常见连续分布（均匀、指数、正态）

§15.5 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.45 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

3.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）连续型随机变量及其概率密度③ 掌握后可解锁中心极限定理三大抽样分布（χ²、t、F）正态总体样本均值与方差的分布最大似然估计

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 三种常用连续型分布：均匀分布 $U (a, b)$ 、指数分布 $E (λ)$ 、正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ★★ 必会

① 均匀分布 $U (a, b)$ ：

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{b - a}, 0, a < x < b, 其他, F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{x - a}{b - a}, 1, x < a, a \leq x < b, x \geq b .

模型：这是一维几何概型，在

(a, b)

上随机取一点，落入某个子区间的概率只与该区间的长度成正比。参数

a, b

就是区间的两个端点；

E X = \frac{a + b}{2}, D X = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

。

② 指数分布 $E (λ)$ （其中 $λ > 0$ ）：

f (x) = {λ e^{- λ x}, 0, x > 0, x \leq 0, F (x) = {1 - e^{- λ x}, 0, x \geq 0, x < 0,

最常用的是尾概率

P (X > t) = e^{- λ t} (t \geq 0)

。模型：用来描述等待时间与寿命；

λ

是单位时间内平均发生的次数，即发生率，

E X = \frac{1}{λ}, D X = \frac{1}{λ ^{2}}

，可见均值是速率的倒数。它的特征性质是无记忆性，详见后面关于指数分布的要点。

③ 正态分布 $N (μ, σ^{2})$ （其中 $σ > 0$ ）：

f (x) - \infty = \frac{1}{2 π σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}} < x < + \infty.

它的图形是钟形曲线，关于

x = μ

对称，峰值为

\frac{1}{2 π σ}

，在

x = μ \pm σ

处有拐点； $μ$ 决定曲线的位置（ $E X = μ$ ）， $σ$ 决定曲线的胖瘦（ $D X = σ^{2}$ ， $σ$ 越大，曲线越扁平）。特别地，标准正态分布记作

N (0, 1)

，其密度为

φ (x) = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2}

，分布函数记作

Φ (x)

，并满足

Φ (- x) Φ (0) = 1 - Φ (x) = \frac{1}{2} .

正态分布的

F

没有初等表达式，一切概率都要通过标准化

\frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)

化为

Φ

再查表，详见后面关于正态标准化的要点。

④ 参数的含义：

U

中的

a, b

是区间端点；

E

中的

λ

是速率；

N

中的

μ, σ

分别表示中心位置与分散程度。这三种分布的

E X, D X

的推导，见后面关于三大连续分布期望与方差的要点。

证明 / 推导

下面由密度函数积分推出指数分布的

F

与尾概率。当

x \geq 0

时

F (x) = \int_{0}^{x} λ e^{- λ t} d t = [- e^{- λ t}]_{0}^{x} = 1 - e^{- λ x},

当

x < 0

时被积函数为

0

，故

F (x) = 0

；于是

P (X > t) = 1 - F (t) = e^{- λ t}

。均匀分布同理，当

a \leq x < b

时

F (x) = \int_{a}^{x} \frac{d t}{b - a} = \frac{x - a}{b - a}

。至于正态密度的归一性，它就是高斯积分

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 π

，详见后面关于高斯积分的要点。

■

举例说明

2004·数三填空：设随机变量

X

服从参数为

λ

的指数分布，求

P {X > D (X)}

。
解：这里要用到指数分布的两条基本结论，即方差

D (X) = \frac{1}{λ ^{2}}

与尾概率

P (X > t) = e^{- λ t} (t \geq 0)

。先算阈值

D (X) = \frac{1}{λ ^{2}} = \frac{1}{λ},

它恰好等于均值

E X = \frac{1}{λ}

；再代入尾概率的公式：

P (X > \frac{1}{λ}) = e^{- λ \cdot \frac{1}{λ}} = e^{- 1} = \frac{1}{e} .

