset{ˉ}{A} ∣ B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

，则确实成立。

举例说明

再用全概率公式检验：

P (A) = P ({1, 2}) = \frac{1}{3}

；而

P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) P (\overset{ˉ}{B}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3},

与

P (A)

一致。这说明联系

P (A ∣ B)

与

P (A ∣ \overset{ˉ}{B})

的正确途径是全概率公式，而不是取对立事件。

3. 乘法公式用于按步骤依次发生的事件：链式条件概率与抽签的公平性★★ 必会

乘法公式

P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} \dots A_{n - 1})

适用于有先后次序、后一步依赖于前面结果的随机过程，其中最典型的是不放回抽样。它把若干事件同时发生这一整体拆成一串条件概率，再逐个相乘。用它可以纯用代数方法证明抽签是公平的，也可以计算连续不放回地抽到某种排列的概率。

证明 / 推导

设

n

张签中有

1

张中奖、

n - 1

张空签，下面用乘法公式证明第

k

人中奖的概率为

1/ n

。记

C_{i} = {第 i 人抽到空签}

，则第

k

人中奖就是前

k - 1

人都抽到空签而第

k

人抽中，于是

P = P (C_{1}) P (C_{2} ∣ C_{1}) \dots P (C_{k - 1} ∣ C_{1} \dots C_{k - 2}) \cdot P (第 k 中 ∣ C_{1} \dots C_{k - 1}) .

其中各项依次为

\frac{n - 1}{n}, \frac{n - 2}{n - 1}, \dots, \frac{n - k + 1}{n - k + 2}

，末项为

\frac{1}{n - k + 1}

。连乘时相邻因子的分子与分母互相约去，得

P = \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 2}{n - 1} \dots \frac{n - k + 1}{n - k + 2} \cdot \frac{1}{n - k + 1} = \frac{1}{n},

它与

k

无关，这就证明了抽签是公平的。

举例说明

袋中有

3

个白球、

2

个黑球，不放回地取三次，求依次取得白、白、黑的概率。每一步的条件概率都随袋中剩余的球而改变，故

P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} .

必须注意，不能把不放回抽样当作独立试验而写成

P (A_{1}) P (A_{2}) P (A_{3})

。第二次与第三次的概率已被前面取走的球所改变，因此必须用条件概率。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 4. 辛普森悖论：条件概率不能随意合并

这里有一个值得注意的现象：在每个子组内

A

都优于

B

，但把各组合并以后，却可能

B

优于

A

。其原因在于，条件概率

P (\cdot ∣ 组)

与总概率

P (\cdot)

之间是由全概率公式，即加权平均联系起来的，而加权平均的结果会受各组权重的影响。由此可见，比较概率时必须注意是否存在潜在的混杂变量（即分组），不能把分组所得的结论想当然地合并起来。

举例说明

用两种疗法治疗肾结石，治愈率如下。

小结石：甲法

81/87 \approx 93%

，乙法

234/270 \approx 87%

，甲法为优。

大结石：甲法

192/263 \approx 73%

，乙法

55/80 \approx 69%

，甲法仍为优。

合并：甲法

\frac{81 + 192}{87 + 263} = \frac{273}{350} = 78%

，乙法

\frac{234 + 55}{270 + 80} = \frac{289}{350} \approx 83%

，乙法反而更高。

用全概率公式来看：

P (愈 ∣ 甲) = P (愈 ∣ 甲, 小) P (小 ∣ 甲) + P (愈 ∣ 甲, 大) P (大 ∣ 甲)

。甲法多用于难治的大结石，其权重

263/350

偏向治愈率较低的一组；乙法则多用于易治的小结石。正是因为存在这种权重上的差异，加权以后的结果才发生了逆转。在每一组内甲法的条件概率都较高，合并以后反而较低。这个例子说明条件概率不能随意合并。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 5. 三门问题（Monty Hall）的条件概率严格解

有三扇门，其中一扇门后有车，另两扇门后有羊。参与者先选定一扇门而不打开；主持人知道车在哪一扇门后，从其余两扇门中打开一扇后面是羊的门。问此时是否应当改选另一扇未打开的门？结论是：改选时中奖的概率为 $2/3$ ，不改选则只有 $1/3$ 。其中关键在于，主持人必开羊门这一规则本身提供了信息，使被打开的门与初选的门之间产生了条件依赖，因此认为两扇门机会均等的直觉并不成立。

