边缘分布与条件分布

§16.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.16 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

1.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）二维随机变量与联合分布条件概率与乘法公式③ 掌握后可解锁随机变量的独立性

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 求边缘分布的基本方法：连续型对另一个变量积分，积分限由支撑集确定；离散型求各行之和与各列之和★★ 必会

已知二维联合分布，要单独求某个分量的分布，就是把另一个变量求和或积分掉，所得的分布称为边缘分布。按类型分两种求法，实质都是沿另一个变量把联合分布累加起来：

① 连续型，对另一个变量积分。

f_{X} (x) f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d x .

求

f_{X} (x)

时把

y

积掉，把

x

暂时看作常数；求

f_{Y} (y)

时反过来。难点全在积分限上：公式虽然写的是从

- \infty

到

+ \infty

，但被积函数

f

只在支撑集上不为零，支撑集即

f > 0

的区域，真正的积分限要由支撑集确定。

- 对每个固定的 $x$ ，在图上作一条竖直线 $X = x$ ，它与支撑集相交的那一段 $y$ 区间才是积分限；
- 这一段区间的端点往往是 $x$ 的函数，于是当

x

落在不同范围时，积分限乃至有无交集都不相同，结果必然按 $x$ 分段；支撑集以外的

x

给出

f_{X} (x) = 0

，这一段不要漏写。

求

f_{Y} (y)

的做法完全对称：改作水平线 $Y = y$ ，把

x

积掉，结果按

y

分段。必须注意：当支撑集不是矩形，例如是三角形、圆或 $0 < y < 2 x$ 一类的区域时，积分限一定含有另一个变量，决不能想当然地写成常数。

② 离散型，求各行之和与各列之和。

P (X P (Y = x_{i}) = p_{i \cdot} = j \sum p_{ij} = y_{j}) = p_{\cdot j} = i \sum p_{ij} .

也就是说，边缘分布律就是联合分布表各行之和，横着相加得到 $X$ 的分布，以及各列之和，竖着相加得到 $Y$ 的分布，通常写在表格的最右一列与最下一行，边缘这个名称即由此而来。连续型的积分与离散型的求和其实是一回事：把联合分布沿不需要的那个变量累加掉。

证明 / 推导

连续型的公式并不是硬记的，它来自对边缘分布函数求导。把

Y

的取值放开到全体，求

X

的分布函数：

F_{X} (x) = P (X \leq x) = P (X \leq x, Y < + \infty) = \int_{- \infty}^{x} (\int_{- \infty}^{+ \infty} f (u, y) d y) d u .

两边对

x

求导，按变限积分的求导法则，内层的那一份

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y

恰好是被积函数在上限

x

处的值，于是

f_{X} (x) = F_{X}^{'} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y,

这就是把

y

积掉的严格依据；

f_{Y}

的情形与此对称。离散型同理：事件

{X = x_{i}}

可以按

Y

的取值分解成互不相容的部分，由概率的可列可加性，

P (X = x_{i}) = P ({X = x_{i}} \cap j ⋃ {Y = y_{j}}) = j \sum P (X = x_{i}, Y = y_{j}) = j \sum p_{ij},

这就是按第 $i$ 行求和；按列求和给出

f_{Y}

，做法相同。

举例说明

求联合密度 $f (x, y) = {1, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 2 x, 其他$ 的两个边缘密度 $f_{X} (x)$ 、 $f_{Y} (y)$ （2005·数三）。

第一步：画出支撑域。 约束条件为

0 < x < 1

且

0 < y < 2 x

，它是以

(0, 0), (1, 0), (1, 2)

为顶点的三角形，上边界是斜线

y = 2 x

。

第二步：求 $f_{X} (x)$ ，作竖直线 $X = x$ 把 $y$ 积掉。 对固定的

x

：
- 当

0 < x < 1

时，竖直线扫过的

y

的范围是

0 < y < 2 x

，故

f_{X} (x) = \int_{0}^{2 x} 1 d y = 2 x

；
- 当

x \leq 0

或

x \geq 1

时，竖直线与支撑域不相交，故

f_{X} (x) = 0

。

f_{X} (x) = {2 x, 0, 0 < x < 1, 其他 .

