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常见连续分布（均匀、指数、正态）

概率论与数理统计 · 随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 均匀分布：几何概型换成随机变量的说法

X \sim U (a, b)

的密度是一段水平线：

f (x) = \frac{1}{b - a} (a \leq x \leq b),

其余为

0

。分布函数是一段斜线：

F (x) = \frac{x - a}{b - a} (a \leq x < b),

左边

0

、右边

1

。

于是落在子区间里的概率只与长度成正比：

P (c < X < d) = \frac{d - c}{b - a} .

这正是几何概型在一维上的样子——「在

[a, b]

上随机取一点」，
两节课说的是同一件事。

2. 指数分布：等待时间，而且没有记忆

X \sim E (λ)

（

λ > 0

）的密度与分布函数：

f (x) = λ e^{- λ x} (x > 0),

F (x) = 1 - e^{- λ x} (x \geq 0),

其余为

0

。于是尾概率特别好写：

P (X > x) = e^{- λ x} .

它描述寿命与等待时间：元件能用多久、下一个顾客多久到。

无记忆性（连续版）：

P (X > s + t ∣ X > s) = P (X > t) .

已经用了

s

小时还没坏的元件，接下来还能用多久，和新的一样——
和几何分布那条是同一回事，一个离散一个连续。

3. 正态分布： $μ$ 定位置， $σ$ 定胖瘦

X \sim N (μ, σ^{2})

的密度

f (x) = \frac{1}{2 π σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}} .

图像是一条钟形曲线：

关于

x = μ

对称（

μ

决定它站在哪儿）；

σ

越大越矮胖、越小越高瘦（

σ

决定分散程度）；

在

x = μ \pm σ

处是拐点。

μ = 0

、

σ = 1

时叫标准正态，密度记作

φ

，分布函数记作

Φ

。

由对称性得到最常用的一条换算：

Φ (- x) = 1 - Φ (x) .

4. 标准化：所有正态题的第一步

X \sim N (μ, σ^{2})

时，

Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1) .

于是任何正态概率都能化到

Φ

上：

P (a < X < b) = Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ}) .

两步动作：减

μ

（把中心挪到

0

），除以

σ

（把尺度缩成

1

）。

顺带记住 $3 σ$ 原则：落在

μ \pm 3 σ

之外的概率不到

0.3%

，
所以正态随机变量实际上「几乎总在

μ \pm 3 σ

内」。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

均匀与指数：直接套公式

第一步：认出分布与参数（

U (a, b)

的两个端点、

E (λ)

的

λ

）。

第二步：均匀分布算长度比，不必积分。

第三步：指数分布优先用尾概率

P (X > x) = e^{- λ x}

。

第四步：遇到「已经用了多久、还能用多久」直接搬无记忆性。

例例.

X \sim U (0, 10)

求

P (2 < X < 5)

；

Y \sim E (0.1)

（小时）求

P (Y > 20)

以及「已用

10

小时、还能再用

20

小时」的概率。

第一步，参数：

U

的端点

0, 10

；指数的

λ = 0.1

。

第二步，均匀分布算长度比，不必积分：

P = \frac{5 - 2}{10 - 0} = 0.3

。

第三步，指数分布优先用尾概率：

P (Y > 20) = e^{- 0.1 \times 20} = e^{- 2}

。

第四步，「已经用了多久、还能用多久」直接搬无记忆性：

P (Y > 30 ∣ Y > 10) = P (Y > 20) = e^{- 2},

和「全新的能用

20

小时」完全一样——不必真去算那个条件概率。

正态分布：标准化再查表

第一步：读出

μ

与

σ

——注意第二个参数是方差，要开方。

第二步：把区间端点各自标准化：

\frac{x - μ}{σ}

。

第三步：写成

Φ

的差；遇到负数用

Φ (- x) = 1 - Φ (x)

换过来。

第四步：查表、作差。答案落在

[0, 1]

内，且大致符合

3 σ

的直觉。

例例. 设

X \sim N (2, 9)

，求

P (X < 5)

与

P (- 1 < X < 5)

。

第一步，

μ = 2

；第二个参数

9

是方差，所以

σ = 3

。这里不开方是整题丢分的常见原因。

第二步，标准化端点：

\frac{5 - 2}{3} = 1

，

\frac{- 1 - 2}{3} = - 1

。

第三步，

P (X < 5) = Φ (1) \approx 0.8413

；负数用

Φ (- x) = 1 - Φ (x)

换过来：

P (- 1 < X < 5) = Φ (1) - Φ (- 1) = 2Φ (1) - 1.

