随机变量函数的分布

§16.6 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.02 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

3.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）连续型随机变量及其概率密度离散型随机变量及其分布律③ 掌握后可解锁二维随机变量函数的分布

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 公式法的来历与递减情形：为什么要 $∣ h^{'} (y) ∣$ ★★ 必会

连续型随机变量作单调变换时所用的公式

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣

不必强记，它可由分布函数法一步推出，其中的绝对值正来自对递增与递减两种情形的统一处理。掌握了推导，就不会在

g

递减时丢掉负号，也不会忘记限定

Y

的取值范围。

证明 / 推导

证设

y = g (x)

严格单调且可导，其反函数为

x = h (y)

。

递增时，

F_{Y} (y) = P (g (X) \leq y) = P (X \leq h (y)) = F_{X} (h (y))

，求导得

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) h^{'} (y)

；又

h^{'} > 0

，故

= f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣

。

递减时，不等式

g (X) \leq y

反号成为

X \geq h (y)

，于是

F_{Y} (y) = P (X \geq h (y)) = 1 - F_{X} (h (y))

，求导得

f_{Y} (y) = - f_{X} (h (y)) h^{'} (y)

；此时

h^{'} < 0

，因而

- h^{'} = ∣ h^{'} ∣ > 0

，故仍有

= f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣

。

这就把两种情形合并成了一个带绝对值的公式。

举例说明

设

X \sim U (0, 1)

，求

Y = - ln X

的密度，这就是由均匀分布产生指数分布的方法。

函数

g (x) = - ln x

在

(0, 1)

上严格递减，其值域为

y \in (0, \infty)

，反函数为

x = h (y) = e^{- y}

，于是

h^{'} (y) = - e^{- y}

，

∣ h^{'} (y) ∣ = e^{- y}

。又

f_{X} (h (y)) = 1

，这是因为

e^{- y} \in (0, 1)

。故

f_{Y} (y) = 1 \cdot e^{- y} = e^{- y} (y > 0),

即

Y \sim E (1)

。如果丢掉绝对值，就会得到负的密度。由此可见，递减情形下取

∣ h^{'} ∣

是必要的。

2. 非单调变换：分布函数法与多分支一般公式★★ 必会

如果

g

不是单调函数，那么上述公式失效，必须回到分布函数法。如果

g

在若干段上分别单调，那么可以推出多分支公式：设方程

g (x) = y

在

X

的取值范围内有反函数分支

x = h_{1} (y), \dots, h_{m} (y)

，则

f_{Y} (y) = i = 1 \sum m f_{X} (h_{i} (y)) h_{i}^{'} (y),

也就是对每个单调分支各算一份，再把它们相加。

Y = X^{2}, Y = ∣ X ∣

都是两个分支的典型例子。

证明 / 推导

证设

X

的密度为

f_{X}

，求

Y = X^{2}

的密度。当

y > 0

时，

{X^{2} \leq y} = {- y \leq X \leq y}

，故

F_{Y} (y) = F_{X} (y) - F_{X} (- y) .

对

y

求导（

\frac{d}{d y} y = \frac{1}{2 y}

）：

f_{Y} (y) = f_{X} (y) \cdot \frac{1}{2 y} + f_{X} (- y) \cdot \frac{1}{2 y} = \frac{1}{2 y} [f_{X} (y) + f_{X} (- y)] (y > 0),

当

y \leq 0

时其值为

0

。这就是取两个分支

h_{1, 2} (y) = \pm y

、

∣ h_{1, 2}^{'} (y) ∣ = \frac{1}{2 y}

时的多分支公式。

举例说明

作为特例，设

X \sim N (0, 1)

。此时

f_{X} (\pm y) = \frac{1}{2 π} e^{- y /2}

，代入得

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 y} \cdot \frac{2}{2 π} e^{- y /2} = \frac{1}{2 π y} e^{- y /2} (y > 0),

即自由度为

1

的卡方分布

χ^{2} (1)

。由此可见，多分支公式为

Y = X^{2}

这一类非单调变换提供了统一的算法。

3. 概率积分变换与逆变换采样★★ 必会

下面是一个简洁而实用的结论。设连续型随机变量

X

的分布函数

F

连续且严格单调增加，则

Y = F (X) \sim U (0, 1)

；反过来，取

U \sim U (0, 1)

，并令

X = F^{- 1} (U)

，则

X

的分布函数恰为

F

。前者称为概率积分变换，后者是计算机作逆变换抽样的原理：计算机只能生成均匀随机数，靠这一步函数变换就能产生出各种分布。

证明 / 推导

证设

F

连续且严格单调增加，其值域为

(0, 1)

。对

y \in (0, 1)

，有

P (Y \leq y) = P (F (X) \leq y) = P (X \leq F^{- 1} (y)) = F (F^{- 1} (y)) = y,

其中第二个等号用到

F

严格单调增加因而可以反解。上式右端恰是

U (0, 1)

