随机变量与分布函数

概率论与数理统计 · 随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 随机变量：把样本点映成数

随机变量就是定义在样本空间上的一个实值函数：

X = X (ω), ω \in Ω.

它把「正面」「次品」这类没法计算的结果，翻译成数。

于是事件也跟着变成了数轴上的集合：

{X \leq x} = {ω : X (ω) \leq x} .

它仍然是一个事件，所以可以求概率。

记号约定：大写

X

是随机变量（一个函数），小写

x

是一个具体的数。
这个约定贯穿整个概率论，看式子时先认清哪个是哪个。

2. 分布函数 $F (x) = P (X \leq x)$ 与它的三条性质

对任意实数

x

，定义

F (x) = P (X \leq x) .

它对所有随机变量都有定义，是描述分布的统一工具。三条性质：

① 单调不减：

x_{1} < x_{2} \Rightarrow F (x_{1}) \leq F (x_{2})

；

② 有界并有极限：

0 \leq F (x) \leq 1

，且

F (- \infty) = 0, F (+ \infty) = 1;

③ 右连续：

F (x + 0) = F (x)

。

这三条是特征性质：任何满足它们的函数，都可以当某个随机变量的分布函数。
所以题目给一个带参数的

F

让你定参数时，用的就是这三条（多半是第②条）。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条证明的手法是：把 $X$ 的取值范围翻译成事件，再用概率的性质。
那里用的是包含关系加单调性；这次要用的是拆成互斥的并，再用可加性——
和上一章证

P (B - A) = P (B) - P (A)

是同一手。设

X

是随机变量，

F

是它的分布函数，

a < b

。证明

P (a < X \leq b) = F (b) - F (a) .

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

3. 用 $F$ 算概率：看清等号站在哪一边

记

F (a - 0) = x \to a^{-} lim F (x)

（左极限）。四个常用式子：

P (X \leq a) P (X < a) P (X = a) P (a < X \leq b) F (a) F (a - 0) F (a) - F (a - 0) F (b) - F (a)

第三行值得单独记住： $P (X = a)$ 就是 $F$ 在 $a$ 处的跳跃高度。

于是「

F

在

a

处连续」与「

P (X = a) = 0

」是同一件事。

其余的区间都能由这四条拼出来，例如

P (a \leq X \leq b) = F (b) - F (a - 0) .

4. 两类随机变量的分水岭： $F$ 跳不跳

离散型：

X

只取有限个或可列个值，

F

是阶梯函数——
在每个取值点跳一下，两跳之间是水平的。

连续型：

F

处处连续，而且能写成一个积分（下一节的概率密度）。
这时每一点的概率都是

0

，开闭区间不影响概率。

两者之外还有混合型：既有跳跃段又有连续段，考研里偶尔出现
（比如把一个连续型随机变量截断：

Y = max (X, 0)

会在

0

处攒起一块概率）。

判断办法只有一条：看 $F$ 有没有跳。 有跳的地方就有正的点概率。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

由分布写出 $F (x)$

第一步：把

X

的取值从小到大排好。

第二步：从左往右逐段累加概率，每过一个取值点就加上它的概率。

第三步：分段写出来，区间一律左闭右开（保证右连续）。

第四步：检查三条性质：不减、两端

0

与

1

、右连续。

例例. 设

P (X = 0) = 0.2

、

P (X = 1) = 0.5

、

P (X = 2) = 0.3

，求

F (x)

。

第一步，取值从小到大：

0, 1, 2

。

第二步，从左往右逐段累加：过了

0

加

0.2

，过了

1

再加

0.5

，过了

2

再加

0.3

。

第三步，分段写，区间一律左闭右开：

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 0.2, 0.7, 1, x < 0 0 \leq x < 1 1 \leq x < 2 x \geq 2

第四步，验三条：不减 ✓ 两端

0

与

1

✓ 右连续（

F (0) = 0.2

等于右极限）✓

若写成「

0 < x \leq 1

时

F = 0.2

」，

F

就成了左连续，与定义

F (x) = P (X \leq x)

对不上。这个开闭不是小事。

用 $F$ 算各种概率

第一步：把问的区间写清楚，特别是端点含不含。

第二步：对照那张表——

\leq

用

F (a)

，

<

用

F (a - 0)

。

第三步：需要点概率时用跳跃高度

F (a) - F (a - 0)

。

第四步：连续型可以忽略开闭；离散型必须逐个端点核对。

例例. 接上题，求

P (X \leq 1)

、

P (X < 1)

、

P (X = 1)

、

P (0 < X \leq 2)

。

第一步，把区间写清楚，特别留意端点含不含。

第二步，对照那张表——

\leq

用

F (a)

，

<

用

F (a - 0)

：

P (X \leq 1) = F (1) = 0.7, P (X < 1) = F (1 - 0) = 0.2.