所得结果与

λ

无关，这是因为指数分布的标准差恰好等于均值，即变异系数为

1

，因而阈值

D (X)

总是落在

1

个均值处。易错之处：把

D (X)

误记为

\frac{1}{λ}

（那是

E X

）或

λ^{2}

，阈值就随之算错；必须记牢

E (λ)

的

E X = \frac{1}{λ}, D X = \frac{1}{λ ^{2}}

。

2. 高斯积分：正态密度为什么归一★ 要懂

正态密度中的系数

\frac{1}{2 π σ}

来源于高斯积分

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 π .

这个被积函数没有初等原函数，但把积分平方，化为二重积分，再换极坐标，就能精确求出。掌握了这一步，才真正明白正态密度的归一性，它也是计算正态分布的期望与方差乃至讨论

Γ

函数的基础。

证明 / 推导

记

I = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x

，把它平方，化为二重积分：

I^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2} /2} d y = \iint_{R^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2}) /2} d x d y .

作极坐标变换

x = r cos θ, y = r sin θ

，

d x d y = r d r d θ

，得

I^{2} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2} /2} r d r d θ = 2 π [- e^{- r^{2} /2}]_{0}^{\infty} = 2 π .

所以

I = 2 π

。于是对

N (μ, σ^{2})

，令

t = \frac{x - μ}{σ}

，便有

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π σ} e^{- (x - μ)^{2} /2 σ^{2}} d x = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- t^{2} /2} d t = 1,

这就证明了正态密度是归一的。

举例说明

由高斯积分还可顺便得到一个常用的结果：令

x = u / 2

，即得

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π .

这类积分在计算与正态分布有关的期望、方差时会反复出现，应当记牢。

3. 三种连续型分布的期望与方差的推导★ 要懂

均匀分布、指数分布与正态分布的

E X, D X

不宜死记，而应当会推导，推导过程本身就是连续型随机变量求期望与方差的标准训练（

E X = \int x f

，

D X = E X^{2} - (E X)^{2}

）。

证明 / 推导

均匀分布 $U (a, b)$ ：

E X = \int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} d x = \frac{a + b}{2}

；

E X^{2} = \int_{a}^{b} \frac{x ^{2}}{b - a} d x = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3}

，故

D X = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3} - \frac{( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} .

指数分布 $E (λ)$ ：由分部积分得

E X = \int_{0}^{\infty} x λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{λ}

；再用一次分部积分得

E X^{2} = \int_{0}^{\infty} x^{2} λ e^{- λ x} d x = \frac{2}{λ ^{2}}

，故

D X = \frac{2}{λ ^{2}} - \frac{1}{λ ^{2}} = \frac{1}{λ ^{2}}

。

正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ：先作标准化

Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)

。因被积函数为奇函数，

E Z = \int z φ (z) d z = 0

，故

E X = μ

。求方差时用分部积分，取

u = z, d v = z φ (z) d z

，而由

φ^{'} (z) = - z φ (z)

知

d v = - d φ

，于是

D Z = E Z^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} z^{2} φ (z) d z = [- z φ (z)]_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} φ (z) d z = 0 + 1 = 1,

所以

D X = σ^{2} D Z = σ^{2}

。

举例说明

由此可见，

E (λ)

的标准差

D X = \frac{1}{λ}

恰好等于它的均值，即变异系数为

1

，这是指数分布的特征；而

U (0, 1)

的

E X = \frac{1}{2}, D X = \frac{1}{12}

，这是生成随机数与作误差分析时常用的基准数值。

4. 指数分布：无记忆性的唯一性及其与几何分布、泊松过程的联系★★ 必会

在连续型分布中，指数分布是唯一具有无记忆性

P (X > s + t ∣ X > s) = P (X > t)

的分布，可用来描述不发生老化的等待时间，例如元件的寿命、相邻两次事故的间隔。它与离散的几何分布以及泊松过程密切相关：几何分布描述离散地等待首次成功，把时间无限细分并取极限，就得到指数分布；而在泊松过程中，相邻两个事件的时间间隔恰好服从指数分布。

证明 / 推导

无记忆性：由

P (X > t) = e^{- λ t}

得

P (X > s + t ∣ X > s) = \frac{e ^{- λ (s + t)}}{e ^{- λ s}} = e^{- λ t} = P (X > t) .

