随机变量与分布函数

§16.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.22 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

7.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）概率的定义与性质样本空间与随机事件③ 掌握后可解锁离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度二维随机变量与联合分布总体、样本与统计量

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 随机变量与分布函数的定义： $F (x) = P (X \leq x)$ 可以描述一切分布★★ 必会

① 随机变量的定义：设随机试验的样本空间为

Ω

，定义在

Ω

上的实值函数

X ω = X (ω) \in Ω

称为随机变量，也就是把每一个试验结果对应到一个实数（并且要求对任意实数

x

，

{ω : X (ω) \leq x}

都是事件，从而可以讨论它的概率）。这样做的意义在于，把事件的语言化成数与函数的语言，微积分的方法便可以全面使用。

{X \leq x}, {X = a}, {a < X \leq b}

都是相应事件的简写。

② 分布函数的定义：

F (x) - \infty = P (X \leq x) < x < + \infty.

注意这里用的是

\leq

而不是

<

，这是本教材的约定，它决定了

F

右连续。对一切随机变量，无论离散型、连续型还是混合型，

F

都有定义，因此它是描述分布的普遍适用的工具：知道了

F

，就能算出

X

落在任一区间内的概率，基本公式是

P (a < X \leq b) = F (b) - F (a)

（端点开闭的全套换算表见后面用分布函数计算各类概率的一条）。

③ 特征性质（充分必要）：

F

是某个随机变量的分布函数

⟺

(i) 单调不减；(ii)

x \to - \infty lim F (x) = 0, x \to + \infty lim F (x) = 1

；(iii) 右连续。（判定问题与含参数的问题见后面判定一个函数是不是分布函数的一条；右连续的严格证明见后面分布函数为什么右连续的一条。）

④ 由 $F$ 的形态对随机变量分类：离散型

⟺ F

是阶梯函数，其跳跃点即取值点，跳跃高度即概率；连续型

⟺ F

可以写成密度函数的变上限积分，从而

F

处处连续；跳跃与连续增长并存

\Rightarrow

混合型（见后面混合型随机变量的一条）。恒有

P (X = a) = F (a) - F (a - 0),

即单点概率等于跳跃高度。

证明 / 推导

证现在证明基本公式

P (a < X \leq b) = F (b) - F (a)

。把事件分拆为

{X \leq b} = {X \leq a} \cup {a < X \leq b}

，右端的两个事件互斥，由有限可加性得

F (b) = P (X \leq b) = P (X \leq a) + P (a < X \leq b) = F (a) + P (a < X \leq b),

移项即得所要的公式。又因概率

\geq 0

，由上式可知分布函数单调不减。其余各类区间的概率，都可以由这个公式配合取极限（例如

P (X < a) = F (a - 0)

）以及取对立事件而得到。由此可见，一个

F

就携带了分布的全部信息。

■

举例说明

2010·数一选择：设

X

的分布函数

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2}, 1 - e^{- x}, x < 0, 0 \leq x < 1, x \geq 1,

则

P (X = 1) =

（　）(A)

0

；(B)

\frac{1}{2}

；(C)

\frac{1}{2} - e^{- 1}

；(D)

1 - e^{- 1}

。
解：单点概率等于跳跃高度，故

P (X = 1) = F (1) - F (1 - 0)

。先看清分段的归属：

x = 1

落在第三段，故

F (1) = 1 - e^{- 1}

；左极限则来自第二段，故

F (1 - 0) = \frac{1}{2}

。于是

P (X = 1) = (1 - e^{- 1}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - e^{- 1},

故选 C。易错之一：不比较左极限与函数值，想当然地以为连续型总有

P (X = a) = 0

而误选 (A)；本题的

F

并非处处连续。易错之二：把

x = 1

划入第二段，就会把跳跃高度算成

0

。顺带指出：此处的

F

在

x = 0, 1

处各有一个跳跃，在

[1, + \infty)

上还连续增长，所以它是混合型分布。这样的分布只有用分布函数的语言才能完整地刻画。

2. 分布函数为什么右连续：用概率的连续性作严格证明★ 要懂

分布函数

F (x) = P (X \leq x)

处处右连续，即

F (x + 0) = F (x)

，但未必左连续。其原因在于定义中用的是右端封闭的

\leq x

。严格的证明要用到上一章的概率连续性，即概率对递减事件列的上连续性。弄清这一点，才能正确处理跳跃点处的单点概率

P (X = a)