证明 / 推导

设初选的是

1

号门，记

C_{i} = {车在 i}

，其先验概率各为

1/3

；又设主持人打开了

3

号门，门后是羊，记这一事件为

H_{3}

。在各种情形下，主持人打开

3

号门的概率如下：

- 若

C_{1}

，即车在初选的

1

号门后，则他可以打开

2

号或

3

号，二者等可能，故

P (H_{3} ∣ C_{1}) = 1/2

；
- 若

C_{2}

，即车在

2

号门后，则他只能打开

3

号（既不能打开初选的

1

号，也不能打开有车的

2

号），故

P (H_{3} ∣ C_{2}) = 1

；
- 若

C_{3}

，即车在

3

号门后，则他不会打开有车的门，故

P (H_{3} ∣ C_{3}) = 0

。

由全概率公式得

P (H_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{2}

。再由贝叶斯公式，

P (C_{1} ∣ H_{3}) P (C_{2} ∣ H_{3}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} .

举例说明

结论：坚持初选的

1

号门时中奖的概率为

\frac{1}{3}

，改选

2

号门时中奖的概率为

\frac{2}{3}

，因此应当改选。直觉之所以失效，是因为主持人开门并不是随机的，他必须打开有羊的门，而且不能打开初选的那一扇，于是原来分散的

\frac{1}{3}

的概率全部集中到了另一扇未打开的门上。如果主持人随机开门，从而有可能开出有车的门，那么改选与不改选才真正没有差别。

💡 小知识

风靡一时的三门问题（又称蒙提霍尔问题）问的是：主持人打开一扇有羊的门以后，你该不该换门。这道题考的就是条件概率，换门的中奖概率是

\frac{2}{3}

，坚持不换只有

\frac{1}{3}

。当年在这道题上栽跟头的人不计其数，其中不乏职业数学家，可见条件概率有多么反直觉。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

P (A) = 0.5

，

P (B) = 0.4

，

P (A B) = 0.2

。求

P (A ∣ B)

与

P (B ∣ A)

。难度 1

定义： $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ，注意分子相同、分母是「条件」的概率。

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5,

P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )} = \frac{0.2}{0.5} = 0.4.

可见

P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A)

，条件概率的「方向」不能颠倒。

例 2 袋中有

4

个白球、

2

个黑球，不放回地依次取两次，每次取一只。求两次都取到白球的概率。难度 1

不放回抽样用乘法公式： $P (A_{1} A_{2}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1})$ 。

记

A_{i} = {

第

i

次取到白球

}

。
第一次取白：

P (A_{1}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

。
已知第一次取走一只白球后，袋中剩

3

白

2

黑共

5

只，故

P (A_{2} ∣ A_{1}) = \frac{3}{5}

。
乘法公式：

P (A_{1} A_{2}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5} .

例 3 某家庭有两个孩子，每个孩子是男是女等可能且相互独立。已知「其中至少有一个男孩」，求「两个都是男孩」的概率。难度 2

条件概率 = 缩小样本空间后重新计算份额。

两个孩子的样本空间（按出生顺序）

Ω = {B B, B G, GB, GG}

，各占

\frac{1}{4}

。
设

A = {

两个都是男孩

} = {B B}

，

B = {

至少一个男孩

} = {B B, B G, GB}

。
则

P (B) = \frac{3}{4}

，而

A B = A

（都是男孩必然至少一个男孩），

P (A B) = P (B B) = \frac{1}{4}

。
故

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3} .

「至少一个男孩」这条信息排除了

GG

，把答案从直觉的

\frac{1}{2}

改成了

\frac{1}{3}

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X

的概率分布为

P {X = k} = \frac{1}{2 ^{k + 1}} + \frac{1}{3 ^{k}}

（

k = 1, 2, \dots

），则对于正整数

m, n

，有（　　）。

A $P {X > m + n ∣ X > m} = P {X > m}$
B $P {X > m + n ∣ X > m} = P {X > n}$
C $P {X > m + n ∣ X > m} > P {X > m}$
D $P {X > m + n ∣ X > m} > P {X > n}$

