边缘分布与条件分布

概率论与数理统计 · 多维随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 边缘分布：把另一个变量放到无穷

(X, Y)

的联合分布里本来就含着

X

自己的分布。把它单独取出来，叫

X

的边缘分布。

办法是对另一个变量不加限制，也就是把它推到

+ \infty

：

F_{X} (x) = F (x, + \infty), F_{Y} (y) = F (+ \infty, y) .

道理很直白：事件

{X \leq x}

等于

{X \leq x, Y < + \infty}

——

Y

那一条不构成任何约束。

「边缘」这个名字的来历：离散型写成表时，把每一行加起来写在表的右边、
每一列加起来写在表的下边，正好在表的边上。

2. 边缘密度：把另一个变量积掉，难在定限

连续型的边缘密度：

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y,

f_{Y} (y)

同理（把

x

积掉）。

计算上唯一的难点是定限。 密度常常只在某块区域上非零，这时积分限不是

\pm \infty

，
而要由区域决定：

固定一个 $x$ ，看 $y$ 在哪一段上密度不为零——这正是二重积分那一节的「穿线」。

所以标准动作是：先画出密度非零的区域，再竖着穿一刀，读出

y

的上下限。

答案通常是分段的：

x

落在不同范围时，那一刀穿到的区间不一样。

3. 条件分布：固定一条线，重新标定成 $1$

离散型：在

Y = y_{j}

的条件下，

P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j}) = \frac{p _{ij}}{p _{\cdot j}},

其中

p_{\cdot j}

是第

j

列的和。就是「这一格除以列和」。

连续型：当

f_{Y} (y) > 0

时，

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )} .

读法：固定

y

，在平面上取出那一条水平线，线上的密度照原样，
只是整体除以一个数，让它在这条线上的积分重新等于

1

。

这和上一章条件概率「缩小样本空间、除以

P (B)

重新标定」是同一件事——
只是样本空间从一块区域缩成了一条线。

4. 由联合求边缘容易，反过来不行

联合 $\to$ 边缘：求和或积分，一步就到。

边缘 $\to$ 联合：一般做不到。

因为边缘只告诉你「

X

自己怎么分布」「

Y

自己怎么分布」，
却没说两者怎么配对。配对方式不同，联合分布就不同。

只有在一种情形下能倒推回去： $X$ 与 $Y$ 相互独立（下一节），这时

p_{ij} = p_{i \cdot} p_{\cdot j},

或者连续型的

f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y) .

所以题目若只给边缘就要你求联合，一定在某处写了「独立」二字——
没有这两个字，题目就是不完整的。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

离散型求边缘与条件

第一步：把联合分布律写成表。

第二步：边缘——每行求和写在右边，每列求和写在下边。

第三步：验算，行和与列和各自加起来都应为

1

。

第四步：条件——某一格除以它所在的列和（或行和），看条件给的是哪个变量。

例例. 接上面那张表（

a = 0.4

），求两个边缘分布与

P (X = 0 ∣ Y = 0)

。

第一步，表已有。

第二步，每行求和写右边：

0.3

、

0.7

；每列求和写下边：

0.4

、

0.6

。

第三步，验算：行和

0.3 + 0.7 = 1

✓ 列和

0.4 + 0.6 = 1

✓

第四步，条件给的是

Y = 0

，所以除以列和：

P (X = 0 ∣ Y = 0) = \frac{0.1}{0.4} = 0.25.

除错方向（除成行和

0.3

）会得到

\frac{1}{3}

。看条件给的是哪个变量，给谁就除谁的和。

连续型求边缘密度

第一步：画出密度非零的区域。

第二步：固定一个

x

，竖着穿一刀，读出

y

的入口与出口。

第三步：

f_{X} (x) = \int_{入口}^{出口} f (x, y) d y

，
注意限里可以含

x

。

第四步：

x

的不同范围要分段写；最后验

\int f_{X} = 1

。

例例. 设

f (x, y) = 2

在

0 < y < x < 1

上，求两个边缘密度。

第一步，支撑是那个三角形。

第二步，固定

x

竖着穿一刀：

y

从

0

进、从

x

出。

第三步，

f_{X} (x) = \int_{0}^{x} 2 d y = 2 x (0 < x < 1),

限里含 $x$ ——这是二维题与一维题最大的不同。

第四步，同理固定

y

横着穿（

x

从

y

进、从

1

出）：

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} 2 d x = 2 (1 - y) (0 < y < 1),

