数学期望

§18.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.86 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

7.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度③ 掌握后可解锁方差协方差与相关系数矩与协方差矩阵切比雪夫不等式大数定律中心极限定理总体、样本与统计量矩估计估计量的评价标准（无偏、有效、一致）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 期望的定义：离散型 $E (X) = \sum_{k} x_{k} p_{k}$ 、连续型 $E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x$ （绝对收敛时才存在），以及期望的线性性★★ 必会

定义（分布的加权平均，即重心）：
① 离散型：

X

取值

x_{k}

的概率为

p_{k}

，若级数绝对收敛（

\sum_{k} ∣ x_{k} ∣ p_{k} < \infty

），则定义

E (X) = k \sum x_{k} p_{k};

② 连续型：

X

的密度为

f (x)

，若

\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ x ∣ f (x) d x < \infty

，则定义

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x;

③ 如果绝对收敛不成立，那么称期望不存在，典型的例子是柯西分布。从直观上看，把概率看作质量，

E (X)

就是分布的质心所在的位置。

线性性（最常用的性质，完全不需要独立性）：

E (a X + bY) E (a X + b) E (c) = a E (X) + b E (Y) = a E (X) + b = c

它还可以推广到任意有限个的情形：

E (\sum_{i} a_{i} X_{i}) = \sum_{i} a_{i} E (X_{i})

，而与

X_{i}

是否独立、是否同分布毫无关系。用示性变量分解求期望等方法，所依据的就是这一点。

乘积只有在独立时才能拆开：当

X, Y

相互独立时

E (X Y) = E (X) E (Y)

，反过来则不成立；如果二者不独立，那么乘积的期望必须回到联合分布去计算。

常用分布的期望（应当熟记）：

0 - 1 (p) : p

；

B (n, p) : n p

；

P (λ) : λ

；

U (a, b) : \frac{a + b}{2}

；

E (λ) : \frac{1}{λ}

；

N (μ, σ^{2}) : μ

。

证明 / 推导

为什么必须绝对收敛：由黎曼重排定理，条件收敛的级数经过重排可以收敛到任意指定的值；而

X

的取值按什么次序枚举，不应当影响平均值，因此必须用

\sum_{k} ∣ x_{k} ∣ p_{k} < \infty

来保证求和与次序无关。连续型同理要求

\int ∣ x ∣ f d x < \infty

。

线性性的推导（以二维离散型为例）：设

(X, Y)

的联合分布律为

p_{ij}

，则

E (a X + bY) = i \sum j \sum (a x_{i} + b y_{j}) p_{ij} = a i \sum x_{i} = p_{i \cdot} j \sum p_{ij} + b j \sum y_{j} = p_{\cdot j} i \sum p_{ij} = a E (X) + b E (Y) .

推导中只用到对一个指标求和即得边缘分布这一事实，并没有用到独立性。

■

举例说明

2017·数一填空：设

X

的分布函数

F (x) = 0.5 Φ (x) + 0.5 Φ (\frac{x - 4}{2})

（

Φ

为标准正态分布函数），求

E (X)

。
解：求导得密度

f (x) = 0.5 φ (x) + 0.25 φ (\frac{x - 4}{2})

，可见它是以概率

0.5

取自

N (0, 1)

、以概率

0.5

取自

N (4, 4)

的混合分布。按定义并利用积分的线性性拆开，得

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x = 0.5 N (0, 1) 的期望 = 0 \int x φ (x) d x + 0.5 N (4, 4) 的期望 = 4 \int x \cdot \frac{1}{2} φ (\frac{x - 4}{2}) d x = 0.5 \times 0 + 0.5 \times 4 = 2.

易错之处：

Φ (\frac{x - 4}{2})

对应的是

N (4, 4)

，此时

σ = 2

，不要误看成

N (4, 2)

；所幸求期望时只用到

μ = 4

。答案为

E (X) = 2

。

2. 无意识统计学家公式（LOTUS）为什么成立：不必先求 $g (X)$ 的分布★★ 必会

这个公式是说

E (g (X)) = \sum_{k} g (x_{k}) p_{k}

，连续型时为

\int g (x) f (x) d x

，也就是用

g

直接对原分布加权，而不必先求出

Y = g (X)

的分布。它为什么成立呢？因为按定义，

E (Y) = \sum_{j} y_{j} P (Y = y_{j})

是按 $Y$ 的取值分组求和，而上式是按 $X$ 的取值分组求和；二者只是把同一批乘积

g (x_{k}) p_{k}

按不同的方式归类相加，所得结果自然相等。明白了这一层，就不会再怀疑能否直接用

g

去加权了。

证明 / 推导

证只证离散情形。设

Y = g (X)

，

Y

的可能取值为

{y_{j}}

。对每个

y_{j}

，它的概率是一切映到它的

x_{k}

的概率之和：

P (Y = y_{j}) = k : g (x_{k}) = y_{j} \sum p_{k} .

