中心极限定理

概率论与数理统计 · 大数定律与中心极限定理

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 独立同分布的中心极限定理

设

X_{1}, X_{2}, \dots

独立同分布，

E (X_{i}) = μ

、

D (X_{i}) = σ^{2} > 0

。
把和标准化：

Z_{n} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{n σ} .

则对任意实数

x

，

n \to \infty lim P {Z_{n} \leq x} = Φ (x),

其中

Φ

是标准正态分布函数。这叫列维–林德伯格定理。

惊人之处：不管

X_{i}

原来服从什么分布，
只要独立同分布且方差有限，和标准化之后一律趋于标准正态。

2. 棣莫弗–拉普拉斯：二项的正态近似

设

Y_{n} \sim B (n, p)

，则当

n

较大时

\frac{Y _{n} - n p}{n p ( 1 - p )} 近似服从 N (0, 1) .

这是上一条的特例：

Y_{n}

本来就是

n

个独立同分布的
两点分布之和，而两点分布的期望是

p

、方差是

p (1 - p)

。

用处：

n

很大时二项的那个组合数算不动，
用正态近似把它变成查一次表。

近似好不好用的经验判据：

n p

与

n (1 - p)

都不太小（通常要求都大于

5

）。

3. 怎么算：标准化之后查一次表

所有中心极限定理的计算题都是同一套动作：

① 认出被求和的 $X_{i}$ ，算出

μ = E (X_{i})

与

σ^{2} = D (X_{i})

。

② 写出所求事件，例如

{\sum X_{i} \leq a}

。

③ 两边同减 $n μ$ 、同除 $n σ$ ，把左边变成

Z_{n}

。

④ 用 $Φ$ 写出答案，必要时用对称性

Φ (- x) = 1 - Φ (x) .

区间概率就是两个

Φ

相减：

P {a < S \leq b} \approx Φ (\frac{b - n μ}{n σ}) - Φ (\frac{a - n μ}{n σ}) .

4. 和大数定律的分工

两条定理看同一个和，问的却是两件事。

大数定律：

\frac{S _{n}}{n} P μ

——
平均值稳定到一个常数，涨落被压没了。

中心极限定理：

\frac{S _{n} - n μ}{n σ}

近似标准正态——
把涨落放大 $n$ 倍再看，它有确定的形状。

差别就在除以谁：除以

n

看到的是极限位置，
除以

n

看到的是围绕这个位置的波动。

考试里的分工：问「收敛到什么」用大数定律；
问「某个概率约等于多少」用中心极限定理。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用中心极限定理算概率

第一步：认出被求和的

X_{i}

，算

μ

与

σ^{2}

。

第二步：算

E (S_{n}) = n μ

与

σ (S_{n}) = n σ

。

第三步：把事件两边同减期望、同除标准差，化成关于

Z

的事件。

第四步：用

Φ

写出答案，负分位点用

Φ (- x) = 1 - Φ (x)

翻过去。

例例.

X_{1}, \dots, X_{100}

独立同分布，

μ = 2

、

σ^{2} = 4

。求

P (\sum X_{i} > 220)

的近似值。

第一步，

μ = 2

、

σ = 2

、

n = 100

。

第二步，

E (S_{n}) = 100 \times 2 = 200

，

σ (S_{n}) = 100 \times 2 = 20

。

第三步，两边同减期望、同除标准差：

P (S_{n} > 220) = P (\frac{S _{n} - 200}{20} > 1) .

第四步，

\approx 1 - Φ (1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587.

注意

σ (S_{n}) = n σ

而不是

nσ

——方差才是

n

倍，标准差是

n

倍。这是这一类题最常见的错。

二项的正态近似

第一步：确认

Y \sim B (n, p)

且

n p

、

n (1 - p)

都不太小。

第二步：算

n p

与标准差

n p (1 - p)

。

第三步：标准化后查

Φ

表。

第四步：

p

很小而

n p

适中时改用泊松近似，不要硬套正态。

例例.

Y \sim B (100, 0.5)

求

P (Y \leq 60)

的近似值；

Y^{'} \sim B (1000, 0.002)

该怎么办？

第一步，

n p = 50

、

n (1 - p) = 50

，都不太小 ✓ 可以用正态近似。

第二步，

n p = 50

，标准差

n p (1 - p) = 5

。

第三步，

P (Y \leq 60) \approx Φ (\frac{60 - 50}{5}) = Φ (2) \approx 0.9772.