几何分布的连续极限：把单位时间分成

n

个小格，每格作一次独立试验，成功概率取为

p = λ / n

，使单位时间内平均成功次数为

λ

。设首次成功所在的格号为

N \sim G (λ / n)

，首次成功的时间为

T \approx N / n

，则

P (T > t) = P (N > n t) = (1 - \frac{λ}{n})^{n t} n \to \infty e^{- λ t},

这就是指数分布的尾概率。由此可见，指数分布就是几何分布在时间连续化后的极限，无记忆性也一并继承下来。

举例说明

设灯泡寿命

\sim E (λ)

，平均寿命

\frac{1}{λ} = 1000

小时。一只已经用了

800

小时仍然亮着的灯泡，它的剩余寿命的分布与全新灯泡完全相同，平均还能再用

1000

小时，也就是说旧灯泡并不比新灯泡更容易损坏。实际的灯泡是会老化的，所以指数分布只是理想的模型，这也说明无记忆性是一个很强的假设。

5. 正态标准化的作用：处理含参数的概率与线性组合★★ 必会

一切与正态分布有关的概率都通过标准化来计算：

Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)

，然后查

Φ

的表，并利用对称关系

Φ (- x) = 1 - Φ (x)

。进一步还有：

- 线性变换后仍为正态分布：

a X + b \sim N (a μ + b, a^{2} σ^{2})

；
- 相互独立的正态变量之和仍为正态分布：若

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

相互独立，则

\sum_{i} X_{i} \sim N (\sum_{i} μ_{i}, \sum_{i} σ_{i}^{2})

。

有了这两条，含参数或含线性组合的正态分布问题都可以一步化为标准正态分布来处理。

证明 / 推导

下面证明标准化的依据，即正态分布的线性变换公式。设

X \sim N (μ, σ^{2})

，

Y = a X + b

，其中

a \neq = 0

。先设

a > 0

。由分布函数的定义，

F_{Y} (y) = P (a X + b \leq y) = P (X \leq \frac{y - b}{a}) = F_{X} (\frac{y - b}{a}) .

两边对

y

求导，得

f_{Y} (y) = \frac{1}{a} f_{X} (\frac{y - b}{a}) = \frac{1}{2 π aσ} exp {- \frac{1}{2 σ ^{2}} (\frac{y - b}{a} - μ)^{2}} .

把括号内化简，由

\frac{y - b}{a} - μ = \frac{y - ( a μ + b )}{a}

代入，得

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 π ∣ a ∣ σ} exp {- \frac{[ y - ( a μ + b ) ] ^{2}}{2 ( aσ ) ^{2}}} .

这就是

N (a μ + b, a^{2} σ^{2})

的密度函数。如果

a < 0

，那么

F_{Y} (y) = 1 - F_{X} (\frac{y - b}{a})

，求导时多出一个负号，它与

\frac{1}{a} < 0

相乘后仍得

\frac{1}{∣ a ∣}

，所得结果相同。在公式中取

a = \frac{1}{σ}, b = - \frac{μ}{σ}

，便得

Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)

，标准化由此得证。

对称关系的来历. 标准正态密度

φ (t) = \frac{1}{2 π} e^{- t^{2} /2}

是偶函数。在

Φ (- x) = \int_{- \infty}^{- x} φ (t) d t

中令

t = - u

作换元，得

Φ (- x) = \int_{x}^{+ \infty} φ (u) d u = 1 - Φ (x) .