的分布函数，故

Y \sim U (0, 1)

。

再证逆命题。令

X = F^{- 1} (U)

，则

P (X \leq x) = P (F^{- 1} (U) \leq x) = P (U \leq F (x)) = F (x),

故

X

的分布函数为

F

。这就证明了所述的两个结论。

举例说明

试生成服从

E (λ)

的随机数。指数分布的分布函数为

F (x) = 1 - e^{- λ x} (x \geq 0)

，由

u = 1 - e^{- λ x} \Rightarrow x = - \frac{1}{λ} ln (1 - u)

反解出所需的表达式。故取

U \sim U (0, 1)

，令

X = - \frac{1}{λ} ln (1 - U) (或等价地 - \frac{1}{λ} ln U, 因 1 - U 也服从 U (0, 1)),

则

X \sim E (λ)

。这就是随机数程序库所依据的公式。

4. 截断 / 取最值会产生混合型分布★ 要懂

变换

Y = g (X)

未必保持连续型。如果

g

把

X

的一整段取值压缩到一个点，例如

max (X, 0)

把所有负值都压成

0

、

min (X, c)

把超出的部分都截为

c

，那么

Y

就在该点具有正概率的原子，从而成为混合型分布，即既有跳跃又有连续段。这类问题不能只用密度来描述，而要用分布函数统一处理：先分出原子点，再计算连续段。

举例说明

设

X \sim N (0, 1)

，求

Y = max (X, 0)

的分布，其中负值一律记为

0

。

-

y < 0

：

F_{Y} (y) = 0

；
-

y = 0

处有原子：

P (Y = 0) = P (X \leq 0) = Φ (0) = \frac{1}{2}

；
-

y > 0

：

F_{Y} (y) = P (max (X, 0) \leq y) = P (X \leq y) = Φ (y)

。

故

F_{Y} (y) = {0, Φ (y), y < 0 y \geq 0,

它在

y = 0

处由

0

跳到

Φ (0) = \frac{1}{2}

，即含有原子

P (Y = 0) = \frac{1}{2}

；而在

y > 0

处连续，密度为

φ (y)

。这是典型的混合型分布。如果只写密度，必然出错，必须用

F

把

\frac{1}{2}

的原子与右半段的连续部分一并表达出来。

💡 小知识

取

U \sim U (0, 1)

，令

X = F^{- 1} (U)

，那么

X

就服从分布

F

。这条由随机变量函数的分布推出来的结论称为逆变换采样，几乎所有编程语言的随机数库都建立在它之上：计算机只会生成均匀随机数，其余各式各样的分布，全靠这一步函数变换得到。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P - 1 0.1 0 0.2 1 0.3 2 0.4

求

Y = X^{2}

的分布律。难度 1

离散型口诀：值搬家、同值合并概率。

把每个

x

代入

y = x^{2}

：

(- 1)^{2} = 1

，

0^{2} = 0

，

1^{2} = 1

，

2^{2} = 4

。故

Y

取

0, 1, 4

。
合并取值相同者：

P (Y = 0) = P (X = 0) = 0.2,

P (Y = 1) = P (X = - 1) + P (X = 1) = 0.1 + 0.3 = 0.4,

P (Y = 4) = P (X = 2) = 0.4.

分布律：

Y P 0 0.2 1 0.4 4 0.4

（概率之和

0.2 + 0.4 + 0.4 = 1

，验证无误。）

例 2 设

X \sim U (0, 1)

，密度

f_{X} (x) = 1 (0 < x < 1)

。求

Y = 2 X + 1

的概率密度。难度 1

线性变换 $Y = a X + b$ 用公式 $f_{Y} (y) = \frac{1}{∣ a ∣} f_{X} (\frac{y - b}{a})$ 。

这里

a = 2, b = 1

。当

0 < x < 1

时

y = 2 x + 1

落在

(1, 3)

，故

Y

的取值范围是

(1, 3)

。

f_{Y} (y) = \frac{1}{∣2∣} f_{X} (\frac{y - 1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}, 1 < y < 3,

其他处为

0

。即

Y \sim U (1, 3)

。

例 3 设

X \sim U (0, 1)

，密度

f_{X} (x) = 1 (0 < x < 1)

。求

Y = e^{X}

的概率密度。难度 2

用分布函数法（也可用单调公式法），先写 $F_{Y}$ 再求导。

因

0 < X < 1

，故

Y = e^{X}

取值于

(e^{0}, e^{1}) = (1, e)

。
对

1 < y < e

，由

e^{X} \leq y ⟺ X \leq ln y

：

F_{Y} (y) = P (e^{X} \leq y) = P (X \leq ln y) = F_{X} (ln y) = ln y

（因

0 < ln y < 1

，而

U (0, 1)

的

F_{X} (t) = t

）。求导：

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) = \frac{1}{y}, 1 < y < e,

其他处为

0

。
（验证：

\int_{1}^{e} \frac{1}{y} d y = ln e - ln 1 = 1

。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x)

，随机变量

Y

的分布函数为

F (a y + b)

，

X

的数学期望为

μ

、方差为

σ^{2}

（

σ > 0

）。若

Y

的期望和方差分别为

0

和

1

，则（　　）

A $a = σ, b = μ$
B $a = σ, b = - μ$
C $a = \frac{1}{σ}, b = μ$
D $a = \frac{1}{σ}, b = - μ$

2025 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额

Y

与投保人的损失额

X

的关系为

Y = {0, X - 100, X \leq 100, X > 100.

