中心极限定理

§19.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.26 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

0.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）常见连续分布（均匀、指数、正态）数学期望方差

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 棣莫弗–拉普拉斯定理： $\frac{n _{A} - n p}{n p ( 1 - p )} d N (0, 1)$ ，列维–林德伯格定理的二项特例★★ 必会

先说依分布收敛：称

Z_{n}

依分布收敛于

Z

，记作

Z_{n} d Z

，如果在

Z

的分布函数

F

的每个连续点

x

处都有

n \to \infty lim F_{Z_{n}} (x) = F (x)

。这里收敛的对象是分布函数，也就是分布的形状，而不是随机变量的取值本身。中心极限定理中所说的趋于正态，都是在这个意义之下（

Φ

处处连续，故对一切

x

都成立）。

列维–林德伯格定理（独立同分布中心极限定理）：设

X_{1}, X_{2}, \dots

独立同分布，

E (X_{i}) = μ

，

D (X_{i}) = σ^{2}

，且

0 < σ^{2} < + \infty

，则对任意实数

x

，

n \to \infty lim P {\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{n σ} \leq x} = Φ (x),

即

i = 1 \sum n X_{i} \tilde{˙} N (n μ, n σ^{2})

（近似）。

棣莫弗–拉普拉斯定理（正式陈述）：设

n_{A} \sim B (n, p)

，

0 < p < 1

，则对任意实数

x

，

n \to \infty lim P {\frac{n _{A} - n p}{n p ( 1 - p )} \leq x} = Φ (x),

即二项分布近似正态

n_{A} \tilde{˙} N (n p, n p (1 - p))

。

两者的关系：把二项计数写成示性变量之和

n_{A} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

（第

i

次

A

发生记

X_{i} = 1

、否则记

0

），则

X_{i}

独立同分布，且

μ = p

、

σ^{2} = p (1 - p)

，代入列维–林德伯格定理即得棣莫弗–拉普拉斯定理。它是中心极限定理中出现最早（约在 1730 年代）、考研中使用最多的特例。

使用时分三步：① 辨认出二项计数，或独立同分布随机变量之和；② 写出

E = n p, D = n p (1 - p)

（一般情形为

E = n μ, D = n σ^{2}

）；③ 标准化后查

Φ

的表：

P {n_{A} \leq b} \approx Φ (\frac{b - n p}{n p ( 1 - p )})

。

证明 / 推导

证 由列维–林德伯格定理导出棣莫弗–拉普拉斯定理（示性变量法）。 设第

i

次试验中

A

发生则

X_{i} = 1

，否则

X_{i} = 0

，则各

X_{i}

独立同分布，且

E (X_{i}) D (X_{i}) = p = E (X_{i}^{2}) - [E (X_{i})]^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)

条件

0 < p < 1

恰好保证

0 < p (1 - p) < + \infty

，因而列维–林德伯格定理的条件全部满足。又

n_{A} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

，代入

n μ = n p

、

n σ = n p (1 - p)

，即得结论。由此也可以看出这一近似的适用范围：当

p

过于接近

0

或

1

时，

σ^{2} = p (1 - p)

接近

0

，正态近似需要更大的

n

才可靠（通常要求

n p

与

n (1 - p)

都不太小；如果

p

很小而

n p

适中，则改用泊松近似更好）。

■

举例说明

2020·数一第 8 题（选择 4 分）：

X_{1}, \dots, X_{100}

为来自总体

X

的简单随机样本，

P {X = 0} = P {X = 1} = \frac{1}{2}

，

Φ (x)

为标准正态分布函数，则由中心极限定理可得

P {i = 1 \sum 100 X_{i} \leq 55}

的近似值为（　　）

(A)

1 - Φ (1)

.　(B)

Φ (1)

.　(C)

1 - Φ (0.2)

.　(D)

Φ (0.2)

.