第四步，

Y^{'}

的

p = 0.002

很小而

n p = 2

适中

\Rightarrow

改用泊松近似（

λ = 2

），不要硬套正态。

那里

n (1 - p)

虽大，但

n p

太小，正态的对称形状和实际那个严重偏斜的分布对不上。

问「 $n$ 要多大」

第一步：把要求写成

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ < ε} \geq 1 - α

。

第二步：标准化，左边化成

2Φ (\frac{ε n}{σ}) - 1

。

第三步：反查表得到分位点，列出关于

n

的不等式。

第四步：解出

n

并取整（向上取）。

例例. 设

σ = 2

，要使

P (\overset{ˉ}{X} - μ < 0.5) \geq 0.95

，

n

至少多大？

第一步，要求即

α = 0.05

。

第二步，标准化，左边化成

2Φ (\frac{0.5 n}{2}) - 1.

第三步，令它

\geq 0.95

，得

Φ (\frac{0.5 n}{2}) \geq 0.975

，反查表得

\frac{0.5 n}{2} \geq 1.96

。

第四步，解出

n \geq 7.84

，

n \geq 61.5

，向上取整得

n = 62

。

和切比雪夫比一比：同样的要求，切比雪夫给出

n \geq 320

。中心极限定理多用了「和近似正态」这个信息，所以界紧得多。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

标准化时除以方差而不是标准差

分母必须是标准差

n σ

，不是方差

n σ^{2}

。

二项那里同理：分母是

n p (1 - p)

。

自检：标准化之后的量应当是无量纲的。

「大于」忘了用 $1 - Φ$

Φ

给的是左侧概率。

P {Z > x} = 1 - Φ (x)

，漏掉这一步答案正好反过来。

对称区间是

2Φ (x) - 1

，也别写成

Φ (x)

。

$n$ 很小就用正态近似

中心极限定理是极限定理，

n

小时近似很差。

二项那里的经验判据是

n p

与

n (1 - p)

都大于

5

。

$p$ 极小时该用泊松，不是正态。

把中心极限定理的结论说成「 $X_{i}$ 服从正态」

近似服从正态的是和（或样本均值），不是单个

X_{i}

。

X_{i}

的分布可以是任何有有限方差的分布。

说清主语：谁近似正态，这是概念题的得分点。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认结论

练 1

独立同分布、

E (X_{i}) = μ

、

D (X_{i}) = σ^{2}

时，

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}

近似服从正态分布，其期望为 ________。

练 2

标准化

\sum X_{i}

时，分母应当是（）。

A $n σ^{2}$
B $n σ$
C $nσ$
D $σ$

练 3

Φ (- 1.5)

用

Φ (1.5)

表示为 ________。

练 4

棣莫弗–拉普拉斯定理说的是（）的正态近似。

A泊松分布
B均匀分布
C指数分布
D二项分布

第二组 · 算一算

练 5

X_{i}

独立同分布，

μ = 2

、

σ^{2} = 1

、

n = 100

。则

P {\sum X_{i} > 220} \approx

________（用

Φ

表示）。

练 6

Y \sim B (100, 0.1)

，用正态近似时标准化的分母为 ________。

练 7

\overset{ˉ}{X}

近似服从的正态分布是（）。

A $N (μ, σ^{2})$
B $N (n μ, n σ^{2})$
C $N (0, 1)$
D $N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})$

练 8

独立同分布、

μ = 0

、

σ^{2} = 1

、

n = 100

，则

P {∣ \overset{ˉ}{X} ∣ < 0.1} \approx

________（用

Φ

表示）。

第三组 · 分得清

练 9

问「

\overset{ˉ}{X}

依概率收敛到什么」，应当用（）。

A中心极限定理
B大数定律
C切比雪夫不等式的下界形式
D正态近似

练 10

中心极限定理的结论是（）近似服从正态分布。

A每个 $X_{i}$
B $X_{i}$ 的方差
C标准化后的和
D $X_{i}$ 的分布函数

练 11

n = 1000

、

p = 0.003

的二项分布，求

P {Y = 2}

宜用（）。

A正态近似
B切比雪夫不等式
C大数定律
D泊松近似， $λ = 3$

练 12

要使

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ < 0.1} \geq 0.95

（

σ = 1

），由中心极限定理需

n \geq

________（用分位点

u_{0.025}

表示）。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

中心极限定理

先打基础

1. 独立同分布的中心极限定理

2. 棣莫弗–拉普拉斯：二项的正态近似

3. 怎么算：标准化之后查一次表

4. 和大数定律的分工

常用结构

用中心极限定理算概率

二项的正态近似

问「n 要多大」

基础易错

标准化时除以方差而不是标准差

「大于」忘了用 1−Φ

n 很小就用正态近似

把中心极限定理的结论说成「Xi​ 服从正态」

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

问「 $n$ 要多大」

「大于」忘了用 $1 - Φ$

$n$ 很小就用正态近似

把中心极限定理的结论说成「 $X_{i}$ 服从正态」