连续型随机变量及其概率密度

§16.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.71 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

7.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）随机变量与分布函数③ 掌握后可解锁常见连续分布（均匀、指数、正态）随机变量函数的分布二维随机变量与联合分布数学期望

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 连续型随机变量与概率密度的定义： $F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$ ★★ 必会

① 定义：若随机变量

X

的分布函数能写成

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t (- \infty < x < + \infty)

的形式，其中

f (x) \geq 0

，则称

X

为连续型随机变量，

f

为其概率密度（函数）。在

f

的连续点处

F^{'} (x) = f (x)

（变上限积分求导）。

② 充要条件（判定与定参数的依据）：函数

f

可以作为某个随机变量的概率密度

⟺

(i) f (x) \geq 0; (ii) \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1 (归一性) .

如果密度中含有未知常数，那么由条件 (ii) 即可解出，具体做法参看归一化定常数一条。

③ 概率的计算与单点概率为零：

P (a P (X < X \leq b) = F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f (x) d x = a) = 0.

由于单点概率为零，因此对连续型随机变量，区间概率与端点的开闭无关，

P (a < X < b) = P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f

；并且

F

处处连续。必须注意：虽然

P (X = a) = 0

，但事件

{X = a}

并不是不可能事件，即概率为零

\neq =

不可能发生。

④ 密度的正确理解：

f (a)

不是

P (X = a)

（后者恒为

0

），而是概率在该点的线密度：

P (a < X \leq a + Δ x) \approx f (a) Δ x (Δ x 很小) .

由此可见，概率就是密度曲线下的面积。因此

f

的值可以大于

1

，只要曲线下的总面积为

1

即可，例如

U (0, \frac{1}{2})

的密度恒为

2

。

证明 / 推导

证先证

P (X = a) = 0

。对任意

h > 0

，有

{X = a} \subset {a - h < X \leq a}

，故由概率的单调性得

0 \leq P (X = a) \leq F (a) - F (a - h) = \int_{a - h}^{a} f (t) d t h \to 0^{+} 0,

这里用到可积函数在长度趋于零的区间上的积分趋于

0

。于是

P (X = a) = 0

。由此又得

F (a - 0) = F (a)

，即

F

处处连续；各种开区间与闭区间的概率只相差若干个单点的概率，因而全部相等。这就证明了所要的结论。

■

举例说明

2010·数一选择：设

f_{1} (x)

为标准正态密度，

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上均匀分布的密度，若

f (x) = {a f_{1} (x), b f_{2} (x), x \leq 0, x > 0 (a > 0, b > 0)

为概率密度，则

a, b

应满足（　）(A)

2 a + 3 b = 4

；(B)

3 a + 2 b = 4

；(C)

a + b = 1

；(D)

a + b = 2

。
解：条件

f \geq 0

已由

a, b > 0

保证，因此只需再用归一性，即充要条件 (ii)：

1 = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = a \int_{- \infty}^{0} f_{1} (x) d x + b \int_{0}^{+ \infty} f_{2} (x) d x = a \cdot \frac{1}{2} + b \int_{0}^{3} \frac{1}{4} d x = \frac{a}{2} + \frac{3 b}{4},

整理得

2 a + 3 b = 4

，故选 A。这里有两点值得注意：标准正态密度是偶函数，因此

\int_{- \infty}^{0} f_{1} = \frac{1}{2}

；均匀密度

f_{2} = \frac{1}{4} (- 1 \leq x \leq 3)

在

(0, + \infty)

内只在

(0, 3]

上非零，其贡献为

\frac{3}{4}

。易错之处：如果按权重相加的直觉选 (C)

a + b = 1

，那就错了；因为两段各自只截取了原密度的一部分，必须逐段积分才能得到正确的关系式。

2. 密度不唯一：改动零测点不改变分布

连续型随机变量的密度

f

不是唯一的。如果只在有限个点处（更一般地，在一个零测集上）改动

f

的值，那么积分

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f

完全不变，因而对应同一个分布。这也说明了为什么

f (x) = F^{'} (x)