解. 各

X_{i}

是相互独立的 0-1 变量，

i = 1 \sum 100 X_{i} \sim B (100, \frac{1}{2})

，这恰是棣莫弗–拉普拉斯定理适用的情形。
① 参数：

n p = 100 \times \frac{1}{2} = 50

，

n p (1 - p) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25

，标准差

25 = 5

；
② 标准化：

P {i = 1 \sum 100 X_{i} \leq 55} = P {\frac{\sum _{i = 1}^{100} X _{i} - 50}{5} \leq \frac{55 - 50}{5}} \approx Φ (1),

故应选 B。注意一：单个变量的方差

D (X) = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

，而不是

\frac{1}{2}

，因此和的方差为

100 \times \frac{1}{4} = 25

；注意二：标准化时除的是标准差

5

。如果误除以方差

25

，就得到

\frac{55 - 50}{25} = 0.2

，恰好落入干扰项

Φ (0.2)

。

2. $n$ 这一标度是中心极限定理的要点

在中心极限定理中，最值得注意的不是趋于正态这一结论，而是标准化时所用的标度 $n σ$ 。为什么要除以

n σ

呢？因为

n

个独立同分布的随机变量之和

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}

的方差为

n σ^{2}

，标准差就是

n σ

；要把一个随机变量化为标准正态，就必须除以它自身的标准差。

再进一步看，这里包含着一条关于

n

的规律：和的期望按

n

线性增长，为

n μ

；而标准差只按

n

增长，为

n σ

。因此相对涨落

\frac{标准差}{期望} \sim \frac{n σ}{n μ} \to 0

，这就是大数定律，即均值趋于稳定；而绝对涨落

\overset{ˉ}{X} - μ

乘上

n

之后既不趋于零也不发散，恰好稳定为一个分布，这就是中心极限定理。只要注意和的标准差是

n σ

而不是

nσ

，本章中的标准化就不会出错。

证明 / 推导

证 从标度看两条定理的分工。 设

E (X_{i}) = μ

，

D (X_{i}) = σ^{2}

，

\overset{ˉ}{X}_{n} = \frac{1}{n} \sum X_{i}

。则

E (\overset{ˉ}{X}_{n}) D (\overset{ˉ}{X}_{n}) = μ = \frac{σ ^{2}}{n} 标准差 = \frac{σ}{n} .

- 大数定律考察的是

\overset{ˉ}{X}_{n} - μ

。它的标准差

\frac{σ}{n} \to 0

，因此

\overset{ˉ}{X}_{n} - μ P 0

，即收缩为常数

0

。
- 中心极限定理把它放大 $n$ 倍，恰好抵消这一衰减：

n (\overset{ˉ}{X}_{n} - μ)

的标准差为

n \cdot \frac{σ}{n} = σ

，它既不趋于

0

也不趋于

\infty

，于是

n (\overset{ˉ}{X}_{n} - μ) d N (0, σ^{2}) ⟺ \frac{X ˉ _{n} - μ}{σ / n} d N (0, 1) .

可见

n

是使涨落既不消失也不发散的唯一放大倍数。

■

3. 中心极限定理比切比雪夫不等式精细得多：同一问题中 $n$ 由 500 降到 97

把中心极限定理与切比雪夫不等式用在同一道题上作比较，最能看出前者精细在何处。切比雪夫不等式只用到期望与方差，对一切分布都成立，代价是界很粗，所需的样本量偏大；中心极限定理用到了和近似服从正态分布这一信息，所给的估计精细得多，需要的样本量往往小一个数量级。下面用掷硬币需要多少次这道经典题，把两种方法的结果并列出来：用切比雪夫不等式需要

500

次，用中心极限定理只需

97

次。

举例说明

例。独立重复掷均匀硬币，正面频率记为

f_{n}

。要使

P {∣ f_{n} - 0.5∣ < 0.1} \geq 0.95

，用中心极限定理估计

n

至少取多少？（

z_{0.025} = 1.96

。）

解. 设正面出现的次数为

S_{n} \sim B (n, 0.5)

，

f_{n} = \frac{S _{n}}{n}

，则

E (f_{n}) = 0.5

，

D (f_{n}) = \frac{0.25}{n}

，标准差

\frac{0.5}{n}

。由棣莫弗–拉普拉斯定理

f_{n} \tilde{˙} N (0.5, \frac{0.25}{n})

，标准化后得

P {∣ f_{n} - 0.5∣ < 0.1} = P {∣ Z ∣ < \frac{0.1}{0.5/ n}} = P {∣ Z ∣ < 0.2 n} = 2Φ (0.2 n) - 1.

