中心极限定理

§18.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.00 分/卷近 11 年平均

0/11 年出现年份

0.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）常见连续分布（均匀、指数、正态）数学期望方差

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 棣莫弗–拉普拉斯定理： $\frac{n _{A} - n p}{n p ( 1 - p )} d N (0, 1)$ ，列维–林德伯格定理的二项特例★★ 必会

先说依分布收敛：称

Z_{n}

依分布收敛于

Z

，记作

Z_{n} d Z

，是指在

Z

的分布函数

F

的每一个连续点

x

处都有

n \to \infty lim F_{Z_{n}} (x) = F (x)

。这里收敛的对象是分布函数，也就是分布的形状，而不是随机变量的取值本身。中心极限定理中所说的趋于正态，都是在这个意义下讲的；由于

Φ

处处连续，故对一切

x

都成立。

列维–林德伯格定理（独立同分布中心极限定理）：设

X_{1}, X_{2}, \dots

独立同分布，

E (X_{i}) = μ

，

D (X_{i}) = σ^{2}

，且

0 < σ^{2} < + \infty

，则对任意实数

x

，

n \to \infty lim P {\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{n σ} \leq x} = Φ (x),

即近似地有

i = 1 \sum n X_{i} \tilde{˙} N (n μ, n σ^{2})

。

棣莫弗–拉普拉斯定理（正式陈述）：设

n_{A} \sim B (n, p)

，

0 < p < 1

，则对任意实数

x

，

n \to \infty lim P {\frac{n _{A} - n p}{n p ( 1 - p )} \leq x} = Φ (x),

即二项分布近似于正态分布

n_{A} \tilde{˙} N (n p, n p (1 - p))

。

两者的关系：把二项计数写成示性变量之和

n_{A} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

，其中第

i

次试验中

A

发生时记

X_{i} = 1

，否则记

0

。于是

X_{i}

独立同分布，且

μ = p

，

σ^{2} = p (1 - p)

，代入列维–林德伯格定理即得棣莫弗–拉普拉斯定理。它是中心极限定理中出现最早（约 1730 年代）、考研中使用最多的特例。

使用时分三步：① 判定所给的量是二项计数，或是独立同分布随机变量之和；② 写出

E = n p, D = n p (1 - p)

（一般情形为

E = n μ, D = n σ^{2}

）；③ 标准化后查

Φ

的数值表：

P {n_{A} \leq b} \approx Φ (\frac{b - n p}{n p ( 1 - p )})

。

证明 / 推导

由列维–林德伯格定理导出棣莫弗–拉普拉斯定理（示性变量法）：设第

i

次试验中

A

发生时

X_{i} = 1

，否则

X_{i} = 0

，则诸

X_{i}

独立同分布，且

E (X_{i}) D (X_{i}) = p = E (X_{i}^{2}) - [E (X_{i})]^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)

条件

0 < p < 1

恰好保证

0 < p (1 - p) < + \infty

，因而列维–林德伯格定理的条件全部满足。又

n_{A} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

，代入

n μ = n p

与

n σ = n p (1 - p)

，即得结论。由此也可看出实际使用时的界限：当

p

过分接近

0

或

1

时，

σ^{2} = p (1 - p)

接近

0

，正态近似要有更大的

n

才可靠。经验上要求

n p

与

n (1 - p)

都不太小；如果

p

很小而

n p

适中，改用泊松近似更好。

■

举例说明

数三 1988·解答：某保险公司的统计资料表明，索赔户中被盗索赔户占

20%

。以

X

记随机抽查的

100

个索赔户中因被盗向公司索赔的户数。求：(1) 写出

X

的概率分布；(2) 用棣莫弗–拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于

14

户且不多于

30

户的概率的近似值。（

Φ (2.5) = 0.9938, Φ (1.5) = 0.9332

。）
解：(1) 各户是否被盗索赔相互独立，概率均为

0.2

，故

X \sim B (100, 0.2)

，

P {X = k} = C_{100}^{k} (0.2)^{k} (0.8)^{100 - k} (k = 0, 1, \dots, 100)

。这就是棣莫弗–拉普拉斯定理适用的典型情形。
(2) 先算参数：

n p = 100 \times 0.2 = 20

，

n p (1 - p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16

，标准差

16 = 4

。由棣莫弗–拉普拉斯定理知

\frac{X - 20}{4} \tilde{˙} N (0, 1)

，于是

P {14 \leq X \leq 30} = P {\frac{14 - 20}{4} \leq \frac{X - 20}{4} \leq \frac{30 - 20}{4}} \approx Φ (2.5) - Φ (- 1.5) .