于是

E (Y) = j \sum y_{j} P (Y = y_{j}) = j \sum y_{j} k : g (x_{k}) = y_{j} \sum p_{k} = j \sum k : g (x_{k}) = y_{j} \sum g (x_{k}) p_{k},

最后一步用到在内层求和中

g (x_{k}) = y_{j}

。各组

{k : g (x_{k}) = y_{j}}

合并起来恰好遍历所有的

k

，故

E (Y) = k \sum g (x_{k}) p_{k} .

这就证明了上述公式，它把重新求

Y

的分布这一步完全省去了。

3. 尾和公式 $E (X) = \int_{0}^{\infty} P (X > x) d x$ ：不用密度也能求期望

对非负的随机变量，期望等于生存函数的积分或求和。连续型时

E (X) = \int_{0}^{\infty} P (X > x) d x = \int_{0}^{\infty} [1 - F (x)] d x,

取非负整数值的离散型时

E (X) = k = 1 \sum \infty P (X \geq k)

。它把

x

乘密度再积分换成了直接累加尾概率，因此在只知道分布函数或尾概率时，以及在

X = max (\dots)

这一类不易求密度的场合，用起来特别方便。

证明 / 推导

证先看连续型的非负情形，用交换积分次序的方法。把

P (X > x)

写成积分，其积分区域为

0 \leq x \leq t

，则

\int_{0}^{\infty} P (X > x) d x = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f (t) d t d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{t} d x) f (t) d t = \int_{0}^{\infty} t f (t) d t = E (X) .

离散情形同样交换求和次序，得

k = 1 \sum \infty P (X \geq k) = k = 1 \sum \infty n \geq k \sum P (X = n) = n = 1 \sum \infty k = 1 \sum n P (X = n) = n = 1 \sum \infty n P (X = n) = E (X) .

举例说明

设

X

服从几何分布，取值为

1, 2, \dots

，成功率为

p

。由前

k - 1

次全部失败得

P (X \geq k) = (1 - p)^{k - 1}

。由尾和公式，

E (X) = k = 1 \sum \infty (1 - p)^{k - 1} = \frac{1}{1 - ( 1 - p )} = \frac{1}{p},

一步即得，比按定义计算

\sum_{k} k (1 - p)^{k - 1} p

要简便得多，后者还需对级数求导。凡是求最小等待时间或最大值的期望，用尾和公式往往最为简便。

4. Jensen 不等式：凸函数情形下 $E (g (X)) \geq g (E (X))$ ，非线性函数不能移入期望之内★ 要懂

常见的错误是把期望移进非线性函数之内。正确的不等号方向由 Jensen 不等式给出：如果

g

为凸函数，那么

E (g (X)) \geq g (E (X))

；如果

g

为凹函数，那么不等号反向。等号一般要求

g

在相应范围内是线性的，或者

X

退化为常数。它统一解释了

E (X^{2}) \geq [E (X)]^{2}

，其差即为方差；

E (1/ X) \geq 1/ E (X)

，此处

X > 0

；

E (ln X) \leq ln E (X)

等一系列结论。只需注意凸函数取大于号、凹函数取小于号即可，不必逐条强记。

证明 / 推导

证设

g

为凸函数且可导，记

μ = E (X)

。凸函数的图形恒在它的任意一条切线之上，即对一切

x

，有

g (x) \geq g (μ) + g^{'} (μ) (x - μ) (切线支撑性质) .

两边取期望，注意不等式在取期望之后仍然保持，得

E (g (X)) \geq g (μ) + g^{'} (μ) E (X - μ) = g (μ) + g^{'} (μ) \cdot 0 = g (μ) = g (E (X)) .

