随机变量函数的分布

概率论与数理统计 · 随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 离散型：逐个映过去，相同的值要合并

已知

X

的分布律，求

Y = g (X)

的分布律，做法只有两步：

① 把每个取值 $x_{k}$ 映成 $y_{k} = g (x_{k})$ ，概率照搬；

② 若几个 $x_{k}$ 映到同一个 $y$ ，把它们的概率加起来。

第二步是这里唯一的技术点。

g

不一定是一一对应——

X = - 1

与

X = 1

都使

X^{2} = 1

，两条路通向同一个值。

它们是互斥的（

X

不可能同时取

- 1

和

1

），所以概率直接相加。

验算照旧：新分布律的概率之和仍应为

1

。

2. 连续型的分布函数法：万能的三步

① 从定义出发：

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) .

② 把 ${g (X) \leq y}$ 化成 $X$ 的区间（解不等式），再用

F_{X}

表示。

③ 对 $y$ 求导，得到

f_{Y} (y)

。

全部功夫在第②步：解不等式时要看清

g

的单调方向，
还要和

X

本身的取值范围取交。

这个方法不要求 $g$ 单调，所以什么情形都能用——下面的

Y = X^{2}

只能靠它。

3. 公式法： $g$ 单调可导时的省事写法

设

y = g (x)

单调可导，反函数为

x = h (y)

，则

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣.

（右端两个因子，缺一不可。）

两个要点：

① 那个绝对值不能丢。

g

递减时

h^{'} < 0

，而密度必须非负。

② $y$ 的取值范围要写清楚：把

x

的范围通过

g

映过去。

绝对值的来历可以从换元看出来：

d x = h^{'} (y) d y

，

h

递减时积分上下限还要对调一次，两个负号抵消，剩下的就是绝对值。

用之前先确认单调，不单调就回到分布函数法。

4. $Y = X^{2}$ 这类不单调的：两支都要算

g (x) = x^{2}

在原点两侧方向相反，公式法用不了。走分布函数法：

对

y > 0

，

F_{Y} (y) = P (X^{2} \leq y) = P (- y \leq X \leq y) = F_{X} (y) - F_{X} (- y) .

对

y

求导（链式法则，两项各乘

\frac{1}{2 y}

并注意负号）：

f_{Y} (y) = \frac{f _{X} ( y ) + f _{X} ( - y )}{2 y} .

y \leq 0

时

F_{Y} = 0

。

两项的来历：

X = y

与

X = - y

都使

X^{2} = y

，两支都通向同一个

y

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

离散型：映、合并、验和

第一步：逐个算

y_{k} = g (x_{k})

，把概率照搬过去。

第二步：找出重复的

y

，把对应的概率相加。

第三步：按

y

从小到大重排，列成表。

第四步：验概率之和为

1

。

例例. 设

X

取

- 1, 0, 1

，概率各为

0.2, 0.5, 0.3

。求

Y = X^{2}

的分布律。

第一步，逐个映：

(- 1)^{2} = 1

、

0^{2} = 0

、

1^{2} = 1

，概率照搬

0.2, 0.5, 0.3

。

第二步，

y = 1

出现了两次，把概率相加：

0.2 + 0.3 = 0.5

。

第三步，按

y

从小到大重排：

Y

取

0

与

1

，概率各

0.5

。

第四步，验和

= 1

✓

合并那一步最容易漏：不合并就会在分布律里让同一个取值出现两次，是明显的格式错。

g

不单调（这里是平方）时必然要合并。

连续型万能法：三步

第一步：写

F_{Y} (y) = P (g (X) \leq y)

。

第二步：解不等式，把它化成

X

的区间；注意与

X

的取值范围取交。

第三步：用

F_{X}

表示出来，再对

y

求导。

第四步：写清

f_{Y}

的取值范围，范围之外补

0

。

例例. 设

X \sim U (0, 1)

，求

Y = X^{2}

的概率密度。

第一步，

F_{Y} (y) = P (X^{2} \leq y)

。

第二步，解不等式。

y \leq 0

时为

0

，

y \geq 1

时为

1

；

0 < y < 1

时

X^{2} \leq y ⟺ - y \leq X \leq y,

与 $X$ 的取值范围 $(0, 1)$ 取交得

0 < X \leq y

。

第三步，

F_{X} (x) = x

，故

F_{Y} (y) = y

，求导得

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 y}

。

第四步，写清范围：

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 y}

（

0 < y < 1

），其余为

0

。

不取交就会写出

F_{Y} = 2 y

，积出来大于

1

——第二步那个「取交」是这条路唯一的关口。

单调情形的公式法

第一步：确认

g

在

X

的取值范围上单调可导。

第二步：解出反函数

x = h (y)

并求

h^{'} (y)

。

第三步：代

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣

，绝对值别丢。

第四步：把

x

的范围映成

y

的范围，写在后面。

例例. 设

X \sim N (0, 1)

，求

Y = 2 X + 3

的概率密度。

第一步，

g (x) = 2 x + 3

在

R

上单调可导 ✓ 可以用公式。

第二步，反函数

h (y) = \frac{y - 3}{2}

，

h^{'} (y) = \frac{1}{2}

。

第三步，代公式，绝对值别丢：

f_{Y} (y) = f_{X} (\frac{y - 3}{2}) \frac{1}{2} = \frac{1}{2 2 π} e^{- \frac{( y - 3 ) ^{2}}{8}} .