可加性以独立为前提. 独立正态变量之和仍为正态分布，这一条要用卷积公式来证，其中处处用到独立性。如果去掉独立性，结论便不成立。例如取

X \sim N (0, 1)

与

Y = - X

，二者都服从正态分布，但

X + Y \equiv 0

只取一个常数值，不是正态分布。所以使用可加性以前，必须先确认各变量相互独立。

■

举例说明

设

X \sim N (1, 4), Y \sim N (2, 9)

相互独立，求

P (X + Y > 6)

（已知

Φ (0.83) \approx 0.797

）。

由独立正态变量的可加性，

X + Y \sim N (1 + 2, 4 + 9) = N (3, 13)

，标准差为

13

。作标准化，得

P (X + Y > 6) = P (Z > \frac{6 - 3}{13}) = P (Z > 0.83) \approx 1 - 0.797 = 0.203.

若改问

P (2 X - Y < 0)

，则由

2 X - Y \sim N (2 \cdot 1 - 2, 2^{2} \cdot 4 + 9) = N (0, 25)

知均值为

0

，再由对称性得

P (2 X - Y < 0) = Φ (0) = \frac{1}{2} .

可见只要算出线性组合的均值与方差，再作标准化，即可求得所需的概率。

💡 小知识

德国十马克纸币上曾经同时印着高斯的头像和正态分布的钟形曲线。高斯当年用这条曲线处理天文测量的误差，正态分布也因此又叫高斯分布。至于众多微小独立因素叠加起来为什么会趋于正态，这个更深一层的道理，要到中心极限定理出现之后才讲清楚。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

X \sim U (0, 4)

（区间

[0, 4]

上的均匀分布）。求

(1) P (1 < X < 3)

；

(2) E X

与

D X

。难度 1

均匀分布 $U (a, b)$ ：概率 = 长度比， $E X = \frac{a + b}{2}$ ， $D X = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}$ 。

(1)

P (1 < X < 3) = \frac{3 - 1}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

。

(2)

E X = \frac{0 + 4}{2} = 2

，

D X = \frac{( 4 - 0 ) ^{2}}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}

。

例 2 设

X \sim E (2)

（参数

λ = 2

的指数分布，密度

f (x) = 2 e^{- 2 x}, x > 0

）。求

(1) P (X > 1)

；

(2) E X

。难度 1

指数分布 $E (λ)$ ： $F (x) = 1 - e^{- λ x} (x \geq 0)$ ， $E X = \frac{1}{λ}$ 。

(1)

P (X > 1) = 1 - F (1) = 1 - (1 - e^{- 2 \cdot 1}) = e^{- 2}

。
（也可直接积分

\int_{1}^{\infty} 2 e^{- 2 x} d x = e^{- 2}

。）

(2)

E X = \frac{1}{λ} = \frac{1}{2}

。

例 3 设

X \sim N (1, 4)

（即

μ = 1, σ^{2} = 4

）。求

P (1 < X < 3)

。（已知

Φ (1) \approx 0.8413

，

Φ (0) = 0.5

。）难度 2

正态求概率：标准化 $Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)$ ，再查 $Φ$ 。

这里

μ = 1

，

σ = 4 = 2

。令

Z = \frac{X - 1}{2}

，则

P (1 < X < 3) = P (\frac{1 - 1}{2} < Z < \frac{3 - 1}{2}) = P (0 < Z < 1) = Φ (1) - Φ (0) .

代入数值：

P (1 < X < 3) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413.

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数三 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X, Y

相互独立，且

X \sim N (0, 2)

，

Y \sim N (- 1, 1)

。记

p_{1} = P {2 X > Y}

，

p_{2} = P {X - 2 Y > 1}

，则（　　）。

A $p_{1} > p_{2} > \frac{1}{2}$
B $p_{2} > p_{1} > \frac{1}{2}$
C $p_{1} < p_{2} < \frac{1}{2}$
D $p_{2} < p_{1} < \frac{1}{2}$

2024 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X, Y

相互独立，且均服从参数为

λ

的指数分布。令

Z = ∣ X - Y ∣

，则下列随机变量与

Z

同分布的是（　　）。

A $X + Y$
B $\frac{X + Y}{2}$
C $2 X$
D $X$

2023 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设

X_{1}, X_{2}

为来自总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，其中

σ (σ > 0)