，以及计算

P (X < a)

时须取左极限等一切细节。

证明 / 推导

证取任意

h_{n} ↓ 0

，令

A_{n} = {X \leq x + h_{n}}

。因为

h_{n}

递减，所以

A_{1} \supset A_{2} \supset \dots

也递减，且

n ⋂ A_{n} = {X \leq x}

这是因为

X \leq x + h_{n}

对一切

n

成立

⟺ X \leq x

，其中用到了

h_{n} \to 0

。于是由概率的上连续性得

F (x + 0) = n \to \infty lim P (X \leq x + h_{n}) = P (n ⋂ A_{n}) = P (X \leq x) = F (x),

即分布函数右连续。与此相类似，

{X \leq x - h_{n}}

递增而趋于

{X < x}

，因此左极限

F (x - 0) = P (X < x)

，于是

F (x) - F (x - 0) = P (X \leq x) - P (X < x) = P (X = x)

由此就严格地得出了跳跃高度即单点概率这一结论。

举例说明

设

F (x) = 0 (x < 0)

、

= \frac{1}{2} (0 \leq x < 1)

、

= 1 (x \geq 1)

。

在

x = 0

处，

F (0 - 0) = 0

，

F (0) = \frac{1}{2}

，右极限

F (0 + 0) = \frac{1}{2} = F (0)

，可见此处右连续，跳跃高度为

\frac{1}{2} = P (X = 0)

。
在

x = 1

处，跳跃高度为

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = P (X = 1)

。

这是一个只取

0, 1

两个值、概率各为

\frac{1}{2}

的离散型随机变量的分布函数。它的图形呈阶梯状，在每个取值点处向上跳跃，跳跃的高度就是相应的概率。

3. 混合型随机变量： $F$ 既有跳跃又有连续段

除了纯离散型（此时

F

为阶梯函数）与纯连续型（此时

F

连续）之外，还有混合型：

F

在某些点处发生跳跃，这些点带有正的概率，而在其余各处连续增长，与密度相对应。这类随机变量常由截断或取最值产生。分布函数的三条性质，即单调不减、

F (\pm \infty) = 0, 1

与右连续，对它同样成立，这也说明

F

适用于一切分布。处理的办法是：在跳跃点处用跳跃高度算

P (X = a)

，在连续段上用

F

的增量算区间概率。

举例说明

设顾客的等待时间为

X

：以概率

\frac{1}{3}

不需等待，即

X = 0

；否则等待时间在

(0, 2)

上服从均匀分布。于是

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x}{3}, 1, x < 0 0 \leq x < 2 x \geq 2.

在

x = 0

处的跳跃高度为

F (0) - F (0 - 0) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} = P (X = 0)

，这个点带有正概率；在

(0, 2)

上

F

连续，斜率为

\frac{1}{3}

，它就是连续部分的密度。于是

P (X P (X > 1) = 1 - F (1) = 1 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} = 0) = \frac{1}{3} .

这个随机变量既不是离散型，也不是连续型，但用一个

F

就把它完全描述清楚了。

4. 用分布函数计算各类概率：端点、开闭与跳跃的处理★★ 必会

掌握下面一张换算表，就能由

F

求出任何区间概率与单点概率。关键在于分清

F (a)

（它把点

a

计算在内）与左极限

F (a - 0)

（它不含点

a

）：

P (X P (X P (X \leq a) = F (a) < a) = F (a - 0) = a) = F (a) - F (a - 0)

P (X P (X > a) = 1 - F (a) \geq a) = 1 - F (a - 0)

P (a P (a P (a < X \leq b) = F (b) - F (a) \leq X \leq b) = F (b) - F (a - 0) < X < b) = F (b - 0) - F (a) .

在连续点处

F (a - 0) = F (a)

，区间的开闭没有影响；在跳跃点处二者相差一个

P (X = a)

，必须按表加以区分。

证明 / 推导

证表中的各式，都可以由两条基本事实推出。第一条是分布函数的定义

P (X \leq a) = F (a)

；第二条是它的左极限

P (X < a) = F (a - 0)

。下面逐条推导。

取对立事件. 事件

{X > a}

与

{X \leq a}

互为对立，故

P (X > a) = 1 - P (X \leq a) = 1 - F (a) .