再由

Φ (- 1.5) = 1 - Φ (1.5)

得

= 0.9938 - (1 - 0.9332) = 0.927

。易错之一：单个 0-1 变量的方差是

p (1 - p) = 0.16

，和的方差为

100 \times 0.16 = 16

，标准化时所除的是标准差

4

，而不是方差

16

；易错之二：

Φ (- 1.5) = 1 - Φ (1.5)

，查表前必须先把负值化为正值。

2. $n$ 标度是中心极限定理中最应注意的一点★ 要懂

中心极限定理中最应注意的，不是趋于正态这一结论，而是标准化时所用的标度 $n σ$ 。为什么要除以

n σ

呢？因为

n

个独立同分布随机变量之和

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}

的方差为

n σ^{2}

，其标准差就是

n σ

；而要把一个随机变量化为标准正态，必须除以它自身的标准差。

更进一步，这里还包含着一条

n

定律：和的期望按

n

线性增长，为

n μ

，而标准差只按

n

增长，为

n σ

。因此相对涨落

\frac{标准差}{期望} \sim \frac{n σ}{n μ} \to 0

，这就是大数定律，它说明均值趋于稳定；而绝对涨落

\overset{ˉ}{X} - μ

乘上

n

以后既不趋于零也不趋于无穷，恰好稳定为一个分布，这就是中心极限定理。只要记住和的标准差是

n σ

而不是

nσ

，本章的标准化就不会出错。

证明 / 推导

从标度看两条定理的分工。 设

E (X_{i}) = μ

，

D (X_{i}) = σ^{2}

，

\overset{ˉ}{X}_{n} = \frac{1}{n} \sum X_{i}

，则

E (\overset{ˉ}{X}_{n}) D (\overset{ˉ}{X}_{n}) = μ = \frac{σ ^{2}}{n} 标准差 = \frac{σ}{n} .

- 大数定律考察的是

\overset{ˉ}{X}_{n} - μ

。它的标准差

\frac{σ}{n} \to 0

，故

\overset{ˉ}{X}_{n} - μ P 0

，即收缩为常数

0

。
- 中心极限定理则把它放大 $n$ 倍，恰好抵消这一衰减：

n (\overset{ˉ}{X}_{n} - μ)

的标准差为

n \cdot \frac{σ}{n} = σ

，既不趋于

0

也不趋于

\infty

，于是

n (\overset{ˉ}{X}_{n} - μ) d N (0, σ^{2}) ⟺ \frac{X ˉ _{n} - μ}{σ / n} d N (0, 1) .

可见

n

是使涨落既不消失又不发散的唯一放大倍数。

■

3. 中心极限定理比切比雪夫不等式精确得多：同一问题中 $n$ 由 500 降到 97

把中心极限定理与切比雪夫不等式放在同一道题上比较，最能看出前者精确在何处。切比雪夫不等式只用到期望与方差，对一切分布都成立，代价是所给的界很宽松，因而要求的样本量偏大；中心极限定理则用上了和近似服从正态分布这一信息，所给的估计要精确得多，需要的样本量常常小一个数量级。下面以掷硬币需要多少次这一经典问题为例，把两种方法的结果并列出来：用切比雪夫不等式需

500

次，用中心极限定理只需

97

次。

举例说明

例。独立重复地掷均匀硬币，正面出现的频率记为

f_{n}

。要使

P {∣ f_{n} - 0.5∣ < 0.1} \geq 0.95

，用中心极限定理估计

n

至少应取多少？（

z_{0.025} = 1.96

。）

解。设正面出现的次数

S_{n} \sim B (n, 0.5)

，

f_{n} = \frac{S _{n}}{n}

，则

E (f_{n}) = 0.5

，

D (f_{n}) = \frac{0.25}{n}

，标准差为

\frac{0.5}{n}

。由棣莫弗–拉普拉斯定理知

f_{n} \tilde{˙} N (0.5, \frac{0.25}{n})

，标准化后得

P {∣ f_{n} - 0.5∣ < 0.1} = P {∣ Z ∣ < \frac{0.1}{0.5/ n}} = P {∣ Z ∣ < 0.2 n} = 2Φ (0.2 n) - 1.