只要求在

f

的连续点处成立，而在分段衔接点处

f

取什么值都无关紧要。与此相反，

F

是唯一的，它由分布完全决定。明白了这一点，就不必再纠结分段密度的端点应取开区间还是闭区间、衔接点处

f

究竟应等于多少。

证明 / 推导

证设

f, g

只在有限点集

D

上不同，在其余各点处处相等。对任意

x

，有

\int_{- \infty}^{x} f - \int_{- \infty}^{x} g = \int_{- \infty}^{x} (f - g),

而

f - g

只在有限个点处非零，几乎处处为

0

，因此它的积分为

0

。于是二者给出相同的

F

，从而给出相同的分布以及相同的一切概率。

举例说明

均匀分布

U (0, 1)

的密度既可以写成

f (x) = 1 (0 \leq x \leq 1)

，也可以写成

f (x) = 1 (0 < x < 1)

，端点处取

0

或取

1

都可以。无论端点如何取值，

F (x) = x (0 \leq x \leq 1)

以及所有区间的概率都完全相同。由此可见，密度确实可以在零测集上任意改动。

3. 归一化定常数：分段密度只在非零段上积分★★ 必会

如果密度中含有未知常数，那么由

\int_{- \infty}^{+ \infty} f = 1

就可以把它解出，而且只需在

f \neq = 0

的区间上积分。如果含有两个待定常数，那么往往还要补充一个条件，例如某个已知概率、分段衔接处的连续性或对称性。这就是连续型场合下由归一性确定参数的方法，它与离散型的

\sum p_{k} = 1

完全平行，是这类问题的第一步。

举例说明

设

f (x) = {A (1 - x^{2}), 0, - 1 < x < 1 其他

，求

A

及

P (∣ X ∣ < \frac{1}{2})

。

由归一性，且只需在

(- 1, 1)

上积分，得

\int_{- 1}^{1} A (1 - x^{2}) d x = A [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = A \cdot \frac{4}{3} = 1 \Rightarrow A = \frac{3}{4} .

再计算所求的概率：

P (∣ X ∣ < \frac{1}{2}) = \int_{- 1/2}^{1/2} \frac{3}{4} (1 - x^{2}) d x = \frac{3}{4} [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1/2}^{1/2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{11}{12} = \frac{11}{16} .

4. $F$ 与 $f$ 互求时的注意事项：分段写全，分布函数连续但未必可导★★ 必会

由

f

求

F = \int_{- \infty}^{x} f

时，必须按 $x$ 所在的位置分段写全：靠近

- \infty

的一段上取值为

0

，在非零段上作变上限积分，超出之后取值为

1

；并且要检验

F

在各衔接点处连续，因为连续型随机变量的

F

必定处处连续，不出现跳跃。反过来由

F

求

f = F^{'}

时，衔接点处

F

可能有折点而不可导，但这并不影响

f

的合法性，在个别不可导点处补上任意值即可，参看密度不唯一一条。最常见的错误是求

F

时只写出非零段，漏掉取值为

0

与取值为

1

的两段。

举例说明

承上例，设

f (x) = \frac{3}{4} (1 - x^{2}) (- 1 < x < 1)

，下面分段求

F

：

-

x < - 1

：

F (x) = 0

；
-

- 1 \leq x < 1

：

F (x) = \int_{- 1}^{x} \frac{3}{4} (1 - t^{2}) d t = \frac{3}{4} (x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x - \frac{x ^{3}}{4}

；
-

x \geq 1

：

F (x) = 1

。

检验连续性：当

x \to - 1^{+}

时得

\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 0

；当

x \to 1^{-}

时得

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = 1

。两端都能衔接，故

F

处处连续。这三段缺一不可。

5. 对称密度的应用：偶密度可直接读出的结论★ 要懂

如果密度关于某点

c

对称，即

f (c + t) = f (c - t)

，那么该点就是分布的中心，此时

F (c) = \frac{1}{2}

，且

P (X > c + a) = P (X < c - a)

。特别地，当

f

是偶函数，即

c = 0

时，有

F (0) P (X P (∣ X ∣ = \frac{1}{2} > a) = P (X < - a) = 1 - F (a) < a) = 2 F (a) - 1.