第四步，

x

取遍

R

，

y

也取遍

R

，不必另加限制。

对照一下：这正是

N (3, 4)

的密度（

μ = 3

、

σ = 2

）✓ 与结论「

X \sim N (μ, σ^{2}) \Rightarrow a X + b \sim N (a μ + b, a^{2} σ^{2})

」一致。

若

g

单调递减（如

Y = - 2 X + 3

），

h^{'} < 0

，那个绝对值就起作用了——丢了会得到负的密度。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

离散型忘了合并相同的值

Y = X^{2}

时

X = \pm 1

都给

Y = 1

，两个概率要相加。

症状：分布律里出现重复的取值，或者概率之和超过

1

。

列完表扫一眼：取值有没有重复、和是不是

1

。

公式法漏掉 $∣ h^{'} (y) ∣$

只把

f_{X}

里的

x

换成

h (y)

是不够的，还要乘反函数的导数。

漏了它，

f_{Y}

的积分就不是

1

了——用规范性一验就能发现。

绝对值也不能丢：

g

递减时

h^{'} < 0

，密度会算成负的。

$Y = X^{2}$ 只取正根

X^{2} \leq y

的解是

- y \leq X \leq y

，两头都有。

只写

F_{X} (y)

会少掉一支，密度少一项。

X

只取正值时才例外——那时负的那一支本来就不在取值范围里。

不写 $y$ 的取值范围

密度必须说明在哪一段上有效、其余为

0

，否则它不是一个完整的答案。

范围由

x

的范围映过来：

X \sim U (0, 1)

、

Y = 2 X + 1

时

y \in (1, 3)

。

写完 $f_{Y}$ 就补一句范围，这是解答题的得分点。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 离散型

练 1

设

X

取

- 1, 0, 1

，概率各为

\frac{1}{3}

，

Y = X^{2}

，则

P (Y = 1) =

________。

练 2

求离散型

Y = g (X)

的分布律时，若两个取值映到同一个

y

，概率应当（）。

A相加
B相乘
C取较大者
D取平均

练 3

连续型万能法的第一步是写出

F_{Y} (y) = P (

________

)

。

练 4

公式法

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) \cdot

（）。

A $h^{'} (y)$
B $∣ h^{'} (y) ∣$
C $\frac{1}{h ^{'} ( y )}$
D $h (y)$

第二组 · 连续型

练 5

设

X \sim U (0, 1)

，

Y = 2 X + 1

，则

Y

服从 ________（写出分布与参数）。

练 6

设

X \sim E (λ)

，

Y = 2 X

，则

f_{Y} (y) =

________（

y > 0

）。

练 7

下列情形中必须用分布函数法（公式法失效）的是（）。

A $Y = 2 X + 1$
B $Y = e^{X}$
C $Y = X^{2}$ （ $X$ 可正可负）
D $Y = - X$

练 8

设

Y = X^{2}

（

X

可正可负），则对

y > 0

有

F_{Y} (y) = F_{X} (y) -

________。

第三组 · 不单调与综合

练 9

设

X \sim N (0, 1)

，

Y = X^{2}

，则

f_{Y} (y) =

________（

y > 0

）。

练 10

公式法里那个绝对值的来历是（）。

A反函数必须递增
B积分必须收敛
C没有特别的理由，约定而已
D密度必须非负（递减时 $h^{'} < 0$ ）

练 11

求出

f_{Y}

之后，答案里还必须写清 ________ 的取值范围。

练 12

Y = X^{2}

的密度里为什么会有两项（）。

A把同一件事算了两遍
B $X = y$ 与 $X = - y$ 两支都通向同一个 $y$
C密度需要加倍
D定义如此，没有理由

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

随机变量函数的分布

先打基础

1. 离散型：逐个映过去，相同的值要合并

2. 连续型的分布函数法：万能的三步

3. 公式法：g 单调可导时的省事写法

4. Y=X2 这类不单调的：两支都要算

常用结构

离散型：映、合并、验和

连续型万能法：三步

单调情形的公式法

基础易错

离散型忘了合并相同的值

公式法漏掉 ∣h′(y)∣

Y=X2 只取正根

不写 y 的取值范围

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 公式法： $g$ 单调可导时的省事写法

4. $Y = X^{2}$ 这类不单调的：两支都要算

公式法漏掉 $∣ h^{'} (y) ∣$

$Y = X^{2}$ 只取正根

不写 $y$ 的取值范围