同理

{X \geq a}

与

{X < a}

互为对立，故

P (X \geq a) = 1 - F (a - 0)

。

作事件的分拆. 由两条基本事实相减，先得单点概率

P (X = a) = P (X \leq a) - P (X < a) = F (a) - F (a - 0)

。事件

{X = a}

与

{a < X \leq b}

互斥，二者之并为

{a \leq X \leq b}

，故

P (a \leq X \leq b) = P (X = a) + P (a < X \leq b) = [F (a) - F (a - 0)] + [F (b) - F (a)] = F (b) - F (a - 0) .

又

{a < X < b}

与

{X = b}

互斥，二者之并为

{a < X \leq b}

，故

P (a < X < b) = P (a < X \leq b) - P (X = b) = [F (b) - F (a)] - [F (b) - F (b - 0)] = F (b - 0) - F (a) .

表中未列的一种情形同样可得：

P (a \leq X < b) = F (b - 0) - F (a - 0)

。

由此看出一条规律. 每个端点只有两种处理。右端点含在事件内就取

F (b)

，不含就取

F (b - 0)

；左端点含在事件内就减去

F (a - 0)

，不含就减去

F (a)

。八个公式因此统一成了一条规则。

■

举例说明

设某个

F

在

x = 1

处由

0.4

跳到

0.7

，即

F (1 - 0) = 0.4, F (1) = 0.7

，而在

x = 2

处连续，且

F (2) = 0.9

。于是

P (X P (X P (X P (X = 1) = 0.7 - 0.4 = 0.3 < 1) = 0.4 \leq 1) = 0.7 \geq 1) = 1 - 0.4 = 0.6

P (1 P (1 < X \leq 2) = 0.9 - 0.7 = 0.2 \leq X \leq 2) = 0.9 - 0.4 = 0.5.

只要把区间是否含端点逐一对应到

F (a)

或

F (a - 0)

，就不会出错。

5. 判定一个函数是不是分布函数：三条性质缺一不可★ 要懂

F

是某个随机变量的分布函数，当且仅当：① 单调不减；②

F (- \infty) = 0, F (+ \infty) = 1

；③ 右连续。这三条既充分必要，又缺一不可，去掉其中任何一条都可以造出反例。遇到判定问题或含参数的问题时，一般按下列次序进行：先由单调性确定参数的符号，再用

F (\pm \infty)

定出常数，最后对分段函数验证右连续性以及各段的衔接。

证明 / 推导

证分布函数必须满足这三条。其中单调不减与右连续前面已经证过，

F (\pm \infty)

的两式由概率的连续性同样可得。下面要证的是另一件事：这三条彼此独立，去掉任何一条，余下的两条都不足以保证

F

是分布函数。为此对每一条各作一个反例。

① 去掉单调不减。取

F_{1} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 1, \frac{1}{2}, 1, x < 0 0 \leq x < 1 1 \leq x < 2 x \geq 2

容易验证

F_{1} (- \infty) = 0, F_{1} (+ \infty) = 1

；又在每个分段点处函数值都与右极限相等，故

F_{1}

右连续。可见第二条与第三条都成立。但

F_{1}

在

x = 1

处由

1

降为

\frac{1}{2}

。如果它是某个

X

的分布函数，那么

P (0 < X \leq 1) = F_{1} (1) - F_{1} (0) = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2} < 0,

概率成了负数，这是不可能的。

② 去掉

F (+ \infty) = 1

。取

F_{2} (x) = 0 (x < 0)

，

F_{2} (x) = \frac{1}{2} (x \geq 0)

。它单调不减，处处右连续，且

F_{2} (- \infty) = 0

，可见第一条与第三条都成立。但

F_{2} (+ \infty) = \frac{1}{2}

。如果它是分布函数，那么

P (X \leq x) \leq \frac{1}{2}

对一切

x

成立，令

x \to + \infty

得

P (Ω) \leq \frac{1}{2}

，与

P (Ω) = 1

矛盾。

③ 去掉右连续。取

F_{3} (x) = 0 (x \leq 0)

，

F_{3} (x) = 1 (x > 0)

