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二维随机变量与联合分布

概率论与数理统计 · 多维随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 二维随机变量：平面上的随机点

把两个随机变量放在一起看，

(X, Y)

就是平面上的一个随机点。

描述它的工具还是分布函数，只是多了一个变量：

F (x, y) = P (X \leq x, Y \leq y) .

几何意义：以

(x, y)

为右上角、向左下无限延伸的那块区域，随机点落在里面的概率。

性质和一维平行（都由概率的单调性与可加性推出）：

对

x

、对

y

分别单调不减；两个方向都右连续；

F (- \infty, y) = F (x, - \infty) = 0, F (+ \infty, + \infty) = 1.

逗号读作「且」：

P (X \leq x, Y \leq y)

是两个事件同时发生的概率，即交。

2. 矩形区域的概率：把事件拆开再用可加性

一维时我们有

P (a < X \leq b) = F (b) - F (a)

。二维的版本要四个

F

值。

先看一个半边的情形（下面证明它）：

P (x_{1} < X \leq x_{2}, Y \leq y) = F (x_{2}, y) - F (x_{1}, y) .

再在

Y

方向上同样做一次，就得到矩形公式：

P (x_{1} < X \leq x_{2}, y_{1} < Y \leq y_{2}) = F (x_{2}, y_{2}) - F (x_{1}, y_{2}) - F (x_{2}, y_{1}) + F (x_{1}, y_{1}) .

四项的符号别记错：两个「对角」的取正，两个「旁边」的取负——
这就是容斥：减掉左边和下边，多减了左下角，再加回来。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条证明的手法是：把事件按某个变量的范围拆成两个互斥的事件，再用可加性。
那一次拆的是

X

的范围，这次要在

Y

的方向上再用一次。设

(X, Y)

的联合分布函数为

F (x, y)

，

x_{1} < x_{2}

、

y_{1} < y_{2}

。证明

P (x_{1} < X \leq x_{2}, y_{1} < Y \leq y_{2}) = F (x_{2}, y_{2}) - F (x_{1}, y_{2}) - F (x_{2}, y_{1}) + F (x_{1}, y_{1}) .

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

3. 离散型：联合分布律就是一张表

(X, Y)

只取有限或可列个值时，记

p_{ij} = P (X = x_{i}, Y = y_{j}) .

两条要求和一维一样：

p_{ij} \geq 0, i \sum j \sum p_{ij} = 1.

写成一张表最清楚：行标是

X

的取值，列标是

Y

的取值，格子里是

p_{ij}

。

有了这张表：

任何事件的概率

=

把符合条件的格子加起来；

下一节的边缘分布

=

把一整行（或一整列）加起来。

待定常数照旧靠「所有格子之和为

1

」定出来。

4. 连续型：联合密度与二重积分

若存在非负函数

f (x, y)

使

F (x, y) = \int_{- \infty}^{y} \int_{- \infty}^{x} f d u d v,

就称

(X, Y)

是连续型的，

f

叫联合概率密度。

两条要求照旧（和一维的平行）：

f (x, y) \geq 0, \iint_{R^{2}} f = 1.

最常用的一条：事件的概率就是在那块区域上做二重积分

P ((X, Y) \in D) = \iint_{D} f d σ .

于是这一节和二重积分那一章接上了：画区域、定限、积分，
那边练过的本事在这里原样使用。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用联合分布函数算概率

第一步：把事件画在平面上，看它是不是一个矩形区域。

第二步：是矩形就用四项公式，注意两个对角取正、两个旁边取负。

第三步：半边的情形（只限制一个变量）用两项公式。

第四步：验算——结果必须落在

[0, 1]

内，而且非负。

例例. 已知二维分布函数

F (x, y)

，求

P (a < X \leq b, c < Y \leq d)

。

第一步，把事件画在平面上——它是一个矩形。

第二步，矩形用四项公式，两个对角取正、两个旁边取负：

P = F (b, d) - F (a, d) - F (b, c) + F (a, c) .

第三步，只限制一个变量（半边）时用两项，如

P (a < X \leq b) = F (b, + \infty) - F (a, + \infty)

。

第四步，验算：结果必须落在

[0, 1]

内且非负。

那两个负号来自容斥：减掉左边一条、再减掉下边一条之后，左下角那块被减了两次，要加回来一次——少加第四项会算出负的「概率」。

离散型：在表上做加法

第一步：把联合分布律写成表（行是

X

，列是

Y

）。

第二步：待定常数用「所有格子之和为

1

」定出来。

第三步：把事件翻译成「哪几个格子」。

第四步：把那几个格子加起来。

例例. 设

(X, Y)

的联合分布律为

X = 0 X = 1 Y = 0 0.1 0.3 Y = 1 0.2 a

求

a

，再求

P (X + Y \geq 1)

。

第一步，表已给（行是

X

，列是

Y

）。

第二步，所有格子之和为

1

：

0.1 + 0.2 + 0.3 + a = 1

，故

a = 0.4

。

第三步，翻译：

X + Y \geq 1

就是「不是

(0, 0)

那一格」。

第四步，走对立最快：

P (X + Y \geq 1) = 1 - 0.1 = 0.9.