令它

\geq 0.95

，即

Φ (0.2 n) \geq 0.975 \Rightarrow 0.2 n \geq 1.96 \Rightarrow n \geq 9.8 \Rightarrow n \geq 96.04

，故取

n = 97

。

与切比雪夫不等式比较：同一问题若用切比雪夫不等式，需要

\frac{0.25/ n}{0. 1 ^{2}} \leq 0.05

，即

n \geq 500

。中心极限定理所需的

97

次比切比雪夫不等式所需的

500

次少了五倍以上，差别就在于是否用到了分布的信息：切比雪夫不等式给出的是对一切分布都成立的保证，中心极限定理换取的则是精度。

■

4. 常见应用：供电与配额一类的可靠性问题★ 要懂

另一类常见的中心极限定理问题是配额与可靠性问题：需要配备多少资源（电力、库存、座位、赔付准备金等），才能以给定的高概率保证不出问题。做法仍是标准化的三个步骤，但要点在于把不超负荷这一要求化为关于和 $S$ 的一个不等式，再由它解出阈值。这类题目常给出可靠度

0.99

或

0.999

，相应地查

z_{0.01} = 2.33

、

z_{0.001} = 3.09

。还须注意，所求的是至少配备多少，因此对阈值应当向上取整。

举例说明

例。某车间有

200

台车床独立工作，每台开工的概率为

0.6

，开工时耗电

1

单位。问至少要供应多少单位电力，才能以不低于

0.999

的概率保证不超负荷？（

Φ (3.09) = 0.999

。）

解. 设同时开工的台数为

S \sim B (200, 0.6)

。则

E (S) D (S) D (S) = 200 \times 0.6 = 120 = 200 \times 0.6 \times 0.4 = 48 = 48 \approx 6.93.

设供电量为

N

个单位，则不超负荷就是

S \leq N

。由中心极限定理

S \tilde{˙} N (120, 48)

，

P {S \leq N} \approx Φ (\frac{N - 120}{6.93}) \geq 0.999 \Rightarrow \frac{N - 120}{6.93} \geq 3.09 \Rightarrow N \geq 120 + 3.09 \times 6.93 \approx 141.4.

向上取整，得

N = 142

个单位。也就是说，配置

142

个单位的电力，就能以

99.9%

以上的把握保证不超负荷。

■

5. 必须注意前提：方差要有限，柯西分布就没有中心极限定理★ 要懂

中心极限定理并不是无条件地断言一切都趋于正态，它有两条必不可少的前提：独立同分布与方差有限（

0 < σ^{2} < \infty

）。其中方差有限尤为重要，因为标准化时要除以

n σ

，当

σ = \infty

时这一步根本无法进行。最著名的反例是柯西分布：它连期望都不存在，更谈不上方差，因此既没有大数定律，也没有中心极限定理。

值得注意的是，柯西分布还有一个自我复制的性质：

n

个独立同分布的柯西随机变量的样本均值 $\overset{ˉ}{X}$ 仍服从同一个柯西分布，并不比单个

X_{1}

更为集中。这与正态总体下

\overset{ˉ}{X}

的方差按

1/ n

缩小形成鲜明对照，直观地说明了：没有有限的方差，就没有中心极限定理。

证明 / 推导

证 ① 先证柯西分布的期望确实不存在。其密度为

f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}

。按定义，

E (X)

存在的前提是

\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ x ∣ f (x) d x < + \infty

。计算这个积分，得

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{∣ x ∣}{π ( 1 + x ^{2} )} d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{π} [ln (1 + x^{2})]_{0}^{+ \infty} = + \infty,

故

E (X)

不存在。必须注意，不能因为

x f (x)