2025 年 · 数三 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设

A, B, C

为

3

个随机事件，且

A

与

B

相互独立，

B

与

C

相互独立，

A

与

C

互不相容，已知

P (A) = P (C) = \frac{1}{4}

，

P (B) = \frac{1}{2}

，则在事件

A, B, C

中至少有一个发生的条件下，

A, B, C

中恰有一个发生的概率为______。

2024 年 · 数三 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设随机试验每次成功的概率为

p

，现进行 3 次独立重复试验，在至少成功 1 次的条件下，3 次试验全部成功的概率为

\frac{4}{13}

，则

p =

______。

2022 年 · 数三 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设

A, B, C

为随机事件，且

A

与

B

互不相容，

A

与

C

互不相容，

B

与

C

相互独立，

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{3}

，则

P (B \cup C ∣ A \cup B \cup C) =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

P (A) = 0.6

，

P (B ∣ A) = 0.5

，则

P (A B) =

（　）。

A $0.3$
B $0.11$
C $1.1$
D $0.83$

练习 2 · 填空题

掷一颗均匀骰子，已知出现的点数为偶数，则该点数恰为

2

的概率为 ____。

练习 3 · 选择题

袋中有

3

个红球、

2

个白球，不放回地取两次，每次取一只。则「第一次红、第二次白」的概率为（　）。

A $\frac{3}{10}$
B $\frac{6}{25}$
C $\frac{3}{20}$
D $\frac{1}{2}$

练习 4 · 填空题

设

P (A) = 0.4

，

P (B) = 0.3

，

P (A \cup B) = 0.6

，则

P (B ∣ A) =

____。

练习 5 · 选择题

10

件产品中有

3

件次品，不放回地任取

2

件，则两件都是次品的概率为（　）。

A $\frac{1}{15}$
B $\frac{9}{100}$
C $\frac{1}{10}$
D $\frac{3}{10}$

练习 6 · 选择题

设

A, B

为两个随机事件，且

0 < P (A) < 1

，

0 < P (B) < 1

。若

P (A ∣ B) + P (\overset{ˉ}{A} ∣ \overset{ˉ}{B}) = 1,

则必有（　）。

A $A$ 与 $B$ 互不相容
B $P (A) = P (B)$
C $B \subset A$
D $A$ 与 $B$ 相互独立

练习 7 · 填空题

掷两颗均匀的骰子，已知两颗骰子的点数之和为偶数，则「至少有一颗骰子出现

6

点」的概率为 ____。

练习 8 · 解答题

某研究生院只有甲、乙两个学院招生，某年的报名与录取人数如下（单位：人）：

甲学院 男生 女生 报名人数 8020 录取人数 4814

乙学院 男生 女生 报名人数 2080 录取人数 424

现从全部

200

名报名者中随机抽取一人，记

A = {

此人被录取

}

，

B = {

此人是男生

}

，

C = {

此人报考甲学院

}

。

(1) 求

P (A ∣ B C)

、

P (A ∣ \overset{ˉ}{B} C)

、

P (A ∣ B \overset{ˉ}{C})

、

P (A ∣ \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C})

；

(2) 求

P (A ∣ B)

与

P (A ∣ \overset{ˉ}{B})

；

(3) 每个学院中女生的录取率都比男生高，为什么合并之后反而是男生的录取率高？请用条件概率的分解式说明原因。

2021 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为随机事件，且

0 < P (B) < 1

，下列命题中为假命题的是（　　）。

A若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ，则 $P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = P (A)$ 。
B若 $P (A ∣ B) > P (A)$ ，则 $P (\overset{ˉ}{A} ∣ \overset{ˉ}{B}) > P (\overset{ˉ}{A})$ 。
C若 $P (A ∣ B) > P (A ∣ \overset{ˉ}{B})$ ，则 $P (A ∣ B) > P (A)$ 。
D若 $P (A ∣ A \cup B) > P (\overset{ˉ}{A} ∣ A \cup B)$ ，则 $P (A) > P (B)$ 。

2018 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

随机事件

A, B, C

相互独立，且

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

，则

P (A C ∣ A \cup B) =

______。

条件概率与乘法公式

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 条件概率的定义：P(A∣B)=P(B)P(AB)​（P(B)>0），即把样本空间缩小到 B★★ 必会

2. 对条件不能照搬对结论的公式：P(A∣Bˉ)=1−P(A∣B)★ 要懂

3. 乘法公式用于按步骤依次发生的事件：链式条件概率与抽签的公平性★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 条件概率的定义： $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ （ $P (B) > 0$ ），即把样本空间缩小到 $B$ ★★ 必会

2. 对条件不能照搬对结论的公式： $P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) \neq = 1 - P (A ∣ B)$ ★ 要懂