设损失事件发生时，投保人的损失额

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}}, 0, x > 0, x \leq 0.

（Ⅰ）求

P {Y > 0}

及

E (Y)

；
（Ⅱ）这种损失事件在一年内发生的次数记为

N

，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为

M

。假设

N

服从参数为

8

的泊松分布，在

N = n (n \geq 1)

的条件下，

M

服从二项分布

B (n, p)

，其中

p = P {Y > 0}

，求

M

的概率分布.

2024 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

设总体

X

服从

[0, θ]

上的均匀分布，其中

θ \in (0, + \infty)

为未知参数。

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，记

X_{(n)} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

，

T_{c} = c X_{(n)}

。

（Ⅰ）求

c

，使得

T_{c}

是

θ

的无偏估计；

（Ⅱ）记

h (c) = E [(T_{c} - θ)^{2}]

，求

c

使得

h (c)

最小。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X

的分布律为

X P - 1 0.3 0 0.3 1 0.4

，令

Y = X^{2}

，则

P (Y = 1) =

（　）。

A $0.7$
B $0.4$
C $0.3$
D $1$

练习 2 · 填空题

设

X \sim U (0, 1)

，

Y = 3 X

，则

Y

的概率密度在

0 < y < 3

上的值

f_{Y} (y) =

____。

练习 3 · 选择题

设

X \sim N (0, 1)

，令

Y = 2 X + 1

，则

Y

服从（　）。

A $N (1, 4)$
B $N (0, 1)$
C $N (1, 2)$
D $N (2, 1)$

练习 4 · 填空题

设

X \sim U (0, 2)

，密度

f_{X} (x) = \frac{1}{2} (0 < x < 2)

，令

Y = X^{2}

，则

Y

的概率密度在

0 < y < 4

上为

f_{Y} (y) =

____。

练习 5 · 选择题

设

X

的分布律为

X P 1 1/3 2 1/3 3 1/3

，令

Y = 2 X - 1

，则

P (Y = 3) =

（　）。

A $\frac{1}{3}$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{2}{3}$
D $\frac{1}{6}$

练习 6 · 选择题

设连续型随机变量

X

的分布函数

F (x)

在

R

上连续且严格单调增加，令

Y = F (X)

，则

Y

服从（　）。

A区间 $(0, 1)$ 上的均匀分布
B与 $X$ 相同的分布
C标准正态分布 $N (0, 1)$
D参数为 $1$ 的指数分布

练习 7 · 填空题

设

X \sim U (0, 1)

，令

Y = - 2 ln X

，则

Y

的概率密度在

y > 0

上为

f_{Y} (y) =

____。

练习 8 · 解答题

设随机变量

X \sim U (- 1, 3)

，令

Y = X^{2}

。
（1）求

Y

的分布函数

F_{Y} (y)

；
（2）求

Y

的概率密度

f_{Y} (y)

；
（3）求

E (Y)

，并用

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

检验。

2021 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

在区间

(0, 2)

上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为

X

，较长一段的长度记为

Y

，令

Z = \frac{Y}{X}

.

（Ⅰ）求

X

的概率密度；

（Ⅱ）求

Z

的概率密度；

（Ⅲ）求

E (\frac{X}{Y})

2013 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{9} x^{2}, 0, 0 < x < 3, 其他 .

令随机变量

Y = ⎩ ⎨ ⎧ 2, X, 1, X \leq 1, 1 < X < 2, X \geq 2.

（Ⅰ）求

Y

的分布函数；

（Ⅱ）求概率

P {X \leq Y}

。

2006 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 9 分

设随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0, - 1 < x < 0, 0 \leq x < 2, 其他 .

令

Y = X^{2}

，

F (x, y)

为二维随机变量

(X, Y)

的分布函数，求：

（Ⅰ）

Y

的概率密度

f_{Y} (y)

；

（Ⅱ）

F (- \frac{1}{2}, 4)

。

随机变量函数的分布

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 公式法的来历与递减情形：为什么要 ∣h′(y)∣★★ 必会

2. 非单调变换：分布函数法与多分支一般公式★★ 必会

3. 概率积分变换与逆变换采样★★ 必会

4. 截断 / 取最值会产生混合型分布★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 公式法的来历与递减情形：为什么要 $∣ h^{'} (y) ∣$ ★★ 必会