是奇函数就断定

E (X) = 0

。奇偶性只有在积分绝对收敛时才可以使用。这里

\int_{0}^{+ \infty} x f d x = + \infty

而

\int_{- \infty}^{0} x f d x = - \infty

，两者相加是

\infty - \infty

型，没有意义。期望既然不存在，方差就更无从谈起。
② 再说明条件中的

σ^{2} > 0

为什么也不能去掉。如果

σ^{2} = 0

，那么各

X_{i}

以概率

1

等于常数

μ

，于是

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n μ = 0

。标准化时分母

n σ = 0

，这个式子根本写不出来。所以条件要写成

0 < σ^{2} < + \infty

，两端都不能少。
③ 独立性同样不能去掉。取

X

服从均匀分布

U (0, 1)

，令

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

。这时各

X_{i}

同分布，方差

\frac{1}{12}

有限，但彼此完全相关而不独立。此时

\overset{ˉ}{X}_{n} = X

，标准化后为

\frac{X ˉ _{n} - μ}{σ / n} μ = \frac{n ( X - \frac{1}{2} )}{σ} = \frac{1}{2}, σ = \frac{1}{12} .

因

P {X = \frac{1}{2}} = 0

，故以概率

1

有

X - \frac{1}{2} \neq = 0

，从而上式的绝对值随

n

趋于无穷，不趋于任何分布。由此可见，独立同分布与方差有限这两条前提缺一不可。这就证明了中心极限定理是有条件的定理。

■

举例说明

例（反例：柯西分布的样本均值既不收敛，也不趋于正态）。 设

X_{1}, \dots, X_{n}

独立同标准柯西分布，密度

f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}

。利用特征函数

φ_{X} (t) = e^{- ∣ t ∣}

可以证明

φ_{\overset{ˉ}{X}} (t) = [φ_{X} (\frac{t}{n})]^{n} = (e^{- ∣ t ∣/ n})^{n} = e^{- ∣ t ∣} = φ_{X} (t),

即样本均值

\overset{ˉ}{X}

的特征函数与单个

X_{1}

的特征函数完全相同，因此

\overset{ˉ}{X}

仍服从标准柯西分布。

结论：无论

n

多大，

\overset{ˉ}{X}

既不向某个常数集中，即大数定律失效；标准化后也不趋于正态，即中心极限定理失效。其原因就在于柯西分布的期望与方差都不存在。这从反面说明了两条极限定理对矩的存在性的依赖。

■

💡 小知识

1733 年，棣莫弗为帮赌徒估算大量抛硬币的概率，第一次从二项分布里推出了钟形曲线，正态分布就这样登场了。又过了两个世纪，人们才明白他遇到的并不是硬币的特例：只要有大量独立的微小扰动叠加在一起，结果几乎都会向这条曲线靠拢。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}

相互独立且同分布，

E (X_{i}) = 10

，

D (X_{i}) = 4

。记

S = \sum_{i = 1}^{100} X_{i}

。用中心极限定理求

P {S \leq 1020}

的近似值。（已知

Φ (1) = 0.8413

。）难度 1

三步标准化法。第一步，算「和」的期望与方差（

n = 100

，

μ = 10

，

σ^{2} = 4

）：

E (S) = n μ = 100 \times 10 = 1000, D (S) = n σ^{2} = 100 \times 4 = 400, D (S) = 20.

第二步，由中心极限定理

S \tilde{˙} N (1000, 2 0^{2})

，标准化：

P {S \leq 1020} = P {\frac{S - 1000}{20} \leq \frac{1020 - 1000}{20}} = P {Z \leq 1} .

第三步，查表：

\approx Φ (1) = 0.8413

。

例 2 设

X_{1}, \dots, X_{100}

相互独立且同分布，

E (X_{i}) = 50

，

D (X_{i}) = 25

。记样本均值

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{100} \sum_{i = 1}^{100} X_{i}

。用中心极限定理求

P {49 \leq \overset{ˉ}{X} \leq 51}

的近似值。（已知

Φ (2) = 0.9772

。）难度 2

由中心极限定理，样本均值近似

\overset{ˉ}{X} \tilde{˙} N (μ, \frac{σ ^{2}}{n}) = N (50, \frac{25}{100}) = N (50, 0.25)

，其标准差为

\frac{σ}{n} = \frac{5}{10} = 0.5

。

标准化两端：

P {49 \leq \overset{ˉ}{X} \leq 51} = P {\frac{49 - 50}{0.5} \leq Z \leq \frac{51 - 50}{0.5}} = P {- 2 \leq Z \leq 2} .