利用对称性可以省去大量积分。正态分布标准化后所用的对称关系式

Φ (- x) = 1 - Φ (x)

就是这一结论的特例。

证明 / 推导

证设

f

为偶函数。在

F (0) = \int_{- \infty}^{0} f (x) d x

中作换元

x = - u

，得

F (0) = \int_{0}^{\infty} f (- u) d u = \int_{0}^{\infty} f (u) d u

这里用到了

f (- u) = f (u)

。又

\int_{- \infty}^{0} f + \int_{0}^{\infty} f = 1

，而这两个积分相等，故各等于

\frac{1}{2}

，即

F (0) = \frac{1}{2}

。用同样的换元可得

P (X < - a) = \int_{- \infty}^{- a} f = \int_{a}^{\infty} f = P (X > a)

。这就证明了所述结论。

举例说明

f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}

是拉普拉斯分布的密度，它是偶函数，且

\int_{- \infty}^{\infty} f = 2 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1

。不必计算即知

F (0) = \frac{1}{2}

，

P (X > 1) = P (X < - 1)

。又

P (X > 1) = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{2} e^{- x} d x = \frac{1}{2} e^{- 1},

故

P (∣ X ∣ > 1) = 2 \cdot \frac{1}{2} e^{- 1} = e^{- 1}

，

P (∣ X ∣ < 1) = 1 - e^{- 1}

。由此可见，利用对称性可以把两侧的计算合并为一次。

💡 小知识

概率密度这个词借自物理。把一根细棒的质量摊开成线密度之后，任何一点上的质量都是零，密度却仍然有限；连续型随机变量也这样把概率摊开，于是取到某一个点的概率为零，而落在一小段上的概率等于密度乘以长度。真正代表概率的，是曲线下的面积。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {A x^{2}, 0, 0 \leq x \leq 1, 其他 .

求

(1)

常数

A

；

(2) P (X > \frac{1}{2})

。难度 1

归一性 $\int_{- \infty}^{+ \infty} f = 1$ 定常数；概率 = 曲线下面积。

(1)

只在

[0, 1]

上积分：

\int_{0}^{1} A x^{2} d x = A \cdot \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{1} = \frac{A}{3} = 1 \Rightarrow A = 3.

(2)

P (X > \frac{1}{2}) = \int_{1/2}^{1} 3 x^{2} d x = x^{3}_{1/2}^{1} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

。

例 2 设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {A (2 - x), 0, 0 \leq x \leq 2, 其他 .

求

(1)

常数

A

；

(2) P (X < 1)

。难度 1

同样用归一性定常数，再积分求区间概率。

(1)

归一性：

\int_{0}^{2} A (2 - x) d x = A [2 x - \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{2} = A (4 - 2) = 2 A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} .

(2)

P (X < 1) = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} (2 - x) d x = \frac{1}{2} [2 x - \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

。

例 3 设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2 x, 0, 0 \leq x \leq 1, 其他 .

求其分布函数

F (x)

，并由此求

P (X > \frac{1}{2})

。难度 2

分布函数 $F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$ ，务必分段写全。

先验证是密度：

\int_{0}^{1} 2 x d x = x^{2}_{0}^{1} = 1

，非负，合格。

分段积分：
- 当

x < 0

：

F (x) = 0

；
- 当

0 \leq x \leq 1

：

F (x) = \int_{0}^{x} 2 t d t = x^{2}

；
- 当

x > 1

：

F (x) = 1

。

即

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, x^{2}, 1, x < 0, 0 \leq x \leq 1, x > 1.

于是

P (X > \frac{1}{2}) = 1 - F (\frac{1}{2}) = 1 - (\frac{1}{2})^{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2020 年 · 数一 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

设某种元件的使用寿命

T

的分布函数为

F (t) = {1 - e^{- (\frac{t}{θ})^{m}}, 0, t \geq 0, 其他,

其中

θ, m

为参数且大于零.
（Ⅰ）求概率

P {T > t}

与

P {T > s + t ∣ T > s}

，其中

s > 0, t > 0

；
（Ⅱ）任取

n

个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

。若

m

已知，求

θ

的最大似然估计值

\hat{θ}

2019 年 · 数一 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\frac{x}{2}, 0, 0 < x < 2, 其他,

F (x)

为

X

的分布函数，

E (X)

为

X

的数学期望，则

P {F (X) > E (X) - 1} =

______.

2018 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

的概率密度

f (x)

满足

f (1 + x) = f (1 - x)

，且

\int_{0}^{2} f (x) d x = 0.6

，则

P {X < 0} =

（　　）

A $0.2$
B $0.3$
C $0.4$
D $0.5$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X