第三步：求 $f_{Y} (y)$ ，作水平线 $Y = y$ 把 $x$ 积掉，这一步最容易出错。 支撑集中的条件

0 < y < 2 x

等价于

x > \frac{y}{2}

，与

x < 1

合起来可知，对固定的

y

，

x

的真实范围是

\frac{y}{2} < x < 1

，而不是 $0 < x < 1$ ：
- 当

0 < y < 2

时，

f_{Y} (y) = \int_{y /2}^{1} 1 d x = 1 - \frac{y}{2}

；
- 当

y \leq 0

或

y \geq 2

时，

f_{Y} (y) = 0

。

f_{Y} (y) = {1 - \frac{y}{2}, 0, 0 < y < 2, 其他 .

这里有两处最容易失分：(1) 求

f_{Y} (y)

时把下限想当然地写成

0

，算成

\int_{0}^{1} 1 d x = 1

，没有把支撑集的约束 $x > y /2$ 反映到积分限上，这是本题的第一大失分之处；(2) 忘记

y

的上限是

2

，因为

2 x

最大只能到

2

，于是误写成

0 < y < 1

，或者整段漏掉其他情形取

0

。做法可以概括为：固定一个变量，作直线定出积分限，结果按段写出，界外补零。

2. 边缘分布不能确定联合分布：相同的边缘可以对应完全不同的联合分布★★ 必会

由联合分布求边缘分布，是通过求和或积分作的一种压缩，它是多对一的对应，信息必然丢失。由此得到一条重要结论：给定两个边缘分布，与之相符的联合分布有无穷多种。 因此，如果题目只给出

X \sim \dots

、

Y \sim \dots

而要求

P ((X, Y) \in D)

，却没有给出任何关于联合分布的信息，例如联合分布、独立性或相关系数，那么这个问题就是不适定的，无法求解，必须补充条件才能计算。明白了这一点，就不会再用边缘分布去硬凑联合概率。

证明 / 推导

下面证明与给定边缘相符的联合分布确有无穷多个，因此所缺的信息无法由边缘补回。

先看离散型。设

X, Y

都只取

0, 1

两个值，两个边缘分布都是

P (= 0) = P (= 1) = \frac{1}{2}

。取参数

ε

，令

p_{00} p_{01} ∣ ε ∣ = p_{11} = \frac{1}{4} + ε = p_{10} = \frac{1}{4} - ε \leq \frac{1}{4} .

由

∣ ε ∣ \leq \frac{1}{4}

知这四个数都非负，其和为

1

，故它确是一个联合分布。第一行之和为

(\frac{1}{4} + ε) + (\frac{1}{4} - ε) = \frac{1}{2}

，其余各行各列同理也都等于

\frac{1}{2}

，可见

ε

在求和时已经消去。因此这一族联合分布的边缘分布全都相同，而

ε

可取区间

[- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}]

内的任意值，个数是无穷的。

再看连续型。这里可以对任意给定的一对边缘作出同样的构造。设

f_{X}, f_{Y}

为任意两个连续型的边缘密度，

F_{X}, F_{Y}

为相应的分布函数。令

f_{λ} (x, y) ∣ λ ∣ = f_{X} (x) f_{Y} (y) [1 + λ (2 F_{X} (x) - 1) (2 F_{Y} (y) - 1)] \leq 1.

因为

0 \leq F \leq 1

，所以

∣2 F - 1∣ \leq 1

，于是方括号内的量介于

0

与

2

之间，故

f_{λ} \geq 0

。下面验证它的边缘密度与

λ

无关。作换元

w = F_{Y} (y)

，则

d w = f_{Y} (y) d y

；当

y

由

- \infty

变到

+ \infty

时

w

由

0

变到

1

，故

\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{Y} (y) (2 F_{Y} (y) - 1) d y = \int_{0}^{1} (2 w - 1) d w = 0.