。它单调不减，且

F_{3} (- \infty) = 0, F_{3} (+ \infty) = 1

，可见第一条与第二条都成立。但在

x = 0

处

F_{3} (0) = 0

而右极限为

1

，故不右连续。如果它是分布函数，那么

P (X \leq 0) = 0

，而

P (X \leq \frac{1}{n}) = 1

对一切

n

成立。事件

{X \leq \frac{1}{n}}

随

n

增大而递减，其交集为

{X \leq 0}

，由概率的上连续性得

P (X \leq 0) = n \to \infty lim P (X \leq \frac{1}{n}) = 1,

与前面算出的

0

矛盾。

三个反例合起来，就证明了这三条性质缺一不可。

■

至于充分性，可以这样构造：在

(0, 1)

上取服从均匀分布的随机变量

U

，令

X = in f {x : F (x) \geq U}

。利用

F

的右连续性可以验证

{X \leq x} = {U \leq F (x)}

，于是

P (X \leq x) = F (x)

。因此三条同时成立时，确实存在以

F

为分布函数的随机变量。

举例说明

判断下列函数是不是分布函数。

(a)

F (x) = \frac{1}{π} arctan x + \frac{1}{2}

。它单调增加；又

F (- \infty) = \frac{1}{π} (- \frac{π}{2}) + \frac{1}{2} = 0

，

F (+ \infty) = \frac{1}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{1}{2} = 1

；它处处连续，当然也右连续。故它是分布函数，这就是柯西分布的

F

。

(b)

G (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, x < 0 0 \leq x < 1 x \geq 1

。它在

x = 1

处由

\frac{1}{2}

降为

\frac{1}{3}

，违反单调不减，故不是分布函数。

(c)

H (x) = 1 - e^{- x}

对所有实数

x

都这样定义，未作分段。当

x \to - \infty

时

H \to - \infty

，这既违反

F \geq 0

，又违反

F (- \infty) = 0

，故不是分布函数。必须像指数分布那样，在

x < 0

的一段上截取为

0

才行。

可见判定的办法就是逐条对照，只要缺少其中一条，就予以否定。

💡 小知识

分布函数

F (x) = P (X \leq x)

是概率论里少有的一种通用写法：无论随机变量是离散的、连续的还是两者混合，它都描述得了。正因如此，现代概率论常常直接以分布函数为出发点，或者用更一般的概率测度，而把离散和连续看作它的两种特例。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P 0 0.2 1 0.5 2 0.3

求

(1) F (1.5)

；

(2) P (0 < X \leq 2)

。难度 1

分布函数 $F (x) = P (X \leq x)$ ，把不超过 $x$ 的所有概率相加。

(1)

F (1.5) = P (X \leq 1.5) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.2 + 0.5 = 0.7

（

X = 2

超过

1.5

，不计入）。

(2)

P (0 < X \leq 2) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0.5 + 0.3 = 0.8

（左端开，不含

X = 0

）。

例 2 设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, A x^{2}, 1, x < 0, 0 \leq x < 1, x \geq 1.

求

(1)

常数

A

；

(2) P (X > 0.5)

。难度 2

定常数用连续型 $F$ 的连续性；求 $P (X > a) = 1 - F (a)$ 。

(1)

连续型随机变量的分布函数处处连续，在衔接点

x = 1

处：

F (1^{-}) = A \cdot 1^{2} = A, F (1) = 1.

由连续性

A = 1

。故

F (x) = x^{2} (0 \leq x < 1)

。

(2)

P (X > 0.5) = 1 - F (0.5) = 1 - 0. 5^{2} = 1 - 0.25 = 0.75

。

例 3 设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 0.3, 0.7, 1, x < 0, 0 \leq x < 1, 1 \leq x < 2, x \geq 2.

求

(1) P (X = 1)

；

(2) P (X < 1)

；

(3) P (0 < X \leq 2)

。难度 2

阶梯型 $F$ 对应离散型 $X$ ：跳跃高度 = 单点概率。

(1)

P (X = 1) = F (1) - F (1^{-}) = 0.7 - 0.3 = 0.4

（

F

在

x = 1

处的跳跃高度）。

(2)

P (X < 1) = F (1^{-}) = 0.3

（左极限，不含

x = 1

处的跳跃）。

(3)

P (0 < X \leq 2) = F (2) - F (0) = 1 - 0.3 = 0.7

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2018 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

的概率密度

f (x)

满足

f (1 + x) = f (1 - x)

，且

\int_{0}^{2} f (x) d x = 0.6

，则

P {X < 0} =

（　　）

A $0.2$
B $0.3$
C $0.4$
D $0.5$

2016 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X \sim N (μ, σ^{2}) (σ > 0)

，记

p = P {X \leq μ + σ^{2}}

，则（　　）

A $p$ 随着 $μ$ 的增加而增加.
B $p$ 随着 $σ$ 的增加而增加.
C $p$ 随着 $μ$ 的增加而减少.
D $p$ 随着 $σ$ 的增加而减少.