利用对称性

Φ (- 2) = 1 - Φ (2)

：

P {- 2 \leq Z \leq 2} = Φ (2) - Φ (- 2) = 2Φ (2) - 1 = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544.

例 3 某批产品的次品率为

0.2

，从中独立地抽取

100

件，记次品数为

X

。用中心极限定理（棣莫弗–拉普拉斯定理）求

P {X \leq 28}

的近似值。（已知

Φ (2) = 0.9772

。）难度 2

次品数

X \sim B (n, p)

，

n = 100

，

p = 0.2

。先算期望与方差：

E (X) = n p = 100 \times 0.2 = 20, D (X) = n p (1 - p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16, D (X) = 4.

由棣莫弗–拉普拉斯定理，

X \tilde{˙} N (20, 16)

，标准化：

P {X \leq 28} = P {\frac{X - 20}{4} \leq \frac{28 - 20}{4}} = P {Z \leq 2} \approx Φ (2) = 0.9772.

（此处

n p = 20

、

n (1 - p) = 80

都较大，正态近似适用。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2020 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}

为来自总体

X

的简单随机样本，其中

P {X = 0} = P {X = 1} = \frac{1}{2}

。

Φ (x)

表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得

P {i = 1 \sum 100 X_{i} \leq 55}

的近似值为（　　）

A $1 - Φ (1)$ .
B $Φ (1)$ .
C $1 - Φ (0.2)$ .
D $Φ (0.2)$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

独立同分布，

E (X_{i}) = μ

，

D (X_{i}) = σ^{2}

。当

n

充分大时，由中心极限定理，

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}

的标准化变量（近似服从

N (0, 1)

）是（　）。

A $\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{nσ}$
B $\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{n σ}$
C $\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - μ}{n σ}$
D $\frac{\sum _{i = 1}^{n} X _{i} - n μ}{σ}$

练习 2 · 填空题

设

X_{1}, \dots, X_{100}

独立同分布，

E (X_{i}) = 20

，

D (X_{i}) = 9

。由中心极限定理，样本均值

\overset{ˉ}{X}

近似服从正态分布

N (a, b)

，则

b =

____。

练习 3 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{400}

独立同分布，

E (X_{i}) = 2

，

D (X_{i}) = 4

。用中心极限定理求

P {\sum_{i = 1}^{400} X_{i} > 840}

的近似值（已知

Φ (1) = 0.8413

）为（　）。

A $0.1587$
B $0.8413$
C $0.3174$
D $0.0228$

练习 4 · 填空题

设

X \sim B (100, 0.5)

。用中心极限定理求

P {X \leq 60}

的近似值为 ____。（已知

Φ (2) = 0.9772

。）

练习 5 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

独立同分布，

E (X_{i}) = μ

，

D (X_{i}) = σ^{2} > 0

。由中心极限定理，

P {μ - \frac{2 σ}{n} < \overset{ˉ}{X} < μ + \frac{2 σ}{n}}

的近似值为（　）。（已知

Φ (2) = 0.9772

。）

A $0.9772$
B $0.9544$
C $0.4772$
D $0.0456$

中心极限定理

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 棣莫弗–拉普拉斯定理：np(1−p)​nA​−np​ d​ N(0,1)，列维–林德伯格定理的二项特例★★ 必会

2. n​ 这一标度是中心极限定理的要点

3. 中心极限定理比切比雪夫不等式精细得多：同一问题中 n 由 500 降到 97

4. 常见应用：供电与配额一类的可靠性问题★ 要懂

5. 必须注意前提：方差要有限，柯西分布就没有中心极限定理★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 棣莫弗–拉普拉斯定理： $\frac{n _{A} - n p}{n p ( 1 - p )} d N (0, 1)$ ，列维–林德伯格定理的二项特例★★ 必会

2. $n$ 这一标度是中心极限定理的要点

3. 中心极限定理比切比雪夫不等式精细得多：同一问题中 $n$ 由 500 降到 97