对凹函数只需把不等号整体反向。这就证明了所述的结论。

举例说明

取

g (x) = x^{2}

，它是凸函数，于是得

E (X^{2}) \geq [E (X)]^{2}

，而两者之差

E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = D (X) \geq 0

恰好表明方差非负。由此可见，方差就是 Jensen 不等式在这里的产物。再取

g (x) = \frac{1}{x} (x > 0)

，它也是凸函数，于是得

E (\frac{1}{X}) \geq \frac{1}{E ( X )}

。若干个阻值随机的正电阻并联时，倒数的平均值不小于平均值的倒数，起作用的就是这个不等式。

5. 利用对称性求期望：密度关于 $a$ 对称则 $E (X) = a$ ，不必积分，但须先验证期望存在★★ 必会

如果

X

的密度关于

x = a

对称，即

f (a + t) = f (a - t)

，且期望存在，那么

E (X) = a

，根本不必积分。从直观上看，把概率质量看成一根对称的杆，它的质心必在对称轴上。由对称性

\Rightarrow

期望等于对称中心，这一方法对正态分布、均匀分布以及各种人为构造的对称密度，都能迅速求出期望。但必须注意，它的前提是期望存在；有些分布虽然对称而积分发散，例如柯西型分布，它没有期望，不能套用此法。

证明 / 推导

证设

f (a + t) = f (a - t)

，且

\int ∣ x ∣ f (x) d x < \infty

。考察

E (X - a)

，作换元

t = x - a

，得

E (X - a) = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - a) f (x) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} t f (a + t) d t .

被积函数中

t

是奇函数，

f (a + t)

关于

t

是偶函数，二者之积为奇函数，故它在对称区间

(- \infty, + \infty)

上的积分为

0

；绝对可积保证了这一步的合法性。于是

E (X - a) = 0

，即

E (X) = a

。

举例说明

(1) 设

X

的密度为

f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x - 3∣}

，这是拉普拉斯分布的密度，它关于

3

对称且绝对可积，故立即得

E (X) = 3

，不必积分。
(2) 反例：

f (x) = \frac{1}{π [ 1 + ( x - 3 ) ^{2} ]}

虽然也关于

3

对称，但

\int ∣ x ∣ f d x = \infty

，期望不存在，因而不能写

E (X) = 3

。结论：由对称性得出

E (X) = a

的前提是期望先已存在，存在性必须首先验证。

💡 小知识

圣彼得堡悖论由尼古拉·伯努利在 1713 年提出：一个不断翻倍的赌局，数学期望算出来是无穷大，可没有人愿意为它出高价。期望无穷而身价有限，这个矛盾逼出了效用的概念。1738 年丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院发表论文，正是用效用给出了解答，悖论也因此得名，后世的决策论与经济学都以此为起点。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P - 1 0.3 0 0.5 2 0.2

求：（1）

E (X)

；（2）

E (2 X + 1)

。难度 1

（1） 按定义

E (X) = \sum_{k} x_{k} p_{k}

，即「取值

\times

概率」再求和：

E (X) = (- 1) (0.3) + 0 \cdot (0.5) + 2 \cdot (0.2) = - 0.3 + 0 + 0.4 = 0.1.

（2） 用期望的线性性

E (a X + b) = a E (X) + b

：

E (2 X + 1) = 2 E (X) + 1 = 2 \times 0.1 + 1 = 1.2.

小结：离散期望是「以概率为权重的加权平均」；线性变换直接套

E (a X + b) = a E (X) + b

，无需重新求分布。

例 2 设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2 x, 0, 0 < x < 1, 其他 .

求

E (X)

。难度 1

连续型期望

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

，只在密度非零区间

(0, 1)

上积分：

E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2 x d x = \int_{0}^{1} 2 x^{2} d x = [\frac{2}{3} x^{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} .

小结：务必把积分限取成密度的支撑

(0, 1)

，不要写成整个实轴。

例 3 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P - 1 0.2 0 0.5 1 0.3

用无意识统计学家公式（LOTUS）求

E (X^{2})

，并比较它与

[E (X)]^{2}

。难度 2

LOTUS：求 $E (g (X))$ 不必先求 $g (X)$ 的分布，直接用 $g$ 与原分布加权。 这里

g (x) = x^{2}

：

E (X^{2}) = (- 1)^{2} (0.2) + 0^{2} (0.5) + 1^{2} (0.3) = 0.2 + 0 + 0.3 = 0.5.