2013 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{9} x^{2}, 0, 0 < x < 3, 其他 .

令随机变量

Y = ⎩ ⎨ ⎧ 2, X, 1, X \leq 1, 1 < X < 2, X \geq 2.

（Ⅰ）求

Y

的分布函数；

（Ⅱ）求概率

P {X \leq Y}

。

2011 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

为两个分布函数，其相应的概率密度

f_{1} (x)

与

f_{2} (x)

是连续函数，则必为概率密度的是（　　）

A $f_{1} (x) f_{2} (x)$ .
B $2 f_{2} (x) F_{1} (x)$ .
C $f_{1} (x) F_{2} (x)$ .
D $f_{1} (x) F_{2} (x) + f_{2} (x) F_{1} (x)$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

下列不是任意随机变量分布函数

F (x)

必备性质的是（　）。

A单调不减
B右连续
C $F (- \infty) = 0, F (+ \infty) = 1$
D处处连续

练习 2 · 填空题

设

X

的分布函数为

F (x) = {0, 1 - e^{- 2 x}, x < 0 x \geq 0

，则

P (X > 1) =

____。

练习 3 · 选择题

设

F (x)

为随机变量

X

的分布函数，已知

F (2) = 0.8

，

F (2^{-}) = 0.5

，则

P (X = 2) =

（　）。

A $0.3$
B $0.8$
C $0.5$
D $1.3$

练习 4 · 填空题

设

X

的分布函数为

F (x)

，已知

F (1) = 0.6

，

F (3) = 0.9

，则

P (1 < X \leq 3) =

____。

练习 5 · 选择题

设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, a ln x, 1, x < 1 1 \leq x < e x \geq e

，则

a =

（　）。

A $1$
B $e$
C $\frac{1}{e}$
D $2$

练习 6 · 选择题

设

F (x)

是某连续型随机变量的分布函数，则下列函数中必为某个随机变量的分布函数的是（　）。

A $F (x^{2})$
B $[F (x)]^{2}$
C $1 - F (x)$
D $F (x) + \frac{1}{2}$

练习 7 · 填空题

设

X \sim U (- 1, 2)

，令

Y = X^{2}

，则当

0 \leq y < 1

时，

Y

的分布函数

F_{Y} (y) =

____。

练习 8 · 解答题

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\frac{x}{2}, 0, 0 < x < 2, 其他,

令

Y = min {X, 1}

（即

X < 1

时

Y = X

，

X \geq 1

时

Y = 1

）。
（1）求

X

的分布函数

F_{X} (x)

；
（2）求

Y

的分布函数

F_{Y} (y)

，并指出

Y

是离散型、连续型，还是二者都不是；
（3）求

P (Y = 1)

以及

E (Y)

、

D (Y)

。

2010 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

的分布函数

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2}, 1 - e^{- x}, x < 0, 0 \leq x < 1, x \geq 1,

则

P {X = 1} =

（　　）

A $0$ .
B $\frac{1}{2}$ .
C $\frac{1}{2} - e^{- 1}$ .
D $1 - e^{- 1}$ .

2009 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立，且

X

服从标准正态分布

N (0, 1)

，

Y

的概率分布为

P {Y = 0} = P {Y = 1} = \frac{1}{2}

。记

F_{Z} (z)

为随机变量

Z = X Y

的分布函数，则函数

F_{Z} (z)

的间断点个数为（　　）

A $0$ .
B $1$ .
C $2$ .
D $3$ .

随机变量与分布函数

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 随机变量与分布函数的定义：F(x)=P(X≤x) 可以描述一切分布★★ 必会

2. 分布函数为什么右连续：用概率的连续性作严格证明★ 要懂

3. 混合型随机变量：F 既有跳跃又有连续段

4. 用分布函数计算各类概率：端点、开闭与跳跃的处理★★ 必会

5. 判定一个函数是不是分布函数：三条性质缺一不可★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 随机变量与分布函数的定义： $F (x) = P (X \leq x)$ 可以描述一切分布★★ 必会

3. 混合型随机变量： $F$ 既有跳跃又有连续段