于是

\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{λ} (x, y) d y = f_{X} (x) [1 + λ (2 F_{X} (x) - 1) \cdot 0] = f_{X} (x),

同理对

x

积分得

f_{Y} (y)

。又当

λ_{1} \neq = λ_{2}

时，两个密度之差为

f_{λ_{1}} - f_{λ_{2}} = (λ_{1} - λ_{2}) f_{X} (x) f_{Y} (y) (2 F_{X} (x) - 1) (2 F_{Y} (y) - 1),

它不恒为零，所以这些联合分布互不相同。

最后把结论的范围说清楚。上面的构造要能进行，两个变量都必须真正取到不止一个值。因此结论应当这样叙述。设

X

与

Y

都不是取常数的随机变量，则与之相符的联合分布有无穷多个。连续型的构造已对任意一对边缘密度作出。一般的离散型也是如此。先取两个边缘的乘积分布，再取概率都不为零的两行两列，在它们交出的四个格子上按

+ ε, - ε, - ε, + ε

加减。这样每行之和与每列之和都不改变，做法与上面完全一样。

退化的情形要除外。设

X

恒取常数

a

，即

P (X = a) = 1

。这时对任何集合

B

都有

P (X = a, Y \in B) = P (Y \in B)

，联合分布已由边缘唯一确定。因为只有一行的概率不为零，没有第二行可供加减，上面的构造无法进行。

Y

取常数时同理。

由此可见，题目若未给出联合分布、独立性或别的关于两者关系的条件，则

P ((X, Y) \in D)

一般没有确定的答案。这里还须注意

D

的形状。如果

D

只由其中一个变量决定，例如

D = {(x, y) : x \leq 1}

，那么

P ((X, Y) \in D) = P (X \leq 1)

，由边缘分布即可算出。

D

同时牵涉两个变量时，答案才可能随联合分布而变。

举例说明

离散型的反例。 设

X, Y

各自取值为

{0, 1}

，边缘分布都是

P (= 0) = P (= 1) = \frac{1}{2}

。
- 联合分布表甲，两者独立：四格全为

\frac{1}{4}

；
- 联合分布表乙，两者完全相等：

p_{00} = p_{11} = \frac{1}{2}, p_{01} = p_{10} = 0

。

两张表的行和与列和完全一致，即边缘分布相同，但在甲中

X, Y

相互独立，

P (X = Y) = \frac{1}{2}

，在乙中

X \equiv Y

，

P (X = Y) = 1

，两个联合分布相差极大。连续型的例子更为直接：边缘都是

N (0, 1)

而

ρ

不同的二维正态分布，边缘完全相同，联合分布却各不相同。因此边缘分布决不能唯一确定联合分布，要重新刻画两个变量之间的关系，靠的是条件分布或独立性。

3. 连续型条件密度为什么是 $f (x, y) / f_{Y} (y)$ ：不能直接对事件 ${Y = y}$ 使用条件概率

离散型的情形，

P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j}) = \frac{p _{ij}}{p _{\cdot j}}

直接由条件概率的定义即可得到。但连续型有一个困难：

P (Y = y) = 0

，于是条件概率

\frac{P ( \cdot , Y = y )}{P ( Y = y )} = \frac{0}{0}

没有意义。因此连续型的条件密度不能照搬离散型的公式，必须先取一个窄条

{y < Y \leq y + Δ y}

，再令

Δ y \to 0

取极限来定义。弄清这个来历，才能真正理解条件密度为什么是联合密度的一个截口除以边缘密度，也才不会在离散与连续之间套错公式。

证明 / 推导

下面作严格的推导。对

Δ y > 0

，用有意义的条件概率：

P (X \leq x ∣ y < Y \leq y + Δ y) = \frac{\int _{- \infty}^{x} \int _{y}^{y + Δ y} f ( u , v ) d v d u}{\int _{y}^{y + Δ y} f _{Y} ( v ) d v} .

当

Δ y \to 0^{+}

时，分子

\approx Δ y \int_{- \infty}^{x} f (u, y) d u

，分母

\approx Δ y f_{Y} (y)

，公因子

Δ y

相消，得

P (X \leq x ∣ Y = y) := Δ y \to 0^{+} lim (\dots) = \frac{\int _{- \infty}^{x} f ( u , y ) d u}{f _{Y} ( y )} (f_{Y} (y) > 0) .

两边对

x

求导，即得条件密度

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )} .

由此可见，公式的分子为什么是联合密度，分母为什么是边缘密度：它是取极限得到的，并不是直接由条件概率得到的。

4. 条件期望与全期望公式 $E (X) = E [E (X ∣ Y)]$ ：先分情形讨论，再按权相加★★ 必会

条件期望定义为

E (X ∣ Y = y) = \int x f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x

，离散型用条件分布律作同样的定义。它是

y

的函数；把其中的

y

换成随机变量

Y

，就得到随机变量

E (X ∣ Y)

。全期望公式（重期望公式）为

E (X) = E [E (X ∣ Y)] .