另一方面

E (X) = (- 1) (0.2) + 0 + 1 (0.3) = 0.1

，故

[E (X)]^{2} = 0.01

。
可见

E (X^{2}) = 0.5 \neq = [E (X)]^{2} = 0.01,

二者之差

0.5 - 0.01 = 0.49

恰为方差

D (X)

。小结：一般

E (g (X)) \neq = g (E (X))

；LOTUS 让我们绕开

X^{2}

的分布直接计算。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim N (1, 2)

，令

f (t) = E [(X + t)^{2}]

，则

f (t)

的最小值点和最小值分别为（　　）

A $1, 2$
B $1, 4$
C $- 1, 2$
D $- 1, 4$

2026 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x)

，随机变量

Y

的分布函数为

F (a y + b)

，

X

的数学期望为

μ

、方差为

σ^{2}

（

σ > 0

）。若

Y

的期望和方差分别为

0

和

1

，则（　　）

A $a = σ, b = μ$
B $a = σ, b = - μ$
C $a = \frac{1}{σ}, b = μ$
D $a = \frac{1}{σ}, b = - μ$

2026 年 · 数一 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设随机变量

X

服从参数为

1

的泊松分布，随机变量

Y

服从参数为

3

的泊松分布，

X

与

Y - X

相互独立，则

E (X Y) =

___.

2025 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额

Y

与投保人的损失额

X

的关系为

Y = {0, X - 100, X \leq 100, X > 100.

设损失事件发生时，投保人的损失额

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}}, 0, x > 0, x \leq 0.

（Ⅰ）求

P {Y > 0}

及

E (Y)

；
（Ⅱ）这种损失事件在一年内发生的次数记为

N

，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为

M

。假设

N

服从参数为

8

的泊松分布，在

N = n (n \geq 1)

的条件下，

M

服从二项分布

B (n, p)

，其中

p = P {Y > 0}

，求

M

的概率分布.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X

的分布律为

P (X = 1) = 0.2, P (X = 2) = 0.3, P (X = 3) = 0.5

，则

E (X) =

（　）。

A $2$
B $2.3$
C $2.5$
D $3$

练习 2 · 填空题

设

X

的概率密度为

f (x) = 2 x (0 < x < 1)

，其余为

0

，则

E (X) =

____。

练习 3 · 选择题

已知

E (X) = 3

，则

E (2 X - 1) =

（　）。

A $3$
B $5$
C $6$
D $7$

练习 4 · 填空题

设

X \sim U (0, 1)

（

[0, 1]

上的均匀分布），则

E (X^{2}) =

____。

练习 5 · 填空题

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} (- \infty < x < + \infty)

，则

E (X^{2}) =

____。

练习 6 · 填空题

设随机变量

X

服从参数

λ = 1

的指数分布，则

E (min {X, 2}) =

____。

练习 7 · 解答题

设

X, Y

相互独立，且都服从区间

[0, 1]

上的均匀分布。记

M = max {X, Y}, N = min {X, Y} .

（1）分别求

M

与

N

的概率密度；
（2）求

E (M)

与

E (N)

，并用一个恒等式检验结果。

2023 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X

服从参数为

1

的泊松分布，则

E [∣ X - E (X) ∣] =

（　　）

A $\frac{1}{e}$ .
B $\frac{1}{2}$ .
C $\frac{2}{e}$ .
D $1$ .

2021 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

在区间

(0, 2)

上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为

X

，较长一段的长度记为

Y

，令

Z = \frac{Y}{X}

.

（Ⅰ）求

X

的概率密度；

（Ⅱ）求

Z

的概率密度；

（Ⅲ）求

E (\frac{X}{Y})

数学期望

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 期望的定义：离散型 E(X)=∑k​xk​pk​、连续型 E(X)=∫−∞+∞​xf(x)dx（绝对收敛时才存在），以及期望的线性性★★ 必会

2. 无意识统计学家公式（LOTUS）为什么成立：不必先求 g(X) 的分布★★ 必会

3. 尾和公式 E(X)=∫0∞​P(X>x)dx：不用密度也能求期望

4. Jensen 不等式：凸函数情形下 E(g(X))≥g(E(X))，非线性函数不能移入期望之内★ 要懂

5. 利用对称性求期望：密度关于 a 对称则 E(X)=a，不必积分，但须先验证期望存在★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 期望的定义：离散型 $E (X) = \sum_{k} x_{k} p_{k}$ 、连续型 $E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x$ （绝对收敛时才存在），以及期望的线性性★★ 必会

2. 无意识统计学家公式（LOTUS）为什么成立：不必先求 $g (X)$ 的分布★★ 必会

3. 尾和公式 $E (X) = \int_{0}^{\infty} P (X > x) d x$ ：不用密度也能求期望

4. Jensen 不等式：凸函数情形下 $E (g (X)) \geq g (E (X))$ ，非线性函数不能移入期望之内★ 要懂

5. 利用对称性求期望：密度关于 $a$ 对称则 $E (X) = a$ ，不必积分，但须先验证期望存在★★ 必会