范围之外都是

0

。验：两个积分都等于

1

✓

把限写成常数（

\int_{0}^{1} 2 d y = 2

）是这一条最常见的错——穿线的入口出口本来就随

x

在动。

求条件密度

第一步：先求出作为条件的那个变量的边缘密度。

第二步：用

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )}

，并注明

f_{Y} (y) > 0

。

第三步：写清

x

的取值范围——它通常依赖于

y

（由区域读出）。

第四步：认一认结果是不是某个常见分布（均匀、指数…），能说清就说清。

例例. 接上题，求

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

。

第一步，作为条件的是

Y

，上一条已求出

f_{Y} (y) = 2 (1 - y)

。

第二步，

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )} = \frac{2}{2 ( 1 - y )} = \frac{1}{1 - y},

并注明

f_{Y} (y) > 0

，即

0 < y < 1

。

第三步，写清

x

的范围——它依赖于 $y$ ：由区域读出

y < x < 1

。

第四步，认一认：在长度为

1 - y

的区间

(y, 1)

上取常数

\frac{1}{1 - y}

——这正是均匀分布

U (y, 1)

。

一句「给定

Y = y

时

X

在

(y, 1)

上均匀分布」比公式好记，也顺带说明了为什么两者不独立：条件分布随

y

在变。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

求边缘密度时积分限写成常数

区域是三角形

0 < y < x < 1

时，

f_{X} (x) = \int_{0}^{x} f d y

，
上限是

x

不是

1

。

症状：算出的

f_{X}

积分不等于

1

。

画区域、穿线——和二重积分定限是同一个动作，省不得。

条件分布除错了对象

P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j})

要除以列和

p_{\cdot j}

（

Y

的边缘），
不是行和。

记法和上一章一样：分母永远是「已知发生的那个」。

连续型同理：

f_{X ∣ Y}

除以

f_{Y}

。

由边缘直接乘出联合

f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

只在独立时成立。

题目没给「独立」二字就这么乘，等于凭空添了一个条件。

上面那两张表就是反例：边缘相同，联合完全不同。

忘了写取值范围

边缘密度与条件密度都要写清在哪一段上成立、其余为

0

。

条件密度的范围常常依赖于条件值（上例是

0 < y < x

）。

漏掉范围的答案不是一个完整的密度——这是解答题的固定扣分点。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认边缘

练 1

由联合分布函数求边缘：

F_{X} (x) = F (x,

________

)

。

练 2

离散型中，

X

的边缘分布律由联合分布律怎样得到（）。

A把每一行加起来
B把每一列加起来
C把所有格子相乘
D取每行的最大值

练 3

连续型的边缘密度：

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}

________

d y

。

练 4

条件分布

P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j})

的分母是（）。

A所有格子之和
B第 $i$ 行的和
C这一格本身
D第 $j$ 列的和

第二组 · 算边缘与条件

练 5

联合分布律为

p_{00} = 0.1, p_{01} = 0.2, p_{10} = 0.3, p_{11} = 0.4

，则

P (X = 0) =

________。

练 6

承上题，

P (Y = 0) =

________。

练 7

承上题，

P (X = 0 ∣ Y = 0) =

________。

练 8

设

f (x, y) = 2

（在

0 < y < x < 1

上），则

f_{X} (x)

的积分上限应取（）。

A $1$
B $+ \infty$
C $x$
D $2$

第三组 · 边缘与联合

练 9

承上（

f = 2

在

0 < y < x < 1

上），

f_{X} (x) =

________（

0 < x < 1

）。

练 10

承上题，条件密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) =

________（

0 < y < x

）。

练 11

已知

X

与

Y

的边缘分布，能否唯一确定联合分布（）。

A一定能
B一般不能，除非已知两者独立
C一定不能
D只有连续型才能

练 12

条件密度要除以

f_{Y} (y)

，理由是（）。

A让它在那条线上的积分重新等于 $1$
B让它恒小于 $1$
C消去 $x$
D习惯写法，没有理由

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

边缘分布与条件分布

先打基础

1. 边缘分布：把另一个变量放到无穷

2. 边缘密度：把另一个变量积掉，难在定限

3. 条件分布：固定一条线，重新标定成 1

4. 由联合求边缘容易，反过来不行

常用结构

离散型求边缘与条件

连续型求边缘密度

求条件密度

基础易错

求边缘密度时积分限写成常数

条件分布除错了对象

由边缘直接乘出联合

忘了写取值范围

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 条件分布：固定一条线，重新标定成 $1$