它的含义是先分层求平均，再把各层合并：先在

Y = y

的每一层内求

X

的平均值，再按

Y

的分布对各层的平均值加权求和，就还原成总的平均值。凡是分两个阶段进行的问题，即先随机地确定条件，再取值，都可以用它把不易计算的

E (X)

化成两步易算的量。

证明 / 推导

下面证明连续型的情形。按定义展开外层的期望：

E [E (X ∣ Y)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} E (X ∣ Y = y) f_{Y} (y) d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} (\int_{- \infty}^{+ \infty} x \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )} d x) f_{Y} (y) d y .

分母中的

f_{Y} (y)

与外层的

f_{Y} (y)

相消，于是

= \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x, y) d x d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f_{X} (x) d x = E (X) .

举例说明

2014·数三解答：设

P {X = 1} = P {X = 2} = \frac{1}{2}

，在

X = i

的条件下

Y \sim U (0, i)

，其中

i = 1, 2

。求

E (Y)

。解这是一个两阶段的问题：先由

X

随机地确定

Y

的分布，再求

Y

的总平均值，正好可以用全期望公式。
① 先求各层的条件期望：

Y ∣ X = 1 \sim U (0, 1) \Rightarrow E (Y ∣ X = 1) = \frac{1}{2}

；

Y ∣ X = 2 \sim U (0, 2) \Rightarrow E (Y ∣ X = 2) = 1

。
② 再按 $X$ 的分布加权求和，即用全期望公式

E (Y) = E [E (Y ∣ X)] = \sum_{i} E (Y ∣ X = i) P {X = i}

：

E (Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} .

这里的要点是：不必先求出

Y

的密度再积分，只要分层求条件期望

\to

按权相加这两步，就得到

E (Y) = \frac{3}{4}

。如果还要求

Y

的分布函数，可同样用全概率公式

F_{Y} (y) = \frac{1}{2} P {Y \leq y ∣ X = 1} + \frac{1}{2} P {Y \leq y ∣ X = 2}

，在

0 \leq y < 1

上为

\frac{3 y}{4}

，在

1 \leq y < 2

上为

\frac{y}{4} + \frac{1}{2}

。

5. 二维正态的条件分布仍是正态，条件均值就是回归直线★ 要懂

设

(X, Y) \sim N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}; ρ)

，则

Y ∣ X = x \sim N (μ_{2} + ρ \frac{σ _{2}}{σ _{1}} (x - μ_{1}), σ_{2}^{2} (1 - ρ^{2})) .

由此可以看出两点：(1) 条件均值

E (Y ∣ X = x) = μ_{2} + ρ \frac{σ _{2}}{σ _{1}} (x - μ_{1})

是

x

的线性函数，这条直线就是统计中的回归直线，它的斜率中含有

ρ

；(2) 条件方差

σ_{2}^{2} (1 - ρ^{2})

与 $x$ 无关，并且比无条件方差

σ_{2}^{2}

小，这说明知道了

X

以后，对

Y

的不确定程度就下降了，

∣ ρ ∣

越大下降得越多，当

ρ = \pm 1

时下降为

0

，此时两者完全成线性关系。在正态分布的场合，条件分布重新反映出两个变量之间关系这一点表现得最为清楚。

证明 / 推导

由标准二维正态分布，即

μ = 0, σ = 1

的情形的因子分解，可参看二维正态边缘密度的因子分解一条，得

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = \frac{f ( x , y )}{f _{X} ( x )} = \frac{1}{2 π ( 1 - ρ ^{2} )} exp {- \frac{( y - ρ x ) ^{2}}{2 ( 1 - ρ ^{2} )}},

即

Y ∣ X = x \sim N (ρ x, 1 - ρ^{2})

。对一般情形，令

\tilde{X} = \frac{X - μ _{1}}{σ _{1}}, \tilde{Y} = \frac{Y - μ _{2}}{σ _{2}}

，则

(\tilde{X}, \tilde{Y})

为标准二维正态，于是

\tilde{Y} ∣ \tilde{X} = \tilde{x} \sim N (ρ \tilde{x}, 1 - ρ^{2})