令它

\geq 0.95

，则

Φ (0.2 n) \geq 0.975 \Rightarrow 0.2 n \geq 1.96 \Rightarrow n \geq 9.8 \Rightarrow n \geq 96.04

，故取

n = 97

。

与切比雪夫不等式对照：同一问题若用切比雪夫不等式，需有

\frac{0.25/ n}{0. 1 ^{2}} \leq 0.05

，即

n \geq 500

。中心极限定理所得的

97

比切比雪夫不等式所得的

500

少了五倍以上。二者的差别在于是否利用了分布的信息：切比雪夫不等式对任何分布都成立，因而结论保守；中心极限定理用了正态近似，因而结论精确。

■

4. 经典应用：供电、配额型可靠性问题

另一类常考的中心极限定理问题是配额与可靠性问题：需要配备多少资源，例如电力、库存、座位、赔付准备金等等，才能以给定的高概率保证不出问题。方法仍是标准化的三个步骤，重点在于把不超过负荷这一要求化为关于和 $S$ 的一个不等式，再由它反解出阈值。这类题目常给出可靠度

0.99

或

0.999

，相应地查得

z_{0.01} = 2.33

、

z_{0.001} = 3.09

。注意所求的是至少要配备多少，因此对阈值应向上取整。

举例说明

数三 2001·解答：某生产线的产品成箱包装，每箱重量是随机的，平均重

50

千克、标准差

5

千克。若用最大载重

5

吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能使不超载的概率大于

0.977

。（

Φ (2) = 0.977

。）
解：设装

n

箱，第

i

箱的重量

X_{i}

独立同分布，

E (X_{i}) = 50

、

D (X_{i}) = 25

。总重量

T = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

，则

E (T) = 50 n

、

D (T) = 25 n

，标准差为

5 n

。由列维–林德伯格中心极限定理得

\frac{T - 50 n}{5 n} \tilde{˙} N (0, 1)

。不超载即

T \leq 5000

，这里

5

吨

= 5000

千克，于是

P {T \leq 5000} \approx Φ (\frac{5000 - 50 n}{5 n}) = Φ (\frac{1000 - 10 n}{n}) > 0.977 = Φ (2) .

由

Φ

的单调性得

\frac{1000 - 10 n}{n} > 2

，解得

n < 98.02

，故每辆车最多可装 $98$ 箱。易错之一：

5

吨必须先换算成

5000

千克；易错之二：由

n < 98.02

求最大箱数时应向下取整，得

98

；这并不是把

98

四舍五入得来的，而是因为必须严格地

< 98.02

。

5. 使用的前提：方差必须有限，柯西分布就没有中心极限定理

中心极限定理并不是无条件成立的，它有两个前提：独立同分布与方差有限（

0 < σ^{2} < \infty

）。其中方差有限尤为重要，因为标准化时要除以

n σ

，若

σ = \infty

，这一步就无法进行。最著名的反例是柯西分布，它连期望都不存在，方差更无从谈起，因此对它既没有大数定律，也没有中心极限定理。

值得注意的是，柯西分布还有一种自我复制的性质：

n

个独立同分布的柯西随机变量，其样本均值 $\overset{ˉ}{X}$ 仍服从同一个柯西分布，并不比单个

X_{1}

更为集中。这与正态总体的样本均值

\overset{ˉ}{X}

的方差按

1/ n

缩小形成鲜明对照，直观地说明了没有有限的方差，就没有中心极限定理。

证明 / 推导

证 ① 先证柯西分布的期望确实不存在。其密度为

f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}

。按定义，

E (X)

存在的前提是

\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ x ∣ f (x) d x < + \infty

。计算这个积分，得

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{∣ x ∣}{π ( 1 + x ^{2} )} d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{π} [ln (1 + x^{2})]_{0}^{+ \infty} = + \infty,

故

E (X)

不存在。必须注意，不能因为

x f (x)

是奇函数就断定

E (X) = 0

。奇偶性只有在积分绝对收敛时才可以使用。这里

\int_{0}^{+ \infty} x f d x = + \infty

而

\int_{- \infty}^{0} x f d x = - \infty

，两者相加是

\infty - \infty

型，没有意义。期望既然不存在，方差就更无从谈起。
② 再说明条件中的

σ^{2} > 0

为什么也不能去掉。如果

σ^{2} = 0

，那么各

X_{i}

以概率

1

等于常数

μ

，于是

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n μ = 0

。标准化时分母

n σ = 0

，这个式子根本写不出来。所以条件要写成

0 < σ^{2} < + \infty

，两端都不能少。
③ 独立性同样不能去掉。取

X

服从均匀分布

U (0, 1)

，令

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

。这时各

X_{i}

同分布，方差

\frac{1}{12}

有限，但彼此完全相关而不独立。此时

\overset{ˉ}{X}_{n} = X

，标准化后为

\frac{X ˉ _{n} - μ}{σ / n} μ = \frac{n ( X - \frac{1}{2} )}{σ} = \frac{1}{2}, σ = \frac{1}{12} .