为未知参数。记

\overset{σ}{^} = a ∣ X_{1} - X_{2} ∣

，若

E (\overset{σ}{^}) = σ

，则

a =

（　　）。

A $\frac{π}{2}$
B $\frac{2 π}{2}$
C $π$
D $2 π$

2022 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自均值为

θ

的指数分布总体的简单随机样本，

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}

为来自均值为

2 θ

的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中

θ (θ > 0)

是未知参数. 利用样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}

，求

θ

的最大似然估计量

\hat{θ}

，并求

D (\hat{θ})

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X \sim U (2, 6)

，则

P (X < 3) =

（　）。

A $\frac{1}{4}$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{3}{4}$
D $\frac{1}{3}$

练习 2 · 填空题

设

X \sim E (2)

（参数

λ = 2

的指数分布），则

E X =

____。

练习 3 · 选择题

设

X \sim N (0, 1)

（标准正态），则

P (X > 0) =

（　）。

A $\frac{1}{2}$
B $1$
C $0$
D $0.8413$

练习 4 · 填空题

设

X \sim N (3, 16)

，则

X

的标准差

σ =

____。

练习 5 · 选择题

设

X \sim E (1)

（参数

λ = 1

的指数分布），则

P (X > 2) =

（　）。

A $e^{- 2}$
B $1 - e^{- 2}$
C $e^{- 1}$
D $2 e^{- 1}$

练习 6 · 选择题

设

X \sim N (μ, σ^{2})

，且

P (X \leq 2) = 0.5

，

P (X \leq 4) = 0.8

，则

P (0 \leq X \leq 2) =

（　）。

A $0.2$
B $0.3$
C $0.5$
D $0.8$

练习 7 · 填空题

设随机变量

X

服从参数为

λ (λ > 0)

的指数分布，且

P (1 < X < 2) = \frac{1}{4}

，则

E X =

____。

练习 8 · 解答题

设某种零件的长度

X

（单位：mm）服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，已知

P (X \leq 2) = 0.1587, P (X \geq 8) = 0.0228.

（取

Φ (1) = 0.8413

，

Φ (2) = 0.9772

。）

(1) 求

μ

与

σ

；

(2) 求

P (2 < X < 6)

；

(3) 求

P (X > 6 ∣ X > 4)

。

2013 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

是随机变量，且

X_{1} \sim N (0, 1)

，

X_{2} \sim N (0, 2^{2})

，

X_{3} \sim N (5, 3^{2})

，

p_{i} = P {- 2 \leq X_{i} \leq 2}

（

i = 1, 2, 3

），则（　　）

A $p_{1} > p_{2} > p_{3}$ .
B $p_{2} > p_{1} > p_{3}$ .
C $p_{3} > p_{1} > p_{2}$ .
D $p_{1} > p_{3} > p_{2}$ .

2010 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

f_{1} (x)

为标准正态分布的概率密度，

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上均匀分布的概率密度，若

f (x) = {a f_{1} (x), b f_{2} (x), x \leq 0, x > 0, (a > 0, b > 0)

为概率密度，则

a, b

应满足（　　）

A $2 a + 3 b = 4$
B $3 a + 2 b = 4$
C $a + b = 1$
D $a + b = 2$

常见连续分布（均匀、指数、正态）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 三种常用连续型分布：均匀分布 U(a,b)、指数分布 E(λ)、正态分布 N(μ,σ2)★★ 必会

2. 高斯积分：正态密度为什么归一★ 要懂

3. 三种连续型分布的期望与方差的推导★ 要懂

4. 指数分布：无记忆性的唯一性及其与几何分布、泊松过程的联系★★ 必会

5. 正态标准化的作用：处理含参数的概率与线性组合★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 三种常用连续型分布：均匀分布 $U (a, b)$ 、指数分布 $E (λ)$ 、正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ★★ 必会