第四步，

2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826

，落在

[0, 1]

内 ✓ 而且正是「

μ \pm σ

内约占

68%

」那条直觉 ✓

对称性的两个用法

第一步：看到

Φ

的自变量为负，先换成

1 - Φ (正)

。

第二步：求

P (∣ Z ∣ < c)

时写成

2Φ (c) - 1

。

第三步：求

P (∣ Z ∣ > c)

时写成

2 (1 - Φ (c))

。

第四步：核对——这些值都应当在

0

与

1

之间。

例例. 设

Z \sim N (0, 1)

，求

P (Z < - 1.5)

、

P (∣ Z ∣ < 1.96)

、

P (∣ Z ∣ > 1.96)

。

第一步，自变量为负先换：

P (Z < - 1.5) = 1 - Φ (1.5) \approx 1 - 0.9332 = 0.0668.

第二步，

P (∣ Z ∣ < c) = 2Φ (c) - 1

：

P (∣ Z ∣ < 1.96) = 2 \times 0.975 - 1 = 0.95

。

第三步，

P (∣ Z ∣ > c) = 2 [1 - Φ (c)]

：

P (∣ Z ∣ > 1.96) = 2 \times 0.025 = 0.05

。

第四步，核对：三个值都在

0

与

1

之间 ✓ 第二、三步相加正好是

1

✓

1.96

与

0.95

这一对，后面做区间估计和假设检验时天天用——现在把它的来历记住。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把 $N (μ, σ^{2})$ 的第二个参数当成 $σ$

N (10, 4)

的标准差是

2

，不是

4

。

标准化时除错了数，后面全错，而且答案看上去仍然「像个概率」。

读题时就把 $σ$ 算出来写在旁边，再动手标准化。

查表时漏掉 $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$

表只印正值，负值必须换算。

症状：算出

Φ (- 1.96) = 0.975

这种大于

0.5

的数。

记住 $Φ (0) = 0.5$ ：负数的

Φ

必小于

0.5

，正数的必大于

0.5

。

指数分布把 $F$ 与尾概率弄反

F (x) = 1 - e^{- λ x}

是「不超过

x

」，

e^{- λ x}

才是「超过

x

」。

「寿命超过多少小时」问的是后者，别直接代

F

。

检查：

x

很大时尾概率应当趋于

0

，而

F

趋于

1

。

均匀分布的密度写成 $1$

U (a, b)

的密度是

\frac{1}{b - a}

，只有

U (0, 1)

才恰好是

1

。

写成

1

之后总面积变成

b - a

，规范性就破了。

区间长不等于 $1$ 时，密度必然不是 $1$ 。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认三个分布

练 1

U (a, b)

的概率密度在

a \leq x \leq b

上为

f (x) =

________。

练 2

E (λ)

的概率密度在

x > 0

上为

f (x) =

________。

练 3

正态分布

N (μ, σ^{2})

的密度曲线关于（）对称。

A $x = 0$
B $x = σ$
C $x = μ$
D不对称

练 4

标准正态分布函数

Φ (0) =

________。

第二组 · 算概率

练 5

设

X \sim U (0, 10)

，则

P (2 < X < 5) =

________。

练 6

设

X \sim E (\frac{1}{1000})

，则

P (X > 2000) =

________。

练 7

设

X \sim N (μ, σ^{2})

，则

\frac{X - μ}{σ}

服从（）。

A $N (μ, σ^{2})$
B $N (0, 1)$
C $E (1)$
D $U (0, 1)$

练 8

已知

Φ (1.96) = 0.975

，则

Φ (- 1.96) =

________。

第三组 · 性质与综合

练 9

设

X \sim N (10, 4)

，则

P (X < 14) =

________（用

Φ

表示）。

练 10

指数分布的无记忆性指的是（）。

A $P (X > s + t ∣ X > s) = P (X > t)$
B $P (X < s + t ∣ X < s) = P (X < t)$
C $P (X = s) = P (X = t)$
D指数分布没有这条性质

练 11

若单位时间内事件发生的次数服从泊松分布，则相邻两次事件的时间间隔服从 ________ 分布。

练 12

标准正态分布表只印

x > 0

的函数值，原因是（）。

A负数的 $Φ$ 没有意义
B $Φ (- x) = Φ (x)$
C表印不下
D由对称性 $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$ 可以换算

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

常见连续分布（均匀、指数、正态）

先打基础

1. 均匀分布：几何概型换成随机变量的说法

2. 指数分布：等待时间，而且没有记忆

3. 正态分布：μ 定位置，σ 定胖瘦

4. 标准化：所有正态题的第一步

常用结构

均匀与指数：直接套公式

正态分布：标准化再查表

对称性的两个用法

基础易错

把 N(μ,σ2) 的第二个参数当成 σ

查表时漏掉 Φ(−x)=1−Φ(x)

指数分布把 F 与尾概率弄反

均匀分布的密度写成 1

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 正态分布： $μ$ 定位置， $σ$ 定胖瘦

把 $N (μ, σ^{2})$ 的第二个参数当成 $σ$

查表时漏掉 $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$

指数分布把 $F$ 与尾概率弄反

均匀分布的密度写成 $1$