的概率密度为

f (x) = {c x^{2}, 0, 0 \leq x \leq 3 其他

，则

c =

（　）。

A $\frac{1}{9}$
B $\frac{1}{3}$
C $\frac{1}{27}$
D $\frac{2}{9}$

练习 2 · 填空题

设

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{4}, 0, 0 \leq x \leq 4 其他

，则

P (1 < X < 3) =

____。

练习 3 · 选择题

关于连续型随机变量

X

（密度

f (x)

），下列说法正确的是（　）。

A必有 $f (x) \leq 1$
B对任意 $a$ ， $P (X = a) = 0$
C $f (x)$ 就是 $X$ 取 $x$ 的概率
D一般地 $P (a < X < b) \neq = P (a \leq X \leq b)$

练习 4 · 填空题

设

X

的概率密度为

f (x) = {3 x^{2}, 0, 0 \leq x \leq 1 其他

，则

P (X > \frac{1}{2}) =

____。

练习 5 · 选择题

设

X

的概率密度为

f (x) = {2 x, 0, 0 \leq x \leq 1 其他

，则其分布函数值

F (\frac{1}{2}) =

（　）。

A $\frac{1}{4}$
B $\frac{1}{2}$
C $1$
D $\frac{3}{4}$

练习 6 · 选择题

设连续型随机变量

X

的概率密度

f (x)

为偶函数（即

f (- x) = f (x)

），

F (x)

为

X

的分布函数。则下列结论中错误的是（　）。

A $F (0) = \frac{1}{2}$
B对一切实数 $x$ ， $F (- x) = 1 - F (x)$
C对任意 $a > 0$ ， $P (∣ X ∣ < a) = 2 F (a) - 1$
D $F (x)$ 也是偶函数

练习 7 · 填空题

设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}

（

- \infty < x < + \infty

），

F (x)

为其分布函数，则

F (- ln 2) =

____。

练习 8 · 解答题

设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a x, b, 0, 0 \leq x < 1, 1 \leq x \leq 3, 其他,

其中

a, b

为常数，且已知

P (X > 1) = 2 P (X \leq 1)

。

(1) 求常数

a, b

；

(2) 求

X

的分布函数

F (x)

；

(3) 求

P (\frac{1}{2} < X < 2)

与

P (X > 2 ∣ X > 1)

。

2011 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

为两个分布函数，其相应的概率密度

f_{1} (x)

与

f_{2} (x)

是连续函数，则必为概率密度的是（　　）

A $f_{1} (x) f_{2} (x)$ .
B $2 f_{2} (x) F_{1} (x)$ .
C $f_{1} (x) F_{2} (x)$ .
D $f_{1} (x) F_{2} (x) + f_{2} (x) F_{1} (x)$ .

2010 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

f_{1} (x)

为标准正态分布的概率密度，

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上均匀分布的概率密度，若

f (x) = {a f_{1} (x), b f_{2} (x), x \leq 0, x > 0 (a > 0, b > 0)

为概率密度，则

a, b

应满足（　　）

A $2 a + 3 b = 4$ .
B $3 a + 2 b = 4$ .
C $a + b = 1$ .
D $a + b = 2$ .

2002 年 · 数一 · 第 10 题 · 选择题 · 3 分

设

X_{1}

和

X_{2}

是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为

f_{1} (x)

和

f_{2} (x)

，分布函数分别为

F_{1} (x)

和

F_{2} (x)

，则（　　）

A $f_{1} (x) + f_{2} (x)$ 必为某一随机变量的概率密度
B $f_{1} (x) f_{2} (x)$ 必为某一随机变量的概率密度
C $F_{1} (x) + F_{2} (x)$ 必为某一随机变量的分布函数
D $F_{1} (x) F_{2} (x)$ 必为某一随机变量的分布函数

连续型随机变量及其概率密度

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 连续型随机变量与概率密度的定义：F(x)=∫−∞x​f(t)dt★★ 必会

2. 密度不唯一：改动零测点不改变分布

3. 归一化定常数：分段密度只在非零段上积分★★ 必会

4. F 与 f 互求时的注意事项：分段写全，分布函数连续但未必可导★★ 必会

5. 对称密度的应用：偶密度可直接读出的结论★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 连续型随机变量与概率密度的定义： $F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$ ★★ 必会

4. $F$ 与 $f$ 互求时的注意事项：分段写全，分布函数连续但未必可导★★ 必会