。再代回

Y = μ_{2} + σ_{2} \tilde{Y}

与

\tilde{x} = \frac{x - μ _{1}}{σ _{1}}

，得

E (Y ∣ X D (Y ∣ X = x) = μ_{2} + σ_{2} ρ \frac{x - μ _{1}}{σ _{1}} = x) = σ_{2}^{2} (1 - ρ^{2})

可见条件均值是线性的，条件方差是常数。这种结构为正态分布所特有。

💡 小知识

边缘分布这个名字听着有点神秘，来历却平淡无奇：早期统计学家把联合频数表按行、按列求和，再把结果写在表格的页边空白（margin）上。这些写在边上的分布于是被称为 marginal distribution，中文直译过来就成了边缘分布。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

(X, Y)

的联合分布律为

X \ Y 01 0 0.1 0.3 1 0.2 0.4

求：（1）

X

与

Y

的边缘分布律；（2）条件概率

P (X = 0 ∣ Y = 1)

。难度 1

（1）边缘分布律 = 按行、按列求和。
对每一行求和得

X

的边缘：

P (X = 0) = 0.1 + 0.2 = 0.3, P (X = 1) = 0.3 + 0.4 = 0.7.

对每一列求和得

Y

的边缘：

P (Y = 0) = 0.1 + 0.3 = 0.4, P (Y = 1) = 0.2 + 0.4 = 0.6.

（2）条件概率，用

P (X = 0 ∣ Y = 1) = \frac{P ( X = 0 , Y = 1 )}{P ( Y = 1 )}

：

P (X = 0 ∣ Y = 1) = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} .

小结：边缘靠「行和 / 列和」，条件靠「联合

\div

边缘」。

例 2 设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {x + y, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 其他 .

求边缘概率密度

f_{X} (x)

与

f_{Y} (y)

。难度 2

边缘密度 = 把另一个变量积分掉。 支撑是正方形，对固定的

x \in (0, 1)

，

y

在

(0, 1)

上变动：

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y = \int_{0}^{1} (x + y) d y = [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{0}^{1} = x + \frac{1}{2}, 0 < x < 1.

由

x, y

地位对称，同理

f_{Y} (y) = \int_{0}^{1} (x + y) d x = y + \frac{1}{2}, 0 < y < 1.

区间外均为

0

。小结：结果只能含自身变量——

f_{X} (x)

里不再出现

y

，否则必是定限或积分出错。

例 3 设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {3 x, 0, 0 < y < x < 1, 其他 .

求：（1）边缘密度

f_{X} (x)

；（2）条件密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

。难度 2

支撑是三角形

0 < y < x < 1

（直线

y = x

、

y = 0

、

x = 1

所围）。

（1）求 $f_{X} (x)$ 。 固定

x \in (0, 1)

，则

y

从

0

到

x

：

f_{X} (x) = \int_{0}^{x} 3 x d y = 3 x \cdot x = 3 x^{2}, 0 < x < 1.

（2）求条件密度。 当

0 < x < 1

（此时

f_{X} (x) > 0

）时，

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = \frac{f ( x , y )}{f _{X} ( x )} = \frac{3 x}{3 x ^{2}} = \frac{1}{x}, 0 < y < x .

即「已知

X = x

」时，

Y

在

(0, x)

上服从均匀分布。可验证

\int_{0}^{x} \frac{1}{x} d y = 1

，归一化正确。
小结：非矩形支撑上，积分限随

x

变化，画出三角形是定限的关键。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额

Y

与投保人的损失额

X

的关系为

Y = {0, X - 100, X \leq 100 X > 100

，设损失事件发生时，投保人的损失额

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}}, 0, x > 0 x \leq 0

。

（Ⅰ）求

P {Y > 0}

及

E (Y)

；

（Ⅱ）这种损失事件在一年内发生的次数记为

N

，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为

M

。假设

N

服从参数为

8

的泊松分布，在

N = n (n \geq 1)

的条件下，

M

服从二项分布

B (n, p)

，其中

p = P {Y > 0}

，求

M

的概率分布。

2014 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X

的概率分布为

P {X = 1} = P {X = 2} = \frac{1}{2}

。在给定

X = i

的条件下，随机变量

Y

服从均匀分布

U (0, i)

（

i = 1, 2

）。（Ⅰ）求

Y

的分布函数

F_{Y} (y)

；（Ⅱ）求

E (Y)

。

2013 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设

(X, Y)