因

P {X = \frac{1}{2}} = 0

，故以概率

1

有

X - \frac{1}{2} \neq = 0

，从而上式的绝对值随

n

趋于无穷，不趋于任何分布。由此可见，独立同分布与方差有限这两条前提缺一不可。这就证明了中心极限定理是有条件的定理。

■

举例说明

例（反例：柯西分布的样本均值既不收敛也不趋于正态）。 设

X_{1}, \dots, X_{n}

独立且同服从标准柯西分布，其密度为

f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}

。利用特征函数

φ_{X} (t) = e^{- ∣ t ∣}

可以证明

φ_{\overset{ˉ}{X}} (t) = [φ_{X} (\frac{t}{n})]^{n} = (e^{- ∣ t ∣/ n})^{n} = e^{- ∣ t ∣} = φ_{X} (t),

即样本均值

\overset{ˉ}{X}

的特征函数与单个

X_{1}

的完全相同，故

\overset{ˉ}{X}

仍服从标准柯西分布。

结论：无论

n

取多大，

\overset{ˉ}{X}

都不向某个常数集中，即大数定律失效；标准化后也不趋于正态，即中心极限定理失效。其原因就在于柯西分布的期望与方差都不存在。这从反面说明了两条极限定理都依赖于矩的存在。

■

💡 小知识

1733 年，棣莫弗为了帮赌徒估算大量抛硬币的概率，第一次让钟形曲线从二项分布里浮现出来，这是正态分布的首次登场。两个世纪之后人们才明白，他遇上的并不是硬币的特例，而是世间一切独立微扰叠加时都逃不掉的普遍归宿。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 【数三1996·解答真题】设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，已知

E (X^{k}) = a_{k} (k = 1, 2, 3, 4)

。证明：当

n

充分大时，随机变量

Z_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

近似服从正态分布，并指出其分布参数。难度 2

令

Y_{i} = X_{i}^{2}

，则

Y_{1}, \dots, Y_{n}

独立同分布，对样本均值型

\frac{1}{n} \sum Y_{i}

用中心极限定理。

单项数字特征：

E (Y_{i}) = E (X_{i}^{2}) = a_{2}

，

D (Y_{i}) = E (X_{i}^{4}) - [E (X_{i}^{2})]^{2} = a_{4} - a_{2}^{2}

。于是

E (Z_{n}) = a_{2}, D (Z_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} i = 1 \sum n D (Y_{i}) = \frac{a _{4} - a _{2}^{2}}{n} .

由列维–林德伯格中心极限定理，

\frac{Z _{n} - a _{2}}{( a _{4} - a _{2}^{2} ) / n}

当

n \to \infty

近似服从

N (0, 1)

，故

Z_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2} \tilde{˙} N (a_{2}, \frac{a _{4} - a _{2}^{2}}{n}) .

坑：

D (X_{i}^{2}) = E (X^{4}) - [E (X^{2})]^{2} = a_{4} - a_{2}^{2}

，别错写成

a_{4} - a_{2}

；样本均值型的方差要除以

n

。

例 2 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}

相互独立且同分布，

E (X_{i}) = 10

，

D (X_{i}) = 4

。记

S = \sum_{i = 1}^{100} X_{i}

。用中心极限定理求

P {S \leq 1020}

的近似值。（已知

Φ (1) = 0.8413

。）难度 1

三步标准化法。第一步，算「和」的期望与方差（

n = 100

，

μ = 10

，

σ^{2} = 4

）：

E (S) = n μ = 100 \times 10 = 1000, D (S) = n σ^{2} = 100 \times 4 = 400, D (S) = 20.

第二步，由中心极限定理

S \tilde{˙} N (1000, 2 0^{2})

，标准化：

P {S \leq 1020} = P {\frac{S - 1000}{20} \leq \frac{1020 - 1000}{20}} = P {Z \leq 1} .