（逐格相加

0.2 + 0.3 + 0.4 = 0.9

✓ 一样。）格子多时对立事件省事得多。

连续型：画区域、做二重积分

第一步：画出密度非零的区域（支撑），再画出事件对应的区域。

第二步：两块取交，确定积分区域。

第三步：定限、积分（这一步就是二重积分那一章的活）。

第四步：密度是常数时可直接用面积比。

例例. 设

(X, Y)

在三角形

0 < y < x < 1

上服从均匀分布，求

P (Y < \frac{1}{2})

。

第一步，画支撑：直线

y = x

下方、

x < 1

、

y > 0

围成的三角形，面积

\frac{1}{2}

。均匀分布的密度是面积的倒数：

f (x, y) = 2

。

第二步，事件

y < \frac{1}{2}

与支撑取交。

第三步，密度是常数，直接用面积比。被切掉的是

y > \frac{1}{2}

的小三角形（顶点

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

、

(1, \frac{1}{2})

、

(1, 1)

），面积

\frac{1}{8}

，所求区域面积

\frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}

。

第四步，

P (Y < \frac{1}{2}) = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4} .

密度不是常数时就老实定限做二重积分——那一步就是二重积分那一章的活，这里全部用得上。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

矩形公式的四项符号配错

正确的是「两个对角为正、两个旁边为负」：

F (x_{2}, y_{2}) + F (x_{1}, y_{1}) - F (x_{1}, y_{2}) - F (x_{2}, y_{1}) .

配错的症状很好认：算出负的概率。

与其背符号，不如画个图数一遍——减左边、减下边、把多减的左下角加回来。

把逗号读成「或」

P (X \leq x, Y \leq y)

里的逗号是「且」，是两个事件的交。

读成「或」会把它当成并，算出来偏大。

翻译题面时也一样：「

X

不超过

1

且

Y

不超过

2

」才是

F (1, 2)

。

连续型里忘了与支撑区域取交

密度只在某块区域上非零，事件区域要和它取交之后再积分。

直接在整个事件区域上积，会把密度为零的地方也算进去（多半是积分限写错）。

先画两块区域，再画交——这一步省不得。

离散型漏算格子或重复算

把事件翻译成格子时，要把表扫一遍，逐格判断。

X + Y \leq 1

这类条件尤其容易漏——它跨行跨列。

验算：所有格子之和必须是

1

；事件的概率不能超过

1

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认联合分布

练 1

二维随机变量的联合分布函数定义：

F (x, y) = P (

________

)

。

练 2

F (+ \infty, + \infty)

等于（）。

A $0$
B $1$
C $0.5$
D不确定

练 3

联合分布律的两条要求：

p_{ij} \geq 0

与 ________。

练 4

连续型二维随机变量落在区域

D

内的概率等于（）。

A $D$ 的面积
B $f$ 在 $D$ 上的最大值
C $f$ 在 $D$ 上的二重积分
D $F$ 在 $D$ 上的二重积分

第二组 · 算概率

练 5

已知

F (1, 1) = 0.4

、

F (0, 1) = 0.1

、

F (1, 0) = 0.2

、

F (0, 0) = 0.05

，则

P (0 < X \leq 1, 0 < Y \leq 1) =

________。

练 6

联合分布律中已知三个格子为

0.1, 0.2, 0.3

，第四个格子

a =

________。

练 7

P (X \leq x, Y \leq y)

中的逗号表示（）。

A或（并）
B且（交）
C条件
D相加

练 8

(X, Y)

在单位正方形上均匀分布（

f = 1

），则

P (X + Y \leq 1) =

________。

第三组 · 两种类型

练 9

矩形公式里为什么要把

F (x_{1}, y_{1})

加回来（）。

A凑成四项好看
B左下角那块被减了两次
C因为 $F$ 单调不减
D没有理由，是定义

练 10

联合密度的两条要求：

f \geq 0

与 ________（写成积分式）。

练 11

承前表（

X, Y

各取

0, 1

，概率依次为

0.1, 0.2, 0.3, 0.4

），

P (X + Y \leq 1) =

________。

练 12

对连续型二维随机变量，

P (X = 1, Y = 1)

等于（）。

A $f (1, 1)$
B $F (1, 1)$
C $0$
D无法确定

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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