是二维随机变量，

X

的边缘概率密度为

f_{X} (x) = {3 x^{2}, 0, 0 < x < 1 其他

，在给定

X = x

（

0 < x < 1

）的条件下

Y

的条件概率密度为

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 y ^{2}}{x ^{3}}, 0, 0 < y < x 其他

。

（Ⅰ）求

(X, Y)

的概率密度

f (x, y)

；
（Ⅱ）求

Y

的边缘概率密度

f_{Y} (y)

；
（Ⅲ）求

P {X > 2 Y}

。

2011 年 · 数三 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

服从区域

G

上的均匀分布，其中

G

是由

x - y = 0, x + y = 2

与

y = 0

所围成的三角形区域．（I）求

X

的概率密度

f_{X} (x)

；（II）求条件概率密度

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

．

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

(X, Y)

的联合分布律为

X \ Y 12 0 0.1 0.2 1 0.1 0.2 2 0.2 0.2

则边缘概率

P (X = 2) =

（　）。

A $0.4$
B $0.5$
C $0.6$
D $0.7$

练习 2 · 填空题

设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = x + y (0 < x < 1, 0 < y < 1)

，其余为

0

，则边缘密度

f_{X} (x) =

____（

0 < x < 1

）。

练习 3 · 选择题

设

(X, Y)

的联合分布律为

X \ Y 12 0 0.1 0.2 1 0.1 0.2 2 0.2 0.2

则条件概率

P (Y = 0 ∣ X = 1) =

（　）。

A $\frac{1}{4}$
B $\frac{1}{3}$
C $\frac{2}{5}$
D $\frac{1}{10}$

练习 4 · 填空题

设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = 4 x y (0 < x < 1, 0 < y < 1)

，其余为

0

，则边缘密度

f_{X} (x) =

____（

0 < x < 1

）。

练习 5 · 选择题

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) ∣ - 1 < x < 1, 0 < y < 1 - x^{2}}

上服从均匀分布，则

Y

的边缘概率密度为（　　）

A $f_{Y} (y) = \frac{3}{4} 1 - y (0 < y < 1)$ ，其余为 $0$
B $f_{Y} (y) = \frac{3}{2} 1 - y (0 < y < 1)$ ，其余为 $0$
C $f_{Y} (y) = \frac{3}{4} (1 - y) (0 < y < 1)$ ，其余为 $0$
D $f_{Y} (y) = \frac{3}{4} 1 - y^{2} (0 < y < 1)$ ，其余为 $0$

练习 6 · 填空题

设随机变量

X

在

{1, 2, 3}

中等可能取值，且在

X = i

的条件下

Y

在

{1, 2, \dots, i}

中等可能取值（

i = 1, 2, 3

），则

P (X = 3 ∣ Y = 2) =

____

练习 7 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {e^{- y}, 0, 0 < x < y, 其他 .

(1) 求边缘概率密度

f_{X} (x)

与

f_{Y} (y)

，并判断

X

与

Y

是否相互独立；

(2) 求条件概率密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

，并计算

P (Y > 2 ∣ X = 1)

；

(3) 求

P (X + Y < 1)

。

2010 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = A e^{- 2 x^{2} + 2 x y - y^{2}}

，

- \infty < x < + \infty, - \infty < y < + \infty

，求常数

A

及条件概率密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

2009 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {e^{- x}, 0, 0 < y < x, 其他 .

（Ⅰ）求条件概率密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

；

（Ⅱ）求条件概率

P {X \leq 1 ∣ Y \leq 1}

。

边缘分布与条件分布

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 求边缘分布的基本方法：连续型对另一个变量积分，积分限由支撑集确定；离散型求各行之和与各列之和★★ 必会

2. 边缘分布不能确定联合分布：相同的边缘可以对应完全不同的联合分布★★ 必会

3. 连续型条件密度为什么是 f(x,y)/fY​(y)：不能直接对事件 {Y=y} 使用条件概率

4. 条件期望与全期望公式 E(X)=E[E(X∣Y)]：先分情形讨论，再按权相加★★ 必会

5. 二维正态的条件分布仍是正态，条件均值就是回归直线★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 连续型条件密度为什么是 $f (x, y) / f_{Y} (y)$ ：不能直接对事件 ${Y = y}$ 使用条件概率

4. 条件期望与全期望公式 $E (X) = E [E (X ∣ Y)]$ ：先分情形讨论，再按权相加★★ 必会