第三步，查表：

\approx Φ (1) = 0.8413

。

例 3 设

X_{1}, \dots, X_{100}

相互独立且同分布，

E (X_{i}) = 50

，

D (X_{i}) = 25

。记样本均值

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{100} \sum_{i = 1}^{100} X_{i}

。用中心极限定理求

P {49 \leq \overset{ˉ}{X} \leq 51}

的近似值。（已知

Φ (2) = 0.9772

。）难度 2

由中心极限定理，样本均值近似

\overset{ˉ}{X} \tilde{˙} N (μ, \frac{σ ^{2}}{n}) = N (50, \frac{25}{100}) = N (50, 0.25)

，其标准差为

\frac{σ}{n} = \frac{5}{10} = 0.5

。

标准化两端：

P {49 \leq \overset{ˉ}{X} \leq 51} = P {\frac{49 - 50}{0.5} \leq Z \leq \frac{51 - 50}{0.5}} = P {- 2 \leq Z \leq 2} .

利用对称性

Φ (- 2) = 1 - Φ (2)

：

P {- 2 \leq Z \leq 2} = Φ (2) - Φ (- 2) = 2Φ (2) - 1 = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544.

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2001 年 · 数三 · 第 19 题 · 解答题 · 8 分

一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重

50

千克，标准差为

5

千克。若用最大载重量为

5

吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于

0.977

。（

Φ (2) = 0.977

，其中

Φ (x)

是标准正态分布函数。）

1996 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 6 分

假设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，已知

E (X^{k}) = a_{k} (k = 1, 2, 3, 4)

，证明：当

n

充分大时，随机变量

Z_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

近似服从正态分布，并指出其分布参数。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

独立同分布，

E (X_{i}) = μ

，

D (X_{i}) = σ^{2}

。当

n

充分大时，由中心极限定理，

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}

的标准化变量（近似服从

N (0, 1)

）是（　）。

A $\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{nσ}$
B $\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{n σ}$
C $\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - μ}{n σ}$
D $\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{σ}$

练习 2 · 填空题

设

X_{1}, \dots, X_{100}

独立同分布，

E (X_{i}) = 20

，

D (X_{i}) = 9

。由中心极限定理，样本均值

\overset{ˉ}{X}

近似服从正态分布

N (a, b)

，则

b =

____。

练习 3 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{400}

独立同分布，

E (X_{i}) = 2

，

D (X_{i}) = 4

。用中心极限定理求

P {\sum_{i = 1}^{400} X_{i} > 840}

的近似值（已知

Φ (1) = 0.8413

）为（　）。

A $0.1587$
B $0.8413$
C $0.3174$
D $0.0228$

练习 4 · 填空题

设

X \sim B (100, 0.5)

。用中心极限定理求

P {X \leq 60}

的近似值为 ____。（已知

Φ (2) = 0.9772

。）

练习 5 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

独立同分布，

E (X_{i}) = μ

，

D (X_{i}) = σ^{2} > 0

。由中心极限定理，

P {μ - \frac{2 σ}{n} < \overset{ˉ}{X} < μ + \frac{2 σ}{n}}

的近似值为（　）。（已知

Φ (2) = 0.9772

。）

A $0.9772$
B $0.9544$
C $0.4772$
D $0.0456$

1988 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 6 分

某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占

20%

。以

X

表示在随机抽查的

100

个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。(1) 写出

X

的概率分布；(2) 利用棣莫弗—拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于

14

户且不多于

30

户的概率的近似值。

中心极限定理

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 棣莫弗–拉普拉斯定理：np(1−p)​nA​−np​ d​ N(0,1)，列维–林德伯格定理的二项特例★★ 必会

2. n​ 标度是中心极限定理中最应注意的一点★ 要懂

3. 中心极限定理比切比雪夫不等式精确得多：同一问题中 n 由 500 降到 97

4. 经典应用：供电、配额型可靠性问题

5. 使用的前提：方差必须有限，柯西分布就没有中心极限定理

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 棣莫弗–拉普拉斯定理： $\frac{n _{A} - n p}{n p ( 1 - p )} d N (0, 1)$ ，列维–林德伯格定理的二项特例★★ 必会

2. $n$ 标度是中心极限定理中最应注意的一点★ 要懂

3. 中心极限定理比切比雪夫不等式精确得多：同一问题中 $n$ 由 500 降到 97