离散型随机变量及其分布律

① 定义：若随机变量 $X$ 的一切可能取值为有限个或可列无穷个 $x_1,x_2,\dots$，称 $X$ 为离散型随机变量；称
$$\begin{array}{rl}P(X& =x_k)=p_k\\ k& =1,2,\dots \end{array}$$
为 $X$ 的分布律（概率分布），它常写成两行的表格：上行为取值 $x_k$，下行为相应的概率 $p_k$。

② 充要条件（判定分布律与确定参数的依据）：数列 $\{p_k\}$ 能作为某个离散型随机变量的分布律 $⟺$
$$\begin{array}{rl}& \text{(i)}{p}_k\ge 0;\\ & \text{(ii)}\sum _k{p}_k=1(\text{归一性}).\end{array}$$
如果分布律中含有未知常数，那么用归一性 (ii) 把它解出（所需的级数求和方法见后面归一性中常用的级数一条）。

③ 由分布律可求一切概率：任一事件的概率，就是把落在其中的各个取值的概率相加：
$$P(X\in D)=\sum _{x_k\in D}{p}_k,$$
特别地，分布函数 $F(x)=P(X\le x)=\sum _{x_k\le x}{p}_k$ 是右连续的阶梯函数，它在每个 $x_k$ 处向上跳跃 $p_k$，在两个取值点之间保持水平（两者互化的细节见后面分布律与阶梯分布函数的相互转化一条）。

④ 与其他类型的比较：随机变量分为三类，离散型的概率集中在一些点上，连续型的概率则由密度函数分布在区间上（任一单点的概率为 $0$），此外还有混合型。判别的办法是看 $F$ 的形态：它是纯阶梯函数 $⟺$ 该随机变量是离散型的。

用 ${\sum }_k{p}_k=1$ 确定参数时，成败取决于能否求出那个级数的和。下列三个级数必须熟记：

① 等比级数 $\sum _{k=0}^{\infty }{q}^k=\frac{1}{1-q}(|q|<1)$；
② 指数级数 $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}={\mathrm{e}}^{\lambda }$；
③ 由错位相减或逐项求导得 $\sum _{k=1}^{\infty }k{q}^{k-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$，从而 $\sum _{k=1}^{\infty }k{q}^k=\frac{q}{(1-q{)}^2}$。

因此，先辨认分布律属于哪一类级数，是解这类题的第一步。

离散型随机变量的分布函数 $F(x)={\sum }_{x_k\le x}{p}_k$ 是右连续的阶梯函数，它在每个 $x_k$ 处跳跃 $p_k$，其间保持水平。反过来，给定一个阶梯函数 $F$，则每个跳跃点处的跳跃高度就是该点的概率，即 $p_k=F(x_k)-F(x_k-0)$，而没有跳跃的点处概率为 $0$。由此可见二者一一对应。必须注意：$F$ 在取值点处取的是上一台阶的值（因为右连续），所以求 $P(X=x_k)$ 时要用该点的函数值减去它的左极限。

三个常用的离散分布之所以确是概率分布，是因为它们的概率之和恰为 $1$，而这一点来自高等数学中的级数恒等式。明白了这一点，就不必死记：

- 二项：$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}=(p+q{)}^n=1^n=1$（二项式定理）；
- 泊松：$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\mathrm{e}}^{\lambda }=1$（指数级数）；
- 几何：$\sum _{k=1}^{\infty }{q}^{k-1}p=p\cdot \frac{1}{1-q}=\frac{p}{p}=1$（等比级数，$q=1-p$）。

这样看来，概率论中的分布与高等数学中的级数是相通的；由此也说明了参数范围的来由（例如 $|q|<1$ 保证几何级数收敛）。

求离散型随机变量的函数 $Y=g(X)$ 的分布律，方法是：把每个 $x_k$ 代入 $g$，得 $y=g(x_k)$，再把落到同一个 $y$ 上的那些 $x_k$ 的概率相加。如果 $g$ 单调，那么取值一一对应，概率直接照搬；如果 $g$ 不单调（例如 $X^2,|X|,(X-c{)}^2$），那么会有几个不同的 $x_k$ 对应同一个 $y$，此时必须把概率合并。这一步最容易遗漏。