第三步，点概率用跳跃高度：

P (X = 1) = F (1) - F (1 - 0) = 0.7 - 0.2 = 0.5 ✓

第四步，

P (0 < X \leq 2) = F (2) - F (0) = 1 - 0.2 = 0.8

。

离散型必须逐个端点核对：

P (X \leq 1)

与

P (X < 1)

差了整整

0.5

。连续型才可以忽略开闭。

判断随机变量的类型

第一步：画出（或想象）

F

的图像。

第二步：找跳跃点——每个跳跃点对应一块正概率。

第三步：全是跳（阶梯）就是离散型；处处连续就是连续型。

第四步：既有跳又有连续段，是混合型；此时点概率与区间概率要分开算。

例例. 三个

F

各是什么类型？

① 上一条那个阶梯函数——全是跳，离散型，三个跳跃点就是三个取值。

②

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, x, 1, x < 0 0 \leq x < 1 x \geq 1

——处处连续，没有跳，连续型（正是

U (0, 1)

）。

③

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{x + 1}{2}, 1, x < 0 0 \leq x < 1 x \geq 1

——在

x = 0

处从

0

跳到

\frac{1}{2}

，之后连续，混合型。

第四步，混合型要分开算：

P (X = 0) = \frac{1}{2}

（跳跃高度），而

P (0 < X < 1) = \frac{1}{2}

靠作差。把它当成纯连续型去算，那半个概率就丢了。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$P (X < a)$ 直接写成 $F (a)$

F (a)

是

P (X \leq a)

，比

P (X < a)

多了

P (X = a)

那一块。

正确的是

P (X < a) = F (a - 0)

。

连续型里两者相等（没有跳），所以这个错在连续型题里藏得住，
一到离散型就现形——而判断题最爱考离散型。

离散型里端点算错

P (a < X \leq b)

不含

a

含

b

。改成

P (a \leq X \leq b)

就要补上

P (X = a)

。

症状：答案和正确值相差恰好一个点的概率。

动笔前把区间端点的开闭圈出来，再对那张表。

把 $F$ 写成左连续

分段时写成「

0 < x \leq 1

」这种左开右闭，

F

就成了左连续，与定义

P (X \leq x)

矛盾。

正确的写法是左闭右开：

0 \leq x < 1

。

检查办法：在跳跃点上取值，

F

应当等于跳上去之后的那个数。

由 $P (X = a) = 0$ 断定 $X$ 取不到 $a$

连续型里每一点的概率都是

0

，可

X

总要取到某个值。

这和几何概型里「取到某一点的概率为零」是同一件事：零概率不等于不可能。

反过来也一样：

P (A) = 1

不等于必然发生。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

分布函数的定义：

F (x) =

________。

练 2

任何分布函数都满足

F (+ \infty) =

（）。

A $0$
B $0.5$
C $1$
D $+ \infty$

练 3

掷两枚硬币，

X

为正面个数，则

P (X = 1) =

________。

练 4

分布函数一定是（）。

A单调不减的
B单调不增的
C处处连续的
D处处可导的

第二组 · 用 $F$ 算概率

练 5

用

F

表示：

P (a < X \leq b) =

________。

练 6

用

F

表示：

P (X = a) =

________。

练 7

若

F

在

x = a

处连续，则

P (X = a) =

（）。

A $1$
B $F (a)$
C不能确定
D $0$

练 8

承前（

X

为两枚硬币中正面的个数），

F (1.5) =

________。

第三组 · 跳跃与分类

练 9

分布函数之所以右连续，是因为定义里用了（）。

A $P (X < x)$
B $P (X \leq x)$
C $P (X > x)$
D $P (X \geq x)$

练 10

若

F (x)

在

x = 0

处从

0

跳到

0.5

，则

P (X = 0) =

________。

练 11

P (X = a) = 0

意味着（）。

A $F$ 在 $a$ 处连续
B $X$ 不可能取到 $a$
C $a$ 不在 $X$ 的取值范围内
D $X$ 一定是离散型

练 12

设

F (x) = 0 (x < 0)

，

x (0 \leq x < 1)

，

1 (x \geq 1)

，则

P (0.2 < X \leq 0.5) =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

随机变量与分布函数

先打基础

1. 随机变量：把样本点映成数

2. 分布函数 F(x)=P(X≤x) 与它的三条性质

请你先证

3. 用 F 算概率：看清等号站在哪一边

4. 两类随机变量的分水岭：F 跳不跳

常用结构

由分布写出 F(x)

用 F 算各种概率

判断随机变量的类型

基础易错

P(X<a) 直接写成 F(a)

离散型里端点算错

把 F 写成左连续

由 P(X=a)=0 断定 X 取不到 a

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 分布函数 $F (x) = P (X \leq x)$ 与它的三条性质

3. 用 $F$ 算概率：看清等号站在哪一边

4. 两类随机变量的分水岭： $F$ 跳不跳

由分布写出 $F (x)$

用 $F$ 算各种概率

$P (X < a)$ 直接写成 $F (a)$

把 $F$ 写成左连续

由 $P (X = a) = 0$ 断定